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1. 计算:(1)$(-5a^{4})· (-8ab^{2})=$;(2)$(-x^{n}y^{n+1}z)· (x^{3}y^{2n})^{2}=$.
答案
解：
(1) 原式$=[(-5)×(-8)]·(a^4· a)· b^2$
$=40a^5b^2$
(2) 原式$=(-x^ny^{n+1}z)·(x^6y^{4n})$
$=-(x^n· x^6)·(y^{n+1}· y^{4n})· z$
$=-x^{n+6}y^{5n+1}z$
(1) 原式$=[(-5)×(-8)]·(a^4· a)· b^2$
$=40a^5b^2$
(2) 原式$=(-x^ny^{n+1}z)·(x^6y^{4n})$
$=-(x^n· x^6)·(y^{n+1}· y^{4n})· z$
$=-x^{n+6}y^{5n+1}z$
解析
【分析】
这两道题均为整式乘法运算，解题思路如下：（1）是单项式乘单项式运算，按照法则，先计算系数的乘积，再将同底数幂分别相乘，仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数直接作为积的因式即可。（2）需先根据幂的乘方法则计算括号内的乘方运算，将括号展开后，再按照单项式乘单项式的法则计算，计算同底数幂相乘时注意底数不变，指数相加，同时不要遗漏符号。
【解析】
(1) 原式$=[(-5)×(-8)]·(a^4· a)· b^2$
$=40a^5b^2$
(2) 原式$=(-x^ny^{n+1}z)·(x^6y^{4n})$
$=-(x^n· x^6)·(y^{n+1}· y^{4n})· z$
$=-x^{n+6}y^{5n+1}z$
【答案】
(1)$40a^5b^2$；(2)$-x^{n+6}y^{5n+1}z$
【知识点】
1. 单项式乘单项式法则；2. 幂的乘方运算；3. 同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考察幂的运算性质和单项式乘法法则的应用，计算时要注意系数的符号处理、指数的运算规则，避免因符号看错或指数加减错误失分。
【难度系数】
0.75
这两道题均为整式乘法运算，解题思路如下：（1）是单项式乘单项式运算，按照法则，先计算系数的乘积，再将同底数幂分别相乘，仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数直接作为积的因式即可。（2）需先根据幂的乘方法则计算括号内的乘方运算，将括号展开后，再按照单项式乘单项式的法则计算，计算同底数幂相乘时注意底数不变，指数相加，同时不要遗漏符号。
【解析】
(1) 原式$=[(-5)×(-8)]·(a^4· a)· b^2$
$=40a^5b^2$
(2) 原式$=(-x^ny^{n+1}z)·(x^6y^{4n})$
$=-(x^n· x^6)·(y^{n+1}· y^{4n})· z$
$=-x^{n+6}y^{5n+1}z$
【答案】
(1)$40a^5b^2$；(2)$-x^{n+6}y^{5n+1}z$
【知识点】
1. 单项式乘单项式法则；2. 幂的乘方运算；3. 同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考察幂的运算性质和单项式乘法法则的应用，计算时要注意系数的符号处理、指数的运算规则，避免因符号看错或指数加减错误失分。
【难度系数】
0.75
2. 计算$(-5ax) · (3x^2)^2 · y^2$的结果是，计算$-2ab · 3b$的结果是。
答案
解：
$\begin{aligned}(-5ax) · (3x^2)^2 · y^2&= (-5ax) · 9x^4 · y^2\\&= (-5 × 9) · a · x^{1+4} · y^2\\&= -45ax^5y^2\end{aligned}$
$\begin{aligned}-2ab · 3b&= (-2 × 3) · a · b^{1+1}\\&= -6ab^2\end{aligned}$
最终结果依次为 $\boldsymbol{-45ax^5y^2}$，$\boldsymbol{-6ab^2}$。
$\begin{aligned}(-5ax) · (3x^2)^2 · y^2&= (-5ax) · 9x^4 · y^2\\&= (-5 × 9) · a · x^{1+4} · y^2\\&= -45ax^5y^2\end{aligned}$
$\begin{aligned}-2ab · 3b&= (-2 × 3) · a · b^{1+1}\\&= -6ab^2\end{aligned}$
最终结果依次为 $\boldsymbol{-45ax^5y^2}$，$\boldsymbol{-6ab^2}$。
解析
【分析】
本题考查整式的乘法运算，解题遵循先乘方、后乘法的运算顺序：①对于第一个算式，先根据积的乘方法则计算$(3x^2)^2$，再按照单项式乘单项式的法则，将系数、同底数幂分别相乘，单独出现的字母连同指数直接作为积的因式；②对于第二个算式，直接运用单项式乘单项式的法则计算即可，计算时注意系数的符号和同底数幂的指数运算规则。
【解析】
计算第一个算式：
1. 先算乘方：根据积的乘方法则，$(3x^2)^2=3^2·(x^2)^2=9x^4$，原式转化为$(-5ax) · 9x^4 · y^2$；
2. 再算单项式乘法：系数相乘得$(-5)×9=-45$，同底数幂$x$相乘得$x^{1+4}=x^5$，保留单独出现的$a$和$y^2$，得结果$-45ax^5y^2$。
