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11 某室内篮球馆每月的固定支出费用为10 000元，入场票价为20元/人，为吸引顾客，凡入场者每人赠送成本2元的矿泉水一瓶。设每月有x人到该篮球馆打球，每月净利润为y元，请写出y与x之间的函数表达式：
$y=18x-10\ 000$
。答案
$y=18x-10\ 000$
解析
【分析】
要写出净利润y与人数x的函数表达式，首先需明确净利润的计算逻辑：净利润=总收入-总支出。第一步先计算总收入：每人票价20元，x人的总收入为20x元；第二步梳理总支出：总支出包含两部分，一是固定支出10000元（与人数无关），二是给入场者的矿泉水成本，每人2元，x人的矿泉水成本为2x元，总支出为两者之和；第三步将总收入和总支出代入净利润公式，化简即可得到函数表达式。
【解析】
解：每月的总收入为：$20x$ 元
每月的总支出为：固定支出 + 矿泉水总成本 = $10000 + 2x$ 元
根据“净利润=总收入-总支出”，可得：
$y = 20x - (10000 + 2x)$
化简后得：
$y = 18x - 10000$
【答案】
$y=18x-10\ 000$
【知识点】
列函数关系式；一次函数的实际应用；利润问题计算
【点评】
本题属于一次函数实际应用的基础题型，解题核心是理清题目中的数量关系，准确区分固定成本和变动成本，找准等量关系后代入化简即可，是巩固函数概念与实际应用结合的典型基础题。
【难度系数】
0.9
要写出净利润y与人数x的函数表达式，首先需明确净利润的计算逻辑：净利润=总收入-总支出。第一步先计算总收入：每人票价20元，x人的总收入为20x元；第二步梳理总支出：总支出包含两部分，一是固定支出10000元（与人数无关），二是给入场者的矿泉水成本，每人2元，x人的矿泉水成本为2x元，总支出为两者之和；第三步将总收入和总支出代入净利润公式，化简即可得到函数表达式。
【解析】
解：每月的总收入为：$20x$ 元
每月的总支出为：固定支出 + 矿泉水总成本 = $10000 + 2x$ 元
根据“净利润=总收入-总支出”，可得：
$y = 20x - (10000 + 2x)$
化简后得：
$y = 18x - 10000$
【答案】
$y=18x-10\ 000$
【知识点】
列函数关系式；一次函数的实际应用；利润问题计算
【点评】
本题属于一次函数实际应用的基础题型，解题核心是理清题目中的数量关系，准确区分固定成本和变动成本，找准等量关系后代入化简即可，是巩固函数概念与实际应用结合的典型基础题。
【难度系数】
0.9
12 如图，EF是线段BC的垂直平分线，交BC于点D，A是直线EF上一动点，它从点D出发沿射线DE方向运动，当∠BAC减少x°时，∠ABC增加y°，则y与x之间的函数表达式为
$y=\dfrac{1}{2}x$
。答案
$y=\dfrac{1}{2}x$ 【解析】$\because$ EF 是线段 BC 的垂直平分线，$\therefore AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$. $\because ∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB=180°$，当$∠ BAC$减少$x°$时，$∠ ABC$增加$y°$，$\therefore ∠ BAC - x° + ∠ ABC + y° + ∠ ACB + y°=180°$，$\therefore 2y° - x°=0$，即 $y=\dfrac{1}{2}x$.
解析
【分析】
解题可按以下思路进行：第一步，先观察图形已知EF是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形，因此两底角∠ABC=∠ACB；第二步，利用三角形内角和为180°，分别写出∠BAC变化前后的内角和等式；第三步，将两个等式作差消去固定的角的量，即可推导得到y与x的函数关系。
【解析】
∵ EF是线段BC的垂直平分线，点A在EF上，
∴ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB。
根据三角形内角和定理，变化前：$∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，即$∠ BAC + 2∠ ABC = 180°$。
当∠BAC减少$x°$，∠ABC增加$y°$时，∠ACB也增加$y°$，此时内角和满足：
$(∠ BAC - x°) + (∠ ABC + y°) + (∠ ACB + y°) = 180°$
整理得：$∠ BAC + 2∠ ABC - x° + 2y° = 180°$
将$∠ BAC + 2∠ ABC = 180°$代入上式，可得：
$180° - x° + 2y° = 180°$
化简得$2y = x$，即$y=\dfrac{1}{2}x$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{2}x$
【知识点】
垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何与函数的基础综合题，解题的核心是抓住等腰三角形两底角相等、三角形内角和为固定值这两个不变量，通过列等量关系推导变量之间的函数表达式，能较好地考查学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路进行：第一步，先观察图形已知EF是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形，因此两底角∠ABC=∠ACB；第二步，利用三角形内角和为180°，分别写出∠BAC变化前后的内角和等式；第三步，将两个等式作差消去固定的角的量，即可推导得到y与x的函数关系。
【解析】
∵ EF是线段BC的垂直平分线，点A在EF上，
∴ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB。
根据三角形内角和定理，变化前：$∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，即$∠ BAC + 2∠ ABC = 180°$。
当∠BAC减少$x°$，∠ABC增加$y°$时，∠ACB也增加$y°$，此时内角和满足：
$(∠ BAC - x°) + (∠ ABC + y°) + (∠ ACB + y°) = 180°$
整理得：$∠ BAC + 2∠ ABC - x° + 2y° = 180°$
将$∠ BAC + 2∠ ABC = 180°$代入上式，可得：
$180° - x° + 2y° = 180°$
化简得$2y = x$，即$y=\dfrac{1}{2}x$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{2}x$
【知识点】
垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何与函数的基础综合题，解题的核心是抓住等腰三角形两底角相等、三角形内角和为固定值这两个不变量，通过列等量关系推导变量之间的函数表达式，能较好地考查学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
13 教材 P146 例1变式 写出下列各题中两个变量之间的函数表达式,并判断该函数是否为一次函数、是否为正比例函数.
