7. 在如图所示的Rt△ABC纸片中,∠ACB= 90°,D是斜边AB的中点,把纸片沿着CD折叠,此时点B折叠到点E的位置,连接AE.若AE//DC,∠B= α,则∠EAC的度数为 ( )

A.α
B.90°-α
C.$\frac{1}{2}\alpha$
D.90°-2α
]

B

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB中点，
∴CD=AD=BD（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴∠B=∠BCD=α，∠DAC=∠DCA=90°-α。
由折叠性质得：∠ECD=∠BCD=α，CE=CB，
∴∠ECA=∠ACB - ∠ECD - ∠BCD=90°-2α。
∵AE//DC，
∴∠EAC=∠DCA=90°-α。
B

8. (2023·赤峰改编)如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AB= 8 cm,D是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1 cm,得到△EFG,FG交AC于点H,则GH的长为______cm.
]

3

在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB中点，
∴CD=AD=BD=4cm，∠A=∠ACD。
△BCD沿BA方向平移1cm得△EFG，
∴FG=CD=4cm，FG//CD，GD=1cm，
∴AG=AD-GD=3cm，∠AHG=∠ACD=∠A，
∴GH=AG=3cm。
3

9. 如图,在△ABC中,∠B= 50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD= CF,则∠ACD+∠CED的度数为______.
]

$175^{\circ}$ 解析:连接$DF$.$\because CD\perp AB,\therefore \angle ADC=\angle BDC=90^{\circ}$.$\because F$为边$AC$的中点,$\therefore AF=CF$,$DF$是$Rt\triangle ADC$斜边上的中线,$\therefore DF=AF=CF$.$\because CD=CF$,$\therefore DF=CD=CF$,$\therefore \triangle CDF$是等边三角形,$\therefore \angle ACD=60^{\circ}$.$\because$在$\triangle CDB$中,$\angle B=50^{\circ}$,$\therefore \angle BCD+\angle BDC=180^{\circ}-\angle B=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$.$\because \angle BCD$和$\angle BDC$的平分线相交于点$E$,$\therefore \angle ECD=\frac{1}{2}\angle BCD$,$\angle EDC=\frac{1}{2}\angle BDC$,$\therefore \angle ECD+\angle EDC=\frac{1}{2}(\angle BCD+\angle BDC)=65^{\circ}$,$\therefore$在$\triangle CDE$中,$\angle CED=180^{\circ}-(\angle ECD+\angle EDC)=180^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ}$,$\therefore \angle ACD+\angle CED=60^{\circ}+115^{\circ}=175^{\circ}$.

10. 如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,BE是边AC上的中线,且BD= CE.求证：
(1)点D在BE的垂直平分线上；
(2)∠BEC= 3∠ABE.
]

（1）如图,连接$DE$.$\because CD$是边$AB$上的高,$\therefore \angle ADC=\angle BDC=90^{\circ}$.$\because BE$是边$AC$上的中线,$\therefore AE=CE$,$\therefore DE$是$Rt\triangle ADC$斜边上的中线,$\therefore DE=CE=AE$.$\because BD=CE$,$\therefore BD=DE$,$\therefore$点$D$在$BE$的垂直平分线上（2）$\because DE=AE$,$\therefore \angle A=\angle ADE$.$\because BD=DE$,$\therefore \angle DBE=\angle DEB$.$\because \angle ADE$是$\triangle DBE$的外角,$\therefore \angle ADE=\angle DBE+\angle DEB=2\angle DBE$,$\therefore \angle A=2\angle ABE$.$\because \angle BEC$是$\triangle ABE$的外角,$\therefore \angle BEC=\angle A+\angle ABE$,$\therefore \angle BEC=3\angle ABE$

11. (新考法·探究题)如图,在△ABC中,∠ABC= 90°.
(1)尺规作图：① 作线段AC的垂直平分线l,交AC于点O；② 连接BO并延长,在BO的延长线上截取DO,使得DO= BO；③ 连接DA,DC(保留作图痕迹,标明字母).
(2)试判断AD,CD的位置关系,并说明理由.
]

（1）如图所示 （2）$AD\perp CD$ 理由:$\because$直线$l$垂直平分线段$AC$,$\therefore AO=CO$.又$\because$在$\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$\therefore BO=\frac{1}{2}AC$,即$BO=AO=CO$.$\because DO=BO$,$\therefore DO=AO=CO$,$\therefore \angle OAD=\angle ODA$,$\angle OCD=\angle ODC$.$\because \triangle ADC$的内角和为$180^{\circ}$,$\therefore \angle ODA+\angle ODC=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$,即$\angle ADC=90^{\circ}$,$\therefore AD\perp CD$.