7 (2025无锡宜兴月考)如图，$BD=BC$，$BE=CA$，$∠ DBE=∠ C=61°$，$∠ BDE=76°$，则$∠ EBC$的度数为 （）

A.$12°$
B.$13°$
C.$15°$
D.$25°$
（第7题）

7. C

【分析】
解题时首先从已知的边、角相等条件入手，发现两组对应边相等且夹角相等，可通过“SAS”判定定理证明△BDE和△BCA全等，再利用全等三角形对应角相等得到∠ABC的度数，最后结合图形中角的和差关系即可求出∠EBC的度数。
【解析】
在$△ BDE$和$△ BCA$中：
$\begin{cases}BD=BC \quad (\mathrm{已知}) \\∠ DBE=∠ C \quad (\mathrm{已知}) \\BE=CA \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ BCA \ (\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ BDE=∠ ABC$（全等三角形的对应角相等）
已知$∠ BDE=76°$，则$∠ ABC=76°$。
观察图形可知$∠ ABC=∠ DBE+∠ EBC$，已知$∠ DBE=61°$，
$\therefore ∠ EBC=∠ ABC-∠ DBE=76°-61°=15°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 边角边证全等
2. 全等三角形的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题主要考查全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的核心是准确找到全等三角形的对应边和对应角，结合图形分析角的组成关系即可顺利求解，属于基础类的全等应用题型。
【难度系数】
0.7

8（2025常州天宁月考）如图，AD是$△ ABC$的高，$AD=BD$，$DE=DC$，$∠ BAC=65°$，则$∠ ABE$的度数是（）

A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$

8. B

【分析】
解题思路如下：首先根据AD是△ABC的高得到两个直角相等，结合已知AD=BD、DE=DC，可利用SAS判定△BDE≌△ADC，得到对应角∠DBE=∠DAC；再由AD=BD可知△ABD是等腰直角三角形，求出∠BAD和∠ABD的度数；结合已知∠BAC的度数算出∠DAC的度数，最后通过角度的和差关系求出∠ABE的度数即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
又
∵AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∵∠BAC=65°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD=65°-45°=20°，
在△BDE和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}BD=AD\\ ∠ BDE=∠ ADC=90°\\ DE=DC\end{array} $
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴∠DBE=∠DAC=20°，
∴∠ABE=∠ABD - ∠DBE=45°-20°=25°。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形高的定义
【点评】
本题是三角形的基础综合题，解题核心是通过边角边判定证明三角形全等，得到对应角相等，再结合等腰直角三角形的角度特征进行角度的和差计算，解题时注意对应边、对应角不要混淆。
【难度系数】
0.7

9 (2025南通如皋月考)如图，$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ BAC=∠ DAE$，$∠ 1=25°$，$∠ 2=30°$，则$∠ 3=$.

9. $55°$

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先根据已知的∠BAC=∠DAE，两个角同时减去公共角∠DAC，推导出∠1=∠CAE；第二步，结合已知的AB=AC、AD=AE，利用边角边（SAS）判定定理证明△BAD≌△CAE，得到对应角∠ABD=∠2；第三步，利用三角形外角的性质，∠3是△ABD的外角，等于不相邻的两个内角∠1和∠ABD的和，代入数值即可算出∠3的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠1=∠CAE。
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC（已知）\\∠1=∠CAE（已证）\\AD=AE（已知）\end{array} $
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠2=30°（全等三角形对应角相等）。
∵∠3是△ABD的外角，
∴∠3=∠1 + ∠ABD = 25° + 30° = 55°。
【答案】
$55°$
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形的性质、三角形外角性质
【点评】
本题是全等三角形与角度计算的综合基础题，解题的核心是先通过角的和差关系推导等角，证明三角形全等得到对应角相等，再结合外角性质计算角度，是几何角度计算类的常见考法。
【难度系数】
0.7

10 易错题（2025无锡新吴期中）如图，$AB=9\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，$∠ B=∠ C$，点$P$在线段$BC$上以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度由$B$点向$C$点运动，同时，点$Q$从点$C$出发沿射线$CD$运动，若经过$t\ \mathrm{s}$后，$△ ABP$与$△ CQP$全等，则$t$的值是。

10. $\dfrac{3}{2}$或$3$

【分析】
已知∠B=∠C，说明△ABP和△CQP中∠B与∠C是对应角，由于题目未明确两个全等三角形的对应顶点，因此需要分两种情况讨论对应边的相等关系：①AB对应PC，BP对应CQ；②AB对应CQ，BP对应PC。先根据点P的运动速度表示出BP、PC的长度，再分别根据两种全等的对应边相等列方程求解即可。
【解析】
由题意得，点P的运动速度为2cm/s，运动时间为t s，因此$BP=2t\ \mathrm{cm}$，$PC=BC-BP=(12-2t)\ \mathrm{cm}$。
已知∠B=∠C，分两种情况讨论：
1. 当$△ ABP ≌ △ PCQ$时，对应边相等：$AB=PC$，$BP=CQ$。
代入已知$AB=9\ \mathrm{cm}$，得：
$9=12-2t$
解得$t=\dfrac{3}{2}$。
2. 当$△ ABP ≌ △ QCP$时，对应边相等：$AB=CQ$，$BP=PC$。
因此$2t=12-2t$
解得$t=3$。
两种情况均符合题意，因此t的值为$\dfrac{3}{2}$或3。
【答案】
$\dfrac{3}{2}$或$3$
【知识点】
全等三角形的性质，分类讨论思想，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于动点类全等问题，是易错题，解题的关键是明确全等三角形未给出对应顶点时，要结合已知等角先确定对应顶点的所有可能情况，再根据对应边相等列方程求解，避免漏解。
【难度系数】
0.6

11（2025扬州高邮期中）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD=AB，过点C作CE//AB且CE=BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G.
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若∠B=60°，∠D=22°，求∠AFG的度数.