计算第二个算式：
直接计算单项式乘法：系数相乘得$(-2)×3=-6$，同底数幂$b$相乘得$b^{1+1}=b^2$，保留单独出现的$a$，得结果$-6ab^2$。
【答案】
$-45ax^5y^2$；$-6ab^2$
【知识点】
积的乘方运算；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础计算题，核心是掌握运算顺序和单项式乘法的运算规则，计算时要注意系数的符号，不要遗漏单独出现的字母，同底数幂相乘时是指数相加而非相乘，熟练掌握这类基础运算可为后续复杂整式运算打好基础。
【难度系数】
0.85
本题考查整式的乘法运算，解题遵循先乘方、后乘法的运算顺序：①对于第一个算式，先根据积的乘方法则计算$(3x^2)^2$，再按照单项式乘单项式的法则，将系数、同底数幂分别相乘，单独出现的字母连同指数直接作为积的因式；②对于第二个算式，直接运用单项式乘单项式的法则计算即可，计算时注意系数的符号和同底数幂的指数运算规则。
【解析】
计算第一个算式：
1. 先算乘方：根据积的乘方法则，$(3x^2)^2=3^2·(x^2)^2=9x^4$，原式转化为$(-5ax) · 9x^4 · y^2$；
2. 再算单项式乘法：系数相乘得$(-5)×9=-45$，同底数幂$x$相乘得$x^{1+4}=x^5$，保留单独出现的$a$和$y^2$，得结果$-45ax^5y^2$。
计算第二个算式：
直接计算单项式乘法：系数相乘得$(-2)×3=-6$，同底数幂$b$相乘得$b^{1+1}=b^2$，保留单独出现的$a$，得结果$-6ab^2$。
【答案】
$-45ax^5y^2$；$-6ab^2$
【知识点】
积的乘方运算；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础计算题，核心是掌握运算顺序和单项式乘法的运算规则，计算时要注意系数的符号，不要遗漏单独出现的字母，同底数幂相乘时是指数相加而非相乘，熟练掌握这类基础运算可为后续复杂整式运算打好基础。
【难度系数】
0.85
3.某同学在计算一个多项式乘以$-3x^2$时，因抄错运算符号，算成了加上$-3x^2$，得到的结果是$x^2 -4x +1$，那么正确的计算结果是。
答案
$\boldsymbol{-12x^4 + 12x^3 - 3x^2}$
解析
【分析】
解题需要分两步推导：第一步先还原出原本的多项式，已知学生误将乘法算成加法，即原多项式加上$-3x^2$得到结果$x^2 -4x +1$，因此用错误结果减去加上的$-3x^2$就能得到原多项式；第二步用求出的原多项式乘以$-3x^2$，按照单项式乘多项式的运算法则计算，即可得到正确结果。
【解析】
1. 求原多项式：
设该多项式为$A$，根据题意可列等式：
$A + (-3x^2) = x^2 - 4x + 1$
移项得原多项式：
$A = (x^2 - 4x + 1) - (-3x^2) = x^2 - 4x + 1 + 3x^2 = 4x^2 - 4x + 1$
2. 计算正确结果：
正确运算为原多项式乘以$-3x^2$，代入展开计算：
$\begin{aligned}(4x^2 - 4x + 1) × (-3x^2) &= 4x^2 × (-3x^2) + (-4x) × (-3x^2) + 1 × (-3x^2) \\&= -12x^4 + 12x^3 - 3x^2\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-12x^4 + 12x^3 - 3x^2}$
【知识点】
整式的加减运算；单项式乘多项式运算
【点评】
本题属于整式运算的基础变式题，解题核心是通过错误运算的结果反推原始多项式，再代入正确运算求解，计算过程中要重点注意各项的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
解题需要分两步推导：第一步先还原出原本的多项式，已知学生误将乘法算成加法，即原多项式加上$-3x^2$得到结果$x^2 -4x +1$，因此用错误结果减去加上的$-3x^2$就能得到原多项式；第二步用求出的原多项式乘以$-3x^2$，按照单项式乘多项式的运算法则计算，即可得到正确结果。
【解析】
1. 求原多项式：
设该多项式为$A$，根据题意可列等式：
$A + (-3x^2) = x^2 - 4x + 1$
移项得原多项式：
$A = (x^2 - 4x + 1) - (-3x^2) = x^2 - 4x + 1 + 3x^2 = 4x^2 - 4x + 1$
2. 计算正确结果：
正确运算为原多项式乘以$-3x^2$，代入展开计算：
$\begin{aligned}(4x^2 - 4x + 1) × (-3x^2) &= 4x^2 × (-3x^2) + (-4x) × (-3x^2) + 1 × (-3x^2) \\&= -12x^4 + 12x^3 - 3x^2\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-12x^4 + 12x^3 - 3x^2}$
【知识点】
整式的加减运算；单项式乘多项式运算
【点评】
本题属于整式运算的基础变式题，解题核心是通过错误运算的结果反推原始多项式，再代入正确运算求解，计算过程中要重点注意各项的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
4. 下面计算正确的是()