（1）长为8 cm 的长方形的周长$C(\mathrm{cm})$随宽$b(\mathrm{cm})$的变化而变化；
（2）食堂原有煤120吨,每天用去5吨,$x$天后还剩下$y$吨煤；
（3）如图,$BE$,$CE$分别平分$∠ ABC$,$∠ ACD$,$∠ E=y°$,$∠ A=x°$.
（1）长为8 cm 的长方形的周长$C(\mathrm{cm})$随宽$b(\mathrm{cm})$的变化而变化；
（2）食堂原有煤120吨,每天用去5吨,$x$天后还剩下$y$吨煤；
（3）如图,$BE$,$CE$分别平分$∠ ABC$,$∠ ACD$,$∠ E=y°$,$∠ A=x°$.
答案
（1）$C=2b+16$ 是一次函数，不是正比例函数
（2）$y=120-5x$ 是一次函数，不是正比例函数
（3）$y=\dfrac{1}{2}x$ 是一次函数，也是正比例函数
（2）$y=120-5x$ 是一次函数，不是正比例函数
（3）$y=\dfrac{1}{2}x$ 是一次函数，也是正比例函数
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路分别如下：
1. 第(1)问：回忆长方形周长公式，将已知的长代入公式，即可得到周长C与宽b的函数关系，再对照一次函数、正比例函数的定义判断类型。
2. 第(2)问：根据“剩余煤量=原有煤量-已用煤量”的数量关系，代入对应数值即可得到y与x的函数关系，再判断函数类型。
3. 第(3)问：先利用三角形外角的性质得到∠ACD与∠A、∠ABC的关系，再结合角平分线的性质表示出∠ECD和∠EBC，再次利用三角形外角性质建立∠E和∠A的等量关系，化简得到y与x的表达式，最后判断函数类型。
【解析】
（1）根据长方形周长公式：$C=2×(长+宽)$，已知长为8cm，宽为b cm，代入得：
$C=2(8+b)=2b+16$
形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$）的函数是一次函数，形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数是正比例函数。
此处$k=2\ne0$，常数项$16\ne0$，因此该函数是一次函数，不是正比例函数。
（2）x天用去的煤量为$5x$吨，剩余煤量=原有煤量-用去煤量，因此：
$y=120-5x$，即$y=-5x+120$
此处$k=-5\ne0$，常数项$120\ne0$，因此该函数是一次函数，不是正比例函数。
（3）$\because ∠ACD$是$△ ABC$的外角，$\therefore ∠ACD=∠A+∠ABC$
$\because CE$平分$∠ACD$，$\therefore ∠ECD=\frac{1}{2}∠ACD=\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)$
$\because BE$平分$∠ABC$，$\therefore ∠EBC=\frac{1}{2}∠ABC$
又$\because ∠ECD$是$△ BCE$的外角，$\therefore ∠ECD=∠E+∠EBC$
将$∠ ECD$和$∠ EBC$的表达式代入得：
$\frac{1}{2}(x°+∠ABC)=y°+\frac{1}{2}∠ABC$
化简消去$\frac{1}{2}∠ABC$，得$y=\frac{1}{2}x$
此处$k=\frac{1}{2}\ne0$，常数项为0，因此该函数是一次函数，也是正比例函数。
【答案】
（1）$C=2b+16$ 是一次函数，不是正比例函数
（2）$y=120-5x$ 是一次函数，不是正比例函数
（3）$y=\dfrac{1}{2}x$ 是一次函数，也是正比例函数
【知识点】
一次函数的概念；正比例函数的概念；三角形外角的性质
【点评】
本题考查函数表达式的列写与一次函数、正比例函数的判别，既涉及代数的基础函数定义，也结合了几何的角平分线、三角形外角性质，熟练掌握相关定义和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.75
本题分为三个小问，解题思路分别如下：
1. 第(1)问：回忆长方形周长公式，将已知的长代入公式，即可得到周长C与宽b的函数关系，再对照一次函数、正比例函数的定义判断类型。
2. 第(2)问：根据“剩余煤量=原有煤量-已用煤量”的数量关系，代入对应数值即可得到y与x的函数关系，再判断函数类型。
3. 第(3)问：先利用三角形外角的性质得到∠ACD与∠A、∠ABC的关系，再结合角平分线的性质表示出∠ECD和∠EBC，再次利用三角形外角性质建立∠E和∠A的等量关系，化简得到y与x的表达式，最后判断函数类型。
