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【例】如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF. 求证：∠ACB=∠DFE.
【点拨】先证△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性质即可得出结论. 本题考查全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.
图14.2-15
【点拨】先证△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性质即可得出结论. 本题考查全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.
图14.2-15
答案
证明：
∵AF=CD，
∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF. 在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EF, \\ AC=DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB=∠DFE.
∵AF=CD，
∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF. 在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EF, \\ AC=DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB=∠DFE.
解析
【分析】
我们的目标是证明∠ACB=∠DFE，观察发现这两个角分别在△ABC和△DEF中，所以只要证明这两个三角形全等，就能利用全等三角形对应角相等得到结论。首先找全等的条件：题目已经给出AB=DE、BC=EF，还缺一组对应边相等的条件。已知AF=CD，我们可以在这两个相等的线段上都加上公共部分CF，根据等式的性质，就能得到AC=DF。此时△ABC和△DEF的三组对应边都相等，符合SSS全等判定的条件，证得全等后就可以推出对应角∠ACB=∠DFE了。
【解析】
证明：
∵AF=CD，
∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EF, \\ AC=DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB=∠DFE。
【答案】
∠ACB=∠DFE
【知识点】
线段和差计算，SSS判定全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题，解题关键是先通过线段的和差关系得到三角形全等的第三组对应边，再用SSS判定三角形全等，最后利用全等性质得到对应角相等，侧重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.8
我们的目标是证明∠ACB=∠DFE，观察发现这两个角分别在△ABC和△DEF中，所以只要证明这两个三角形全等，就能利用全等三角形对应角相等得到结论。首先找全等的条件：题目已经给出AB=DE、BC=EF，还缺一组对应边相等的条件。已知AF=CD，我们可以在这两个相等的线段上都加上公共部分CF，根据等式的性质，就能得到AC=DF。此时△ABC和△DEF的三组对应边都相等，符合SSS全等判定的条件，证得全等后就可以推出对应角∠ACB=∠DFE了。
【解析】
证明：
∵AF=CD，
∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EF, \\ AC=DF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB=∠DFE。
【答案】
∠ACB=∠DFE
【知识点】
线段和差计算，SSS判定全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题，解题关键是先通过线段的和差关系得到三角形全等的第三组对应边，再用SSS判定三角形全等，最后利用全等性质得到对应角相等，侧重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.8
1. 如图，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数为
127°
。答案
1. 127°
解析
【分析】
首先观察图形和已知条件，AB=AD、CB=CD，且AC是△ABC和△ADC的公共边，可先通过SSS判定定理证明两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等的性质，求出△ACD中两个内角的度数，最后结合三角形内角和定理计算∠ACD的度数。
【解析】
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AB = AD(\mathrm{已知}) \\CB = CD(\mathrm{已知}) \\AC = AC(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ D = ∠ B = 30°$，$∠ BAC = ∠ DAC$
$\because ∠ BAD = 46°$，$\therefore ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAD = \frac{1}{2} × 46° = 23°$
在$△ ACD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACD = 180° - ∠ D - ∠ DAC = 180° - 30° - 23° = 127°$
【答案】
$127°$
【知识点】
SSS证全等；全等三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题关键是准确识别公共边，利用全等三角形的性质转化已知角度，再结合内角和公式求解，解题时注意不要遗漏角平分线的推导步骤。
【难度系数】
0.8
首先观察图形和已知条件，AB=AD、CB=CD，且AC是△ABC和△ADC的公共边，可先通过SSS判定定理证明两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等的性质，求出△ACD中两个内角的度数，最后结合三角形内角和定理计算∠ACD的度数。
【解析】
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AB = AD(\mathrm{已知}) \\CB = CD(\mathrm{已知}) \\AC = AC(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ D = ∠ B = 30°$，$∠ BAC = ∠ DAC$
$\because ∠ BAD = 46°$，$\therefore ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAD = \frac{1}{2} × 46° = 23°$