A.$3x^3 · 5x^2 = 15x^6$
B.$4y · (-2xy^2) = -8xy^3$
C.$(-3x)^2 · 4x^3 = -12x^5$
D.$(-2a)^3(-3a)^2 = -54a^5$
A.$3x^3 · 5x^2 = 15x^6$
B.$4y · (-2xy^2) = -8xy^3$
C.$(-3x)^2 · 4x^3 = -12x^5$
D.$(-2a)^3(-3a)^2 = -54a^5$
答案
B
解析
【分析】
本题考查整式乘法相关运算法则，解题思路是逐个选项依据单项式乘单项式、积的乘方、同底数幂的乘法法则计算，再和选项给出的结果比对，选出计算正确的选项。首先回忆运算法则：1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；2. 积的乘方，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；3. 单项式乘单项式，把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
【解析】
我们逐一计算每个选项：
A选项：$3x^3 · 5x^2$，系数相乘得$3×5=15$，同底数幂相乘得$x^3·x^2=x^{3+2}=x^5$，最终结果为$15x^5$，与选项中$15x^6$不符，A错误。
B选项：$4y · (-2xy^2)$，系数相乘得$4×(-2)=-8$，保留单独的因式$x$，同底数幂相乘得$y·y^2=y^{1+2}=y^3$，最终结果为$-8xy^3$，与选项结果一致，B正确。
C选项：先计算积的乘方$(-3x)^2=(-3)^2·x^2=9x^2$，再计算乘法$9x^2·4x^3$，系数相乘得$9×4=36$，同底数幂相乘得$x^2·x^3=x^{2+3}=x^5$，最终结果为$36x^5$，与选项中$-12x^5$不符，C错误。
D选项：分别计算积的乘方，$(-2a)^3=(-2)^3·a^3=-8a^3$，$(-3a)^2=(-3)^2·a^2=9a^2$，再计算乘法$-8a^3·9a^2$，系数相乘得$-8×9=-72$，同底数幂相乘得$a^3·a^2=a^{3+2}=a^5$，最终结果为$-72a^5$，与选项中$-54a^5$不符，D错误。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘单项式；积的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查对运算法则的掌握程度，解题时要特别注意符号运算和指数的运算规则，避免因粗心混淆指数运算方法或符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法相关运算法则，解题思路是逐个选项依据单项式乘单项式、积的乘方、同底数幂的乘法法则计算，再和选项给出的结果比对，选出计算正确的选项。首先回忆运算法则：1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；2. 积的乘方，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；3. 单项式乘单项式，把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
【解析】
我们逐一计算每个选项：
A选项：$3x^3 · 5x^2$，系数相乘得$3×5=15$，同底数幂相乘得$x^3·x^2=x^{3+2}=x^5$，最终结果为$15x^5$，与选项中$15x^6$不符，A错误。
B选项：$4y · (-2xy^2)$，系数相乘得$4×(-2)=-8$，保留单独的因式$x$，同底数幂相乘得$y·y^2=y^{1+2}=y^3$，最终结果为$-8xy^3$，与选项结果一致，B正确。
C选项：先计算积的乘方$(-3x)^2=(-3)^2·x^2=9x^2$，再计算乘法$9x^2·4x^3$，系数相乘得$9×4=36$，同底数幂相乘得$x^2·x^3=x^{2+3}=x^5$，最终结果为$36x^5$，与选项中$-12x^5$不符，C错误。
D选项：分别计算积的乘方，$(-2a)^3=(-2)^3·a^3=-8a^3$，$(-3a)^2=(-3)^2·a^2=9a^2$，再计算乘法$-8a^3·9a^2$，系数相乘得$-8×9=-72$，同底数幂相乘得$a^3·a^2=a^{3+2}=a^5$，最终结果为$-72a^5$，与选项中$-54a^5$不符，D错误。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘单项式；积的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查对运算法则的掌握程度，解题时要特别注意符号运算和指数的运算规则，避免因粗心混淆指数运算方法或符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
5.如果单项式$-3x^{4a - b}y^2$与$\frac{1}{3}x^3y^{a + b}$是同类项，那么这两个单项式的积是（）
A.$x^6y^4$
B.$-x^3y^2$
C.$-\frac{8}{3}x^3y^2$
D.$-x^6y^4$
A.$x^6y^4$
B.$-x^3y^2$
C.$-\frac{8}{3}x^3y^2$