11. （1）证明:因为 $CE// AB$,所以$∠ B=∠ DCE$.
在$△ ABC$ 与$△ DCE$ 中,$\begin{cases} BC=CE,\\ ∠ B=∠ DCE,\\ AB=DC, \end{cases}$
所以$△ ABC≌ △ DCE(\mathrm{SAS})$.
（2）解:因为$△ ABC≌ △ DCE$,$∠ B=60°$,$∠ D=22°$,
所以$∠ ECD=∠ B=60°$,$∠ A=∠ D=22°$.
因为 $CE// AB$,所以$∠ ACE=∠ A=22°$,
因为$∠ CED=180°-∠ D-∠ ECD=180°-22°-60°=98°$,
所以$∠ AFG=∠ DFC=∠ CED-∠ ACE=98°-22°=76°$.

【分析】
（1）要证明△ABC≌△DCE，首先根据CE//AB可推出同位角∠B=∠DCE，结合题目给出的BC=CE、AB=DC的已知条件，刚好满足边角边（SAS）的全等判定要求，即可完成证明。
（2）求∠AFG的度数时，先利用全等三角形对应角相等的性质得到∠A、∠ECD的度数，再结合平行线内错角相等得到∠ACE的度数，先计算△DCE中∠CED的度数，再通过三角形外角性质和对顶角相等的关系，即可求出∠AFG的度数。
【解析】
（1）证明：
$\because CE// AB$，
$\therefore ∠ B=∠ DCE$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$与$△ DCE$中，
$\begin{cases} BC=CE,\\ ∠ B=∠ DCE,\\ AB=DC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △ DCE(\mathrm{SAS})$。
（2）解：
$\because △ ABC≌ △ DCE$，$∠ B=60°$，$∠ D=22°$，
$\therefore ∠ ECD=∠ B=60°$，$∠ A=∠ D=22°$（全等三角形对应角相等）。
$\because CE// AB$，
$\therefore ∠ ACE=∠ A=22°$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ DCE$中，$∠ CED=180°-∠ D-∠ ECD=180°-22°-60°=98°$。
$\because ∠ CED$是$△ CEF$的外角，
$\therefore ∠ DFC=∠ CED-∠ ACE=98°-22°=76°$。
又$\because ∠ AFG$与$∠ DFC$是对顶角，
$\therefore ∠ AFG=∠ DFC=76°$。
【答案】
（1）$△ ABC≌ △ DCE$得证；
（2）$\boldsymbol{76°}$
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题是全等三角形与平行线性质的综合应用题，第一问侧重考察全等判定条件的梳理，需要准确对应相等的边和夹角；第二问需要结合多个角的等量关系完成转化，解题时要注意梳理角与角之间的关联，避免混淆对应角。
【难度系数】
0.7

12 (2025 泰州姜堰月考)如图,在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一直线上,连接BD.
(1)求证:△BAD≌△CAE;
(2)请判断BD,CE有何大小、位置关系,并证明.

12. （1）证明:因为$∠ BAC=∠ DAE=90°$,
所以$∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+∠ CAD$,即$∠ BAD=∠ CAE$.
在$△ BAD$ 和$△ CAE$ 中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAD=∠ CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
所以$△ BAD≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$.
（2）解:$BD=CE$,$BD⊥ CE$,证明如下:
由(1)知$△ BAD≌ △ CAE$,
所以$∠ ADB=∠ E$,$BD=CE$.
因为$∠ DAE=90°$,所以$∠ E+∠ ADE=90°$,
所以$∠ ADB+∠ ADE=90°$,即$∠ BDE=90°$,
所以 $BD⊥ CE$.

【分析】
(1) 要证明△BAD≌△CAE，已知两组对应边AB=AC、AD=AE，根据边角边（SAS）的全等判定条件，只需证明两组边的夹角相等即可。已知∠BAC和∠DAE均为90°，两个角同时加上公共角∠CAD，即可得到夹角∠BAD=∠CAE，满足SAS判定条件，即可证明全等。
(2) 判断BD和CE的关系需分大小、位置两部分：大小关系可直接由全等三角形对应边相等得到；位置关系需判断是否垂直，可利用全等三角形对应角相等得到∠ADB=∠E，结合Rt△ADE中两锐角互余的性质，进行角的代换得到∠BDE=90°，即可证明垂直。
【解析】
（1）证明:
因为$∠ BAC=∠ DAE=90°$,
所以$∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+∠ CAD$,即$∠ BAD=∠ CAE$.
在$△ BAD$ 和$△ CAE$ 中,
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAD=∠ CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
所以$△ BAD≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$.
（2）解:$BD=CE$,$BD⊥ CE$,证明如下:
由(1)知$△ BAD≌ △ CAE$,根据全等三角形的性质，可得$∠ ADB=∠ E$,$BD=CE$.
因为$∠ DAE=90°$,在△ADE中，直角三角形两锐角互余，所以$∠ E+∠ ADE=90°$,
将$∠E$替换为$∠ADB$，得$∠ ADB+∠ ADE=90°$,即$∠ BDE=90°$,
所以 $BD⊥ CE$.
【答案】
(1) △BAD≌△CAE得证；
(2) $BD=CE$，$BD⊥CE$
【知识点】
SAS判定全等，全等三角形的性质，垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，解题关键是利用等角加公共角得到相等夹角，结合已知边相等证明全等，再通过角的等量代换推导垂直关系，是全等章节的典型常考题，能有效训练几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7