在$△ ACD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACD = 180° - ∠ D - ∠ DAC = 180° - 30° - 23° = 127°$
【答案】
$127°$
【知识点】
SSS证全等；全等三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题关键是准确识别公共边，利用全等三角形的性质转化已知角度，再结合内角和公式求解，解题时注意不要遗漏角平分线的推导步骤。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，则下列结论不正确的是（
A.$AD$平分$∠ BAC$
B.$∠ B=∠ C$
C.$△ ABD$是直角三角形
D.$△ ABC$是等边三角形
D
）A.$AD$平分$∠ BAC$
B.$∠ B=∠ C$
C.$△ ABD$是直角三角形
D.$△ ABC$是等边三角形
答案
2. D
解析
【分析】
已知AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，D是BC中点，结合等腰三角形的性质逐一分析各选项，即可找出结论不正确的选项。解题时先回忆等腰三角形“三线合一”、两底角相等的性质，再对比等边三角形的判定条件判断即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠B=∠C，故B选项结论正确，不符合题意；
∵D是BC的中点，即AD是等腰△ABC底边BC上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD平分∠BAC，且AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，即△ABD是直角三角形，故A、C选项结论均正确，不符合题意；
等边三角形需要三条边都相等，题干仅给出AB=AC，未说明BC与AB、AC长度相等，无法判定△ABC是等边三角形，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三线合一，等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形的相关性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的特征，明确等边三角形和等腰三角形的判定区别，不要混淆两者的概念。
【难度系数】
0.9
已知AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，D是BC中点，结合等腰三角形的性质逐一分析各选项，即可找出结论不正确的选项。解题时先回忆等腰三角形“三线合一”、两底角相等的性质，再对比等边三角形的判定条件判断即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠B=∠C，故B选项结论正确，不符合题意；
∵D是BC的中点，即AD是等腰△ABC底边BC上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD平分∠BAC，且AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，即△ABD是直角三角形，故A、C选项结论均正确，不符合题意；
等边三角形需要三条边都相等，题干仅给出AB=AC，未说明BC与AB、AC长度相等，无法判定△ABC是等边三角形，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三线合一，等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形的相关性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的特征，明确等边三角形和等腰三角形的判定区别，不要混淆两者的概念。
【难度系数】
0.9
3. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图, 为了得到$∠ P'O'Q'=∠ POQ$, 在用直尺和圆规作图的过程中, 得到$△ AOB≌△ A'O'B'$的依据是 (
A.SAS
B.SSS
C.ASA
D.AAS
B
)A.SAS
B.SSS
C.ASA
D.AAS
答案
3. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆尺规作一个角等于已知角的操作步骤，明确作图过程中得到的相等线段，再结合三角形全等的判定定理分析即可：首先作图时以O为圆心画弧得到OA、OB，再以相同长度为半径以O'为圆心画弧得到O'A'、O'B'，可推出OA=O'A'，OB=O'B'；最后以A'为圆心、AB长为半径画弧得到B'，可推出AB=A'B'，由此可根据三组边对应相等判断全等的依据。
【解析】
根据尺规作一个角等于已知角的过程可得：
1. 以O为圆心任意长为半径画弧，交OP、OQ于A、B，得$OA=OB$；
2. 以O'为圆心，OA的长度为半径画弧交O'P'于A'，得$O'A'=OA$，$O'B'=OB$；
3. 以A'为圆心，AB的长度为半径画弧，和上一步的弧交于B'，得$A'B'=AB$。
因此在$△ AOB$和$△ A'O'B'$中：
$\begin{cases}OA=O'A'\\OB=O'B'\\AB=A'B'\end{cases}$
所以$△ AOB≌△ A'O'B'$（SSS），故选B。
【答案】
B
【知识点】
尺规作角；全等三角形SSS判定
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形全等的判定，属于基础题，只要熟练掌握作一个角等于已知角的步骤，明确作图过程中的相等线段即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆尺规作一个角等于已知角的操作步骤，明确作图过程中得到的相等线段，再结合三角形全等的判定定理分析即可：首先作图时以O为圆心画弧得到OA、OB，再以相同长度为半径以O'为圆心画弧得到O'A'、O'B'，可推出OA=O'A'，OB=O'B'；最后以A'为圆心、AB长为半径画弧得到B'，可推出AB=A'B'，由此可根据三组边对应相等判断全等的依据。
【解析】
根据尺规作一个角等于已知角的过程可得：
1. 以O为圆心任意长为半径画弧，交OP、OQ于A、B，得$OA=OB$；
2. 以O'为圆心，OA的长度为半径画弧交O'P'于A'，得$O'A'=OA$，$O'B'=OB$；
3. 以A'为圆心，AB的长度为半径画弧，和上一步的弧交于B'，得$A'B'=AB$。
因此在$△ AOB$和$△ A'O'B'$中：
$\begin{cases}OA=O'A'\\OB=O'B'\\AB=A'B'\end{cases}$
所以$△ AOB≌△ A'O'B'$（SSS），故选B。
【答案】
B
【知识点】
尺规作角；全等三角形SSS判定
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形全等的判定，属于基础题，只要熟练掌握作一个角等于已知角的步骤，明确作图过程中的相等线段即可快速作答。
【难度系数】
0.8