D.$-x^6y^4$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相等，由此可确定两个单项式中x、y的对应指数相等。再结合单项式乘单项式的运算法则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂分别相乘（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），将对应数值代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 单项式$-3x^{4a - b}y^2$与$\frac{1}{3}x^3y^{a + b}$是同类项
∴ 相同字母的指数相等，即$4a - b = 3$，$a + b = 2$
根据单项式乘单项式的运算法则计算乘积：
$\begin{aligned}&(-3x^{4a - b}y^2) × \frac{1}{3}x^3y^{a + b}\\=&(-3 × \frac{1}{3}) × (x^{4a - b} · x^3) × (y^2 · y^{a + b})\\=&-1 × x^{3+3} × y^{2+2}\\=&-x^6y^4\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题主要考查同类项的概念与单项式乘法的运算，解题的关键是熟练掌握同类项的性质和单项式乘法的计算法则，整体计算量小，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相等，由此可确定两个单项式中x、y的对应指数相等。再结合单项式乘单项式的运算法则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂分别相乘（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），将对应数值代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 单项式$-3x^{4a - b}y^2$与$\frac{1}{3}x^3y^{a + b}$是同类项
∴ 相同字母的指数相等，即$4a - b = 3$，$a + b = 2$
根据单项式乘单项式的运算法则计算乘积：
$\begin{aligned}&(-3x^{4a - b}y^2) × \frac{1}{3}x^3y^{a + b}\\=&(-3 × \frac{1}{3}) × (x^{4a - b} · x^3) × (y^2 · y^{a + b})\\=&-1 × x^{3+3} × y^{2+2}\\=&-x^6y^4\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题主要考查同类项的概念与单项式乘法的运算，解题的关键是熟练掌握同类项的性质和单项式乘法的计算法则，整体计算量小，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
6.计算:
(1)$2a^{2}× (-2ab)× (-ab)^{3};$
(2)$(2m^{2}n)^{2}+(-mn)(-\frac{1}{3}m^{3}n);$
(3)$3x^{3}y^{3}· (-\frac{2}{3}x^{2}y^{2})+(-\frac{1}{3}x^{2}y)^{3}· 9xy^{2}.$
(1)$2a^{2}× (-2ab)× (-ab)^{3};$
(2)$(2m^{2}n)^{2}+(-mn)(-\frac{1}{3}m^{3}n);$
(3)$3x^{3}y^{3}· (-\frac{2}{3}x^{2}y^{2})+(-\frac{1}{3}x^{2}y)^{3}· 9xy^{2}.$
答案
解：
(1) 先计算乘方：$(-ab)^3=-a^3b^3$
原式$=2a^2 · (-2ab) · (-a^3b^3)$
$=[2×(-2)×(-1)]· a^{2+1+3}b^{1+3}$
$=4a^6b^4$
(2) 分别化简两项：
$(2m^2n)^2=4m^4n^2$
$(-mn)·(-\frac{1}{3}m^3n)=\frac{1}{3}m^{1+3}n^{1+1}=\frac{1}{3}m^4n^2$
原式$=4m^4n^2+\frac{1}{3}m^4n^2$
$=\frac{13}{3}m^4n^2$
(3) 分别化简两项：
$3x^3y^3 · (-\frac{2}{3}x^2y^2)=[3×(-\frac{2}{3})]x^{3+2}y^{3+2}=-2x^5y^5$
$(-\frac{1}{3}x^2y)^3 · 9xy^2=(-\frac{1}{27}x^6y^3)·9xy^2=(-\frac{1}{27}×9)x^{6+1}y^{3+2}=-\frac{1}{3}x^7y^5$
原式$=-2x^5y^5-\frac{1}{3}x^7y^5$
(1) 先计算乘方：$(-ab)^3=-a^3b^3$
原式$=2a^2 · (-2ab) · (-a^3b^3)$
$=[2×(-2)×(-1)]· a^{2+1+3}b^{1+3}$
$=4a^6b^4$
(2) 分别化简两项：
$(2m^2n)^2=4m^4n^2$
$(-mn)·(-\frac{1}{3}m^3n)=\frac{1}{3}m^{1+3}n^{1+1}=\frac{1}{3}m^4n^2$
原式$=4m^4n^2+\frac{1}{3}m^4n^2$
$=\frac{13}{3}m^4n^2$
(3) 分别化简两项：
