1. 如图,点 B,C,E 在同一条直线上,∠B= ∠E= 70°,∠ACF= 70°,且 AB= CE.
图中与 AC 长度相等的线段是( )

A.BC
B.EF
C.CF
D.AF

C

∵点B,C,E在同一条直线上，∠ACF=70°，∠B=∠E=70°
∴∠ACB+∠ACF+∠FCE=180°
∴∠ACB+∠FCE=110°
∵∠B=70°
∴∠ACB+∠BAC=110°
∴∠BAC=∠FCE
在△ABC和△CEF中
∠B=∠E，AB=CE，∠BAC=∠FCE
∴△ABC≌△CEF(ASA)
∴AC=CF
C

2. 如图,B,A,D 三点共线,∠CAE= ∠B= ∠D＜90°,AC= AE.求证:
(1)△ABC≌△EDA；
(2)BD= BC+DE.

（1）
∵∠EAD=180°-∠CAE-∠CAB，∠C=180°-∠B-∠CAB，∠CAE=∠B，
∴∠EAD=∠C.在△ABC和△EDA中，∠B=∠D，∠C=∠EAD，AC=EA，
∴△ABC≌△EDA（AAS）（2）由（1），得△ABC≌△EDA，
∴BA=DE，BC=DA.
∵BD=DA+BA，
∴BD=BC+DE

3. (2024·重庆 A 卷改编)如图,在正方形 ABCD 的边 CD 上有一点 E,连接 AE,把 AE 绕点 E 逆时针旋转 90°,得到 FE,连接 CF 并延长与 AB 的延长线交于点 G,则∠G 的度数为______.

45° 解析：过点F作FH⊥DC，交DC的延长线于点H，则可证△ADE≌△EHF，
∴AD=EH，DE=HF，
∴易得EH=DC，
∴DE=CH=HF，
∴∠HCF=∠HFC=45°.
∵在正方形ABCD中，DC//AB，即DH//AG，
∴∠G=∠HCF=45°.

4. 如图,AC= AB= BD,∠ABD= 90°,BC= 8,则△BCD 的面积为______.

16

设$AB = AC = BD = x$，过点$A$作$AE \perp BC$于点$E$。
在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$BC = 8$，$\therefore BE = EC=\frac{1}{2}BC = 4$。
在$Rt\triangle ABE$中，$AE^{2}=AB^{2}-BE^{2}=x^{2}-16$。
$\angle ABD = 90^{\circ}$，$\therefore \sin\angle ABC=\frac{AE}{AB}=\frac{AE}{x}$，$\cos\angle ABC=\frac{BE}{AB}=\frac{4}{x}$。
$\angle CBD = 180^{\circ}-\angle ABD-\angle ABC=90^{\circ}-\angle ABC$。
在$\triangle BCD$中，$BC = 8$，$BD = x$，$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot BD\cdot \sin\angle CBD$
$=\frac{1}{2}×8× x× \sin(90^{\circ}-\angle ABC)=\frac{1}{2}×8× x× \cos\angle ABC$
$=4x×\frac{4}{x}=16$。
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5. (2024·沭阳段考)在△ABC 中,CA= CB,∠ACB= 90°,直线 l 过点 C,过点 A,B 分别作直线 l 的垂线,垂足分别为 E,F.
(1)如图①,求证:EF= AE+BF；
(2)如图②,若 BF= 4AE,EF= 6,求△BFC 的面积.

（1）
∵∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠FCB=90°.又
∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AEF=∠BFC=90°，
∴∠ECA+∠EAC=90°，
∴∠FCB=∠EAC.在△ACE和△CBF中，∠AEC=∠CFB，∠EAC=∠FCB，AC=CB，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF，CE=BF.
∵EF=CF+CE，
∴EF=AE+BF （2）
∵∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠FCB=90°.又
∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AEF=∠BFC=90°，
∴∠ECA+∠EAC=90°，
∴∠FCB=∠EAC.在△CAE和△BCF中，∠EAC=∠FCB，∠AEC=∠CFB，AC=CB，
∴△CAE≌△BCF（AAS），
∴CE=BF=4AE，AE=CF，
∴EF=CE - CF=4AE - AE=3AE=6，
∴AE=CF=2，BF=8，
∴△BFC的面积=$\frac{1}{2}$CF·BF=$\frac{1}{2}$×2×8=8