10. 已知一次函数y= kx+b(k≠0)的图象经过点(0,2),且与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则该一次函数的表达式为 $\underline{\quad\quad}$.

$y=x+2$ 或 $y=-x+2$ 解析:由题意,得$b=2$,
∴$y=kx+2$,
∴ 该一次函数的图象与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为$(-\frac{2}{k},0),(0,2)$,
∴$\frac{1}{2}×|-\frac{2}{k}|×2=2$,
∴$|-\frac{2}{k}|=2$,解得$k=1$或$k=-1$,
∴ 该一次函数的表达式为$y=x+2$或$y=-x+2$.

11. 一次函数y= x+1的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C在x轴上.若△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有 $\underline{\quad\quad}$ 个.

4 解析:分$AB=AC,BA=BC,CA=CB$三种情况进行讨论,可借助圆规寻找点 C 的位置.

12. 在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-1,-1),点B的坐标为(2,7),M为x轴上的一个动点.若要使MB-MA的值最大,则点M的坐标为 $\underline{\quad\quad}$.

$(-\frac{3}{2},0)$ 解析:作点 B 关于 x 轴的对称点$B'$,则直线$AB'$与 x 轴的交点的坐标即为所求.

作点B关于x轴的对称点$B'$，坐标为$(2,-7)$。
设直线$AB'$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,-1)$，$B'(2,-7)$代入得：
$\begin{cases}-k+b=-1\\2k+b=-7\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=-3\end{cases}$，所以直线$AB'$的解析式为$y=-2x-3$。
令$y=0$，则$-2x-3=0$，解得$x=-\frac{3}{2}$。
点M的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$。

13.(2023·温州)如图,在平面直角坐标系中,点A(2,m)在直线$y= 2x-\frac{5}{2}$上,过点A的直线交y轴于点B(0,3).
(1)求m的值和直线AB对应的函数表达式；
(2)若点P(t,y_1)在线段AB上,点Q(t-1,y_2)在直线$y= 2x-\frac{5}{2}$上,求y_1-y_2的最大值.
]

(1) 把$A(2,m)$代入$y=2x-\frac{5}{2}$,得$m=\frac{3}{2}$.设直线 AB 对应的函数表达式为$y=kx+b$.把$A(2,\frac{3}{2}),B(0,3)$代入,得$\begin{cases}2k + b = \frac{3}{2}\\b = 3\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = -\frac{3}{4}\\b = 3\end{cases}$,
∴ 直线 AB 对应的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$
(2)
∵ 点$P(t,y_{1})$在线段 AB 上,点$Q(t - 1,y_{2})$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,
∴$y_{1}=-\frac{3}{4}t+3$,$y_{2}=2(t - 1)-\frac{5}{2}=2t-\frac{9}{2}$,$0\leq t\leq2$,
∴$y_{1}-y_{2}=-\frac{3}{4}t+3-(2t-\frac{9}{2})=-\frac{11}{4}t+\frac{15}{2}$.
∵$-\frac{11}{4}＜0$,
∴$y_{1}-y_{2}$的值随 t 的增大而减小.又
∵$0\leq t\leq2$,
∴ 当$t = 0$时,$y_{1}-y_{2}$取得最大值,为$\frac{15}{2}$

14. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y= -\frac{1}{2}x+5$的图象l_1分别与x轴、y轴交于A,B两点,正比例函数的图象l_2与l_1交于点C(m,4).
(1)求m的值及l_2对应的函数表达式；
(2)求S△AOC-S△BOC的值；
(3)若一次函数y= kx+1的图象为l_3,且l_1,l_2,l_3不能围成三角形,直接写出k的值.
]

(1) 把$C(m,4)$代入$y=-\frac{1}{2}x+5$,得$4=-\frac{1}{2}m+5$,解得$m = 2$.
∴ 点 C 的坐标为$(2,4)$.设$l_{2}$对应的函数表达式为$y=ax$.把$C(2,4)$代入,得$4 = 2a$,解得$a = 2$.
∴$l_{2}$对应的函数表达式为$y = 2x$
(2) 如图,过点 C 作$CD⊥AO$于点 D,$CE⊥BO$于点 E,则$CD = 4$,$CE = 2$.在$y=-\frac{1}{2}x+5$中,令$x = 0$,得$y = 5$;令$y = 0$,得$x = 10$,
∴ 点 A 的坐标为$(10,0)$,点 B 的坐标为$(0,5)$,
∴$AO = 10$,$BO = 5$,
∴$S_{\triangle AOC}-S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}AO\cdot CD-\frac{1}{2}BO\cdot CE=\frac{1}{2}×10×4-\frac{1}{2}×5×2=20 - 5 = 15$
(3) k 的值为$\frac{3}{2}$或 2 或$-\frac{1}{2}$ 解析:
∵ 一次函数$y=kx+1$的图象为$l_{3}$,且$l_{1},l_{2},l_{3}$不能围成三角形,
∴ 分情况讨论:当$l_{3}$经过点$C(2,4)$时,$k=\frac{3}{2}$;当$l_{2}// l_{3}$时,$k = 2$;当$l_{1}// l_{3}$时,$k=-\frac{1}{2}$,
∴ k 的值为$\frac{3}{2}$或 2 或$-\frac{1}{2}.$