$3x^3y^3 · (-\frac{2}{3}x^2y^2)=[3×(-\frac{2}{3})]x^{3+2}y^{3+2}=-2x^5y^5$
$(-\frac{1}{3}x^2y)^3 · 9xy^2=(-\frac{1}{27}x^6y^3)·9xy^2=(-\frac{1}{27}×9)x^{6+1}y^{3+2}=-\frac{1}{3}x^7y^5$
原式$=-2x^5y^5-\frac{1}{3}x^7y^5$
解析
【分析】
这三道题均属于整式混合运算，解题遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序：①先处理乘方运算，依据积的乘方法则计算，注意负号的奇偶次幂的符号变化；②再计算单项式乘单项式，系数相乘作为结果的系数，同底数幂分别相乘，仅在一个单项式中出现的字母连同指数直接保留在积中；③最后判断是否有同类项，同类项需要合并，非同类项直接保留即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-ab)^3=-a^3b^3$
原式$=2a^2 · (-2ab) · (-a^3b^3)$
$=[2×(-2)×(-1)]· a^{2+1+3}b^{1+3}$
$=4a^6b^4$
(2) 分别化简两项：
$(2m^2n)^2=4m^4n^2$
$(-mn)·(-\frac{1}{3}m^3n)=\frac{1}{3}m^{1+3}n^{1+1}=\frac{1}{3}m^4n^2$
原式$=4m^4n^2+\frac{1}{3}m^4n^2$
$=\frac{13}{3}m^4n^2$
(3) 分别化简两项：
$3x^3y^3 · (-\frac{2}{3}x^2y^2)=[3×(-\frac{2}{3})]x^{3+2}y^{3+2}=-2x^5y^5$
$(-\frac{1}{3}x^2y)^3 · 9xy^2=(-\frac{1}{27}x^6y^3)·9xy^2=(-\frac{1}{27}×9)x^{6+1}y^{3+2}=-\frac{1}{3}x^7y^5$
原式$=-2x^5y^5-\frac{1}{3}x^7y^5$
【答案】
(1) $4a^6b^4$；(2) $\frac{13}{3}m^4n^2$；(3) $-2x^5y^5-\frac{1}{3}x^7y^5$
【知识点】
积的乘方、单项式乘单项式、合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础常规题，重点考察整式运算顺序和相关运算法则的应用，计算时需要特别注意符号判断、系数运算以及同底数幂的指数相加规则，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
这三道题均属于整式混合运算，解题遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序：①先处理乘方运算，依据积的乘方法则计算，注意负号的奇偶次幂的符号变化；②再计算单项式乘单项式，系数相乘作为结果的系数，同底数幂分别相乘，仅在一个单项式中出现的字母连同指数直接保留在积中；③最后判断是否有同类项，同类项需要合并，非同类项直接保留即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-ab)^3=-a^3b^3$
原式$=2a^2 · (-2ab) · (-a^3b^3)$
$=[2×(-2)×(-1)]· a^{2+1+3}b^{1+3}$
$=4a^6b^4$
(2) 分别化简两项：
$(2m^2n)^2=4m^4n^2$
$(-mn)·(-\frac{1}{3}m^3n)=\frac{1}{3}m^{1+3}n^{1+1}=\frac{1}{3}m^4n^2$
原式$=4m^4n^2+\frac{1}{3}m^4n^2$
$=\frac{13}{3}m^4n^2$
(3) 分别化简两项：
$3x^3y^3 · (-\frac{2}{3}x^2y^2)=[3×(-\frac{2}{3})]x^{3+2}y^{3+2}=-2x^5y^5$
$(-\frac{1}{3}x^2y)^3 · 9xy^2=(-\frac{1}{27}x^6y^3)·9xy^2=(-\frac{1}{27}×9)x^{6+1}y^{3+2}=-\frac{1}{3}x^7y^5$
原式$=-2x^5y^5-\frac{1}{3}x^7y^5$
【答案】
(1) $4a^6b^4$；(2) $\frac{13}{3}m^4n^2$；(3) $-2x^5y^5-\frac{1}{3}x^7y^5$
【知识点】
积的乘方、单项式乘单项式、合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础常规题，重点考察整式运算顺序和相关运算法则的应用，计算时需要特别注意符号判断、系数运算以及同底数幂的指数相加规则，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
7. (1) 先化简, 再求值: $2x^2y(-2xy^2)^3 + (2xy)^3 · (-xy^2)^2$, 其中 $x=4, y=\frac{1}{4}$;
(2) 已知 $\frac{1}{4}(x^2y^3)^m · (2xy^{n+1})^2 = x^4y^9$, 求 $m,n$ 的值.
(2) 已知 $\frac{1}{4}(x^2y^3)^m · (2xy^{n+1})^2 = x^4y^9$, 求 $m,n$ 的值.
