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19. (2023·长春)甲、乙两人相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车直达山顶。甲、乙距山脚的垂直高度y(米)与甲登山的时间x(分钟)之间的函数图象如图所示：
(1) 当$15≤ x≤ 40$时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
(2) 求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度。
(1) 当$15≤ x≤ 40$时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
(2) 求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度。
答案
19. (1) 设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为$y=kx+b$,
∵ 直线过$(15,0)$和$(40,300)$,
∴ $\begin{cases}15k+b=0, \\40k+b=300,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=12, \\b=-180,\end{cases}$
∴ 乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为$y=12x-180$；(2) 设甲的函数解析式为:$y=mx+n$,将$(25,160)$和$(60,300)$代入得: $\begin{cases}160=25m+n, \\300=60m+n,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=4, \\n=60,\end{cases}$
∴ $y=4x+60$；
∵ 乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度,
∴ $\begin{cases}y=12x-180, \\y=4x+60,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=30, \\y=180,\end{cases}$
∴ 乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米.
∵ 直线过$(15,0)$和$(40,300)$,
∴ $\begin{cases}15k+b=0, \\40k+b=300,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=12, \\b=-180,\end{cases}$
∴ 乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为$y=12x-180$；(2) 设甲的函数解析式为:$y=mx+n$,将$(25,160)$和$(60,300)$代入得: $\begin{cases}160=25m+n, \\300=60m+n,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=4, \\n=60,\end{cases}$
∴ $y=4x+60$；
∵ 乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度,
∴ $\begin{cases}y=12x-180, \\y=4x+60,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=30, \\y=180,\end{cases}$
∴ 乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米.
20. (2024·广安)某小区物管中心计划采购A,B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元;购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元.
(1) 求A,B两种花卉的单价.
(2) 该物管中心计划采购A,B两种花卉共计10000株,其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍,当A,B两种花卉分别采购多少株时,总费用最少?并求出最少总费用.
(1) 求A,B两种花卉的单价.
(2) 该物管中心计划采购A,B两种花卉共计10000株,其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍,当A,B两种花卉分别采购多少株时,总费用最少?并求出最少总费用.
答案
20. (1) 设A种花卉的单价为x元/株,B种花卉的单价为y元/株.由题意得: $\begin{cases}2x+3y=21, \\4x+5y=37,\end{cases}$ 解得: $\begin{cases}x=3, \\y=5,\end{cases}$ 答:A种花卉的单价为3元/株,B种花卉的单价为5元/株；(2) 设采购A种花卉m株,则B种花卉$(10000-m)$株,总费用为W元.由题意得:$W=3m+5(10000-m)=-2m+50000$,
∵ $m≤4(10000-m)$,解得:$m≤8000$,在$W=-2m+50000$中,
∵ $-2＜0$,
∴ W随m的增大而减小,
∴ 当$m=8000$时W的值最小,$W=-2×8000+50000=34000$,此时$10000-m=2000$,答:当购进A种花卉8000株,B种花卉2000株时,总费用最少,最少费用为34000元.
∵ $m≤4(10000-m)$,解得:$m≤8000$,在$W=-2m+50000$中,
∵ $-2＜0$,
∴ W随m的增大而减小,
∴ 当$m=8000$时W的值最小,$W=-2×8000+50000=34000$,此时$10000-m=2000$,答:当购进A种花卉8000株,B种花卉2000株时,总费用最少,最少费用为34000元.
21. (2023·金华)兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变，妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s(米)与哥哥离开学校的时间t(分)的函数关系.
(1) 求哥哥步行的速度.
(2) 已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧.
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由.
(1) 求哥哥步行的速度.
(2) 已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧.
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由.
答案
21. (1) 由$A(8,800)$可知哥哥的速度为:$800÷8=100$(m/min).
(2) ①
∵ 妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
∴ 妹妹所用时间t为:$800÷200=4$(min).
∵ 妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
∴ $a=8+2-4=6$. ② 由(1)可知:哥哥的速度为100 m/min，
∴ 设BC所在直线为$s_1=100t+b$,将$B(17,800)$代入得$800=100×17+b$,解得$b=-900$.
∴ BC所在直线为:$s_1=100t-900$.当$s_1=1900$时,$t_{哥哥}=28$.
∵ 返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，
∴ 妹妹的速度是160米/分，
∴ 设妹妹返回时得解析式为$s_2=160t+b$,将$F(20,800)$代入得$800=160×20+b$,解得$b=-2400$,
∴ $s_2=160t-2400$.令$s_1=s_2$,则有$100t-900=160t-2400$,解得$t=25＜28$,
∴ 妹妹能追上哥哥，此时哥哥所走得路程为:$800+(25-17)×100=1600$(米).兄妹俩离家还有$1900-1600=300$(米),即妹妹能追上哥哥,追上时兄妹俩离家300米远.
(2) ①
∵ 妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
∴ 妹妹所用时间t为:$800÷200=4$(min).
∵ 妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
∴ $a=8+2-4=6$. ② 由(1)可知:哥哥的速度为100 m/min，
∴ 设BC所在直线为$s_1=100t+b$,将$B(17,800)$代入得$800=100×17+b$,解得$b=-900$.
∴ BC所在直线为:$s_1=100t-900$.当$s_1=1900$时,$t_{哥哥}=28$.
∵ 返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，
∴ 妹妹的速度是160米/分，
∴ 设妹妹返回时得解析式为$s_2=160t+b$,将$F(20,800)$代入得$800=160×20+b$,解得$b=-2400$,
∴ $s_2=160t-2400$.令$s_1=s_2$,则有$100t-900=160t-2400$,解得$t=25＜28$,
∴ 妹妹能追上哥哥，此时哥哥所走得路程为:$800+(25-17)×100=1600$(米).兄妹俩离家还有$1900-1600=300$(米),即妹妹能追上哥哥,追上时兄妹俩离家300米远.