答案
解：
(1) 先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2x^2y· (-8x^3y^6) + 8x^3y^3· x^2y^4\\&=-16x^5y^7 + 8x^5y^7\\&=-8x^5y^7\end{aligned}$
当$x=4$，$y=\frac{1}{4}$时，
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-8· x^5· y^7\\&=-8· (xy)^5· y^2\\&=-8× (4× \frac{1}{4})^5 × (\frac{1}{4})^2\\&=-8× 1 × \frac{1}{16}\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 化简等式左边：
$\begin{aligned}\frac{1}{4}(x^2y^3)^m· (2xy^{n+1})^2&=\frac{1}{4}· x^{2m}y^{3m}· 4x^2y^{2n+2}\\&=x^{2m+2}y^{3m+2n+2}\end{aligned}$
由等式左右两边同底数幂的指数对应相等，可得：
$\begin{cases}2m + 2 = 4\\3m + 2n + 2 = 9\end{cases}$
解得：$\boldsymbol{m=1}$，$\boldsymbol{n=2}$。
(1) 先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2x^2y· (-8x^3y^6) + 8x^3y^3· x^2y^4\\&=-16x^5y^7 + 8x^5y^7\\&=-8x^5y^7\end{aligned}$
当$x=4$，$y=\frac{1}{4}$时，
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-8· x^5· y^7\\&=-8· (xy)^5· y^2\\&=-8× (4× \frac{1}{4})^5 × (\frac{1}{4})^2\\&=-8× 1 × \frac{1}{16}\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 化简等式左边：
$\begin{aligned}\frac{1}{4}(x^2y^3)^m· (2xy^{n+1})^2&=\frac{1}{4}· x^{2m}y^{3m}· 4x^2y^{2n+2}\\&=x^{2m+2}y^{3m+2n+2}\end{aligned}$
由等式左右两边同底数幂的指数对应相等，可得：
$\begin{cases}2m + 2 = 4\\3m + 2n + 2 = 9\end{cases}$
解得：$\boldsymbol{m=1}$，$\boldsymbol{n=2}$。
解析
【分析】
(1) 本题是整式化简求值题，解题思路为：第一步先依据积的乘方、幂的乘方法则计算原式中的乘方项；第二步按照单项式乘单项式的规则计算乘法，再合并同类项得到最简整式；第三步代入x、y的数值，可利用积的乘方的逆运算简化计算过程，降低运算量。
(2) 本题是利用整式相等求参数的题，解题思路为：先根据幂的运算法则化简等式左侧的整式，再根据“两个相等的单项式中，相同字母的指数对应相等”，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到参数的值。
【解析】
(1) 先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2x^2y· (-2xy^2)^3 + (2xy)^3 · (-xy^2)^2\\&=2x^2y· (-8x^3y^6) + 8x^3y^3· x^2y^4\\&=-16x^5y^7 + 8x^5y^7\\&=-8x^5y^7\end{aligned}$
当$x=4$，$y=\frac{1}{4}$时，代入最简式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-8· x^5· y^7\\&=-8· (xy)^5· y^2\\&=-8× (4× \frac{1}{4})^5 × (\frac{1}{4})^2\\&=-8× 1 × \frac{1}{16}\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 先化简等式左边：
$\begin{aligned}\frac{1}{4}(x^2y^3)^m · (2xy^{n+1})^2&=\frac{1}{4}· x^{2m}y^{3m}· 4x^2y^{2n+2}\\&=x^{2m+2}y^{3m+2n+2}\end{aligned}$
已知化简后等式为$x^{2m+2}y^{3m+2n+2}=x^4y^9$，根据相同字母指数对应相等，列方程组：
$\begin{cases}2m + 2 = 4\\3m + 2n + 2 = 9\end{cases}$
解第一个方程得$2m=2$，即$m=1$；将$m=1$代入第二个方程，得$3+2n+2=9$，解得$2n=4$，即$n=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$；(2) $\boldsymbol{m=1}$，$\boldsymbol{n=2}$
【知识点】
幂的运算法则、整式化简求值、二元一次方程组求解
【点评】
本题是整式乘法模块的基础典型题，重点考查幂的乘方、积的乘方、单项式乘法等核心运算规则，第一问融入简便计算技巧，可有效减少运算失误；第二问将整式运算与方程知识结合，考查知识的综合应用能力，熟练掌握幂的运算规则是解题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是整式化简求值题，解题思路为：第一步先依据积的乘方、幂的乘方法则计算原式中的乘方项；第二步按照单项式乘单项式的规则计算乘法，再合并同类项得到最简整式；第三步代入x、y的数值，可利用积的乘方的逆运算简化计算过程，降低运算量。
(2) 本题是利用整式相等求参数的题，解题思路为：先根据幂的运算法则化简等式左侧的整式，再根据“两个相等的单项式中，相同字母的指数对应相等”，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到参数的值。
【解析】
(1) 先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2x^2y· (-2xy^2)^3 + (2xy)^3 · (-xy^2)^2\\&=2x^2y· (-8x^3y^6) + 8x^3y^3· x^2y^4\\&=-16x^5y^7 + 8x^5y^7\\&=-8x^5y^7\end{aligned}$
当$x=4$，$y=\frac{1}{4}$时，代入最简式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-8· x^5· y^7\\&=-8· (xy)^5· y^2\\&=-8× (4× \frac{1}{4})^5 × (\frac{1}{4})^2\\&=-8× 1 × \frac{1}{16}\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 先化简等式左边：
$\begin{aligned}\frac{1}{4}(x^2y^3)^m · (2xy^{n+1})^2&=\frac{1}{4}· x^{2m}y^{3m}· 4x^2y^{2n+2}\\&=x^{2m+2}y^{3m+2n+2}\end{aligned}$
已知化简后等式为$x^{2m+2}y^{3m+2n+2}=x^4y^9$，根据相同字母指数对应相等，列方程组：
$\begin{cases}2m + 2 = 4\\3m + 2n + 2 = 9\end{cases}$
解第一个方程得$2m=2$，即$m=1$；将$m=1$代入第二个方程，得$3+2n+2=9$，解得$2n=4$，即$n=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$；(2) $\boldsymbol{m=1}$，$\boldsymbol{n=2}$
【知识点】
幂的运算法则、整式化简求值、二元一次方程组求解
【点评】
本题是整式乘法模块的基础典型题，重点考查幂的乘方、积的乘方、单项式乘法等核心运算规则，第一问融入简便计算技巧，可有效减少运算失误；第二问将整式运算与方程知识结合，考查知识的综合应用能力，熟练掌握幂的运算规则是解题的核心。
【难度系数】
0.7
8.市环保局将一个长$2×10^{6}$分米、宽$4×10^{4}$分米、高$8×10^{2}$分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化,请你想一想,能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满?若有,求出正方体贮水池的棱长;若没有,请说明理由.
答案
解：
计算长方体废水池的废水总体积：
$\begin{aligned}V&=(2×10^6)×(4×10^4)×(8×10^2)\\&=(2×4×8)×(10^6×10^4×10^2)\\&=64×10^{12}\\&=(4×10^4)^3\end{aligned}$
该体积恰好是一个有理数的立方，因此存在符合要求的正方体贮水池，正方体贮水池的棱长为$4×10^4$分米。
答：能恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满，正方体贮水池的棱长为$4×10^4$分米。
计算长方体废水池的废水总体积：
$\begin{aligned}V&=(2×10^6)×(4×10^4)×(8×10^2)\\&=(2×4×8)×(10^6×10^4×10^2)\\&=64×10^{12}\\&=(4×10^4)^3\end{aligned}$
该体积恰好是一个有理数的立方，因此存在符合要求的正方体贮水池，正方体贮水池的棱长为$4×10^4$分米。
答：能恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满，正方体贮水池的棱长为$4×10^4$分米。
解析
【分析】
要判断是否存在刚好装满废水的正方体贮水池，本质是判断长方体废水池的容积是否能表示为某一个数的立方：若能，则存在这样的正方体，这个数就是正方体的棱长。解题时先根据长方体体积公式计算废水的总体积，计算过程中运用单项式乘单项式、同底数幂的乘法法则运算，再将运算结果变形为立方的形式即可得出结论。
【解析】
首先计算长方体废水池的废水总体积：
$\begin{aligned}V&=(2×10^6)×(4×10^4)×(8×10^2)\\&=(2×4×8)×(10^6×10^4×10^2)\\&=64×10^{12}\\&=(4×10^4)^3\end{aligned}$
废水总体积恰好是$4×10^4$的立方，符合正方体体积=棱长³的公式，因此存在符合要求的正方体贮水池，其棱长为$4×10^4$分米。
【答案】
能恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满，正方体贮水池的棱长为$4×10^4$分米。
【知识点】
1. 单项式乘法运算 2. 同底数幂的乘法 3. 长方体与正方体体积计算
【点评】
本题将整式乘法运算和立体图形体积计算相结合，解题核心是抓住“废水体积等于正方体贮水池容积”这一等量关系，通过计算长方体体积、验证体积是否为完全立方数即可求解，有效考查了整式运算法则的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断是否存在刚好装满废水的正方体贮水池，本质是判断长方体废水池的容积是否能表示为某一个数的立方：若能，则存在这样的正方体，这个数就是正方体的棱长。解题时先根据长方体体积公式计算废水的总体积，计算过程中运用单项式乘单项式、同底数幂的乘法法则运算，再将运算结果变形为立方的形式即可得出结论。
【解析】
首先计算长方体废水池的废水总体积：
$\begin{aligned}V&=(2×10^6)×(4×10^4)×(8×10^2)\\&=(2×4×8)×(10^6×10^4×10^2)\\&=64×10^{12}\\&=(4×10^4)^3\end{aligned}$
废水总体积恰好是$4×10^4$的立方，符合正方体体积=棱长³的公式，因此存在符合要求的正方体贮水池，其棱长为$4×10^4$分米。
【答案】
能恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满，正方体贮水池的棱长为$4×10^4$分米。
【知识点】
1. 单项式乘法运算 2. 同底数幂的乘法 3. 长方体与正方体体积计算
【点评】
本题将整式乘法运算和立体图形体积计算相结合，解题核心是抓住“废水体积等于正方体贮水池容积”这一等量关系，通过计算长方体体积、验证体积是否为完全立方数即可求解，有效考查了整式运算法则的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
9.当$|a+b-1|+(a-b-3)^2=0$时，化简求值：$3a^2(a^3b^2-2a)-4a(-a^2b)^2.$
答案
解：
∵ $|a+b-1|≥0$，$(a-b-3)^2≥0$，且$|a+b-1|+(a-b-3)^2=0$
∴ $\begin{cases}a + b - 1 = 0 \\ a - b - 3 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=2 \\ b=-1\end{cases}$
化简原式：
$\begin{aligned}&3a^2(a^3b^2 - 2a) - 4a(-a^2b)^2\\=&3a^2· a^3b^2 - 3a^2· 2a - 4a· a^4b^2\\=&3a^5b^2 - 6a^3 - 4a^5b^2\\=&-a^5b^2 -6a^3\end{aligned}$
将$a=2$，$b=-1$代入：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-2^5×(-1)^2 -6×2^3\\&=-32×1 -6×8\\&=-32 -48\\&=-80\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{-80}$。
∵ $|a+b-1|≥0$，$(a-b-3)^2≥0$，且$|a+b-1|+(a-b-3)^2=0$
∴ $\begin{cases}a + b - 1 = 0 \\ a - b - 3 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=2 \\ b=-1\end{cases}$
化简原式：
$\begin{aligned}&3a^2(a^3b^2 - 2a) - 4a(-a^2b)^2\\=&3a^2· a^3b^2 - 3a^2· 2a - 4a· a^4b^2\\=&3a^5b^2 - 6a^3 - 4a^5b^2\\=&-a^5b^2 -6a^3\end{aligned}$
将$a=2$，$b=-1$代入：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-2^5×(-1)^2 -6×2^3\\&=-32×1 -6×8\\&=-32 -48\\&=-80\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{-80}$。
解析
【分析】
首先观察已知等式，绝对值和平方数都具有非负性，两者相加等于0，说明每一项都为0，据此可列出二元一次方程组求出a、b的值；再对所求整式按照先乘方、再乘法、最后合并同类项的顺序化简，得到最简式后代入a、b的值计算即可，先化简再代值能减少计算量，降低出错概率。
【解析】
∵ $|a+b-1|≥0$，$(a-b-3)^2≥0$，且$|a+b-1|+(a-b-3)^2=0$
∴ $\begin{cases}a + b - 1 = 0 \\ a - b - 3 = 0\end{cases}$
两式相加得$2a-4=0$，解得$a=2$，将$a=2$代入$a+b-1=0$，得$2+b-1=0$，解得$b=-1$，即$\begin{cases}a=2 \\ b=-1\end{cases}$
化简原式：
$\begin{aligned}&3a^2(a^3b^2 - 2a) - 4a(-a^2b)^2\\=&3a^2· a^3b^2 - 3a^2· 2a - 4a· a^4b^2\\=&3a^5b^2 - 6a^3 - 4a^5b^2\\=&-a^5b^2 -6a^3\end{aligned}$
将$a=2$，$b=-1$代入最简式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-2^5×(-1)^2 -6×2^3\\&=-32×1 -6×8\\&=-32 -48\\&=-80\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-80}$
【知识点】
非负数的性质、整式乘法运算、化简求值
【点评】
本题综合考查了非负数的应用和整式运算能力，解题时先求参数再化简代值的思路能有效提升计算准确率，需要熟练掌握整式乘方、单项式乘多项式的运算法则。
【难度系数】
0.7
首先观察已知等式，绝对值和平方数都具有非负性，两者相加等于0，说明每一项都为0，据此可列出二元一次方程组求出a、b的值；再对所求整式按照先乘方、再乘法、最后合并同类项的顺序化简，得到最简式后代入a、b的值计算即可，先化简再代值能减少计算量，降低出错概率。
【解析】
∵ $|a+b-1|≥0$，$(a-b-3)^2≥0$，且$|a+b-1|+(a-b-3)^2=0$
∴ $\begin{cases}a + b - 1 = 0 \\ a - b - 3 = 0\end{cases}$
两式相加得$2a-4=0$，解得$a=2$，将$a=2$代入$a+b-1=0$，得$2+b-1=0$，解得$b=-1$，即$\begin{cases}a=2 \\ b=-1\end{cases}$
化简原式：
$\begin{aligned}&3a^2(a^3b^2 - 2a) - 4a(-a^2b)^2\\=&3a^2· a^3b^2 - 3a^2· 2a - 4a· a^4b^2\\=&3a^5b^2 - 6a^3 - 4a^5b^2\\=&-a^5b^2 -6a^3\end{aligned}$
将$a=2$，$b=-1$代入最简式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-2^5×(-1)^2 -6×2^3\\&=-32×1 -6×8\\&=-32 -48\\&=-80\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-80}$
【知识点】
非负数的性质、整式乘法运算、化简求值
【点评】
本题综合考查了非负数的应用和整式运算能力，解题时先求参数再化简代值的思路能有效提升计算准确率，需要熟练掌握整式乘方、单项式乘多项式的运算法则。
【难度系数】
0.7