【解析】
（1）根据长方形周长公式：$C=2×(长+宽)$，已知长为8cm，宽为b cm，代入得：
$C=2(8+b)=2b+16$
形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$）的函数是一次函数，形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数是正比例函数。
此处$k=2\ne0$，常数项$16\ne0$，因此该函数是一次函数，不是正比例函数。
（2）x天用去的煤量为$5x$吨，剩余煤量=原有煤量-用去煤量，因此：
$y=120-5x$，即$y=-5x+120$
此处$k=-5\ne0$，常数项$120\ne0$，因此该函数是一次函数，不是正比例函数。
（3）$\because ∠ACD$是$△ ABC$的外角，$\therefore ∠ACD=∠A+∠ABC$
$\because CE$平分$∠ACD$，$\therefore ∠ECD=\frac{1}{2}∠ACD=\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)$
$\because BE$平分$∠ABC$，$\therefore ∠EBC=\frac{1}{2}∠ABC$
又$\because ∠ECD$是$△ BCE$的外角，$\therefore ∠ECD=∠E+∠EBC$
将$∠ ECD$和$∠ EBC$的表达式代入得：
$\frac{1}{2}(x°+∠ABC)=y°+\frac{1}{2}∠ABC$
化简消去$\frac{1}{2}∠ABC$，得$y=\frac{1}{2}x$
此处$k=\frac{1}{2}\ne0$，常数项为0，因此该函数是一次函数，也是正比例函数。
【答案】
（1）$C=2b+16$ 是一次函数，不是正比例函数
（2）$y=120-5x$ 是一次函数，不是正比例函数
（3）$y=\dfrac{1}{2}x$ 是一次函数，也是正比例函数
【知识点】
一次函数的概念；正比例函数的概念；三角形外角的性质
【点评】
本题考查函数表达式的列写与一次函数、正比例函数的判别，既涉及代数的基础函数定义，也结合了几何的角平分线、三角形外角性质，熟练掌握相关定义和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.75
14 某工厂加工一批产品，为了提前交货，规定每名工人完成100个以内(含100个)，每个产品付酬1.5元；超过100个，超过部分每个产品付酬增加0.3元；超过200个，超过部分除按上述规定外，每个产品付酬再增加0.4元.求一名工人：
(1) 完成100个以内(含100个)所得报酬y(元)与产品数量x(个)之间的函数表达式；
(2) 完成100个以上，但不超过200个所得报酬y(元)与产品数量x(个)之间的函数表达式；
(3) 完成200个以上所得报酬y(元)与产品数量x(个)之间的函数表达式.
(1) 完成100个以内(含100个)所得报酬y(元)与产品数量x(个)之间的函数表达式；
(2) 完成100个以上，但不超过200个所得报酬y(元)与产品数量x(个)之间的函数表达式；
(3) 完成200个以上所得报酬y(元)与产品数量x(个)之间的函数表达式.
答案
(1) $y=1.5x\ (0≤ x≤ 100)$
(2) $y=1.5× 100+(x-100)×(1.5+0.3)=1.8x-30(100＜x≤ 200)$
(3) $y=1.5× 100+(1.5+0.3)× 100+(x-200)×(1.5+0.3+0.4)=2.2x-110(x＞200)$
(2) $y=1.5× 100+(x-100)×(1.5+0.3)=1.8x-30(100＜x≤ 200)$
(3) $y=1.5× 100+(1.5+0.3)× 100+(x-200)×(1.5+0.3+0.4)=2.2x-110(x＞200)$
解析
【分析】
这是分段计费类的函数应用题，需根据产品数量x对应的不同取值范围，匹配对应的报酬计算规则列式：
1. 当x在0到100（含100）区间时，每个产品报酬都是1.5元，总报酬直接用“单价×数量”计算即可；
2. 当x在100到200（含200）区间时，报酬分为两部分：前100个按每个1.5元计算，超出100的部分按每个(1.5+0.3)元计算，两部分相加就是总报酬；
3. 当x大于200时，报酬分为三部分：前100个按1.5元/个计算，101到200这100个按(1.5+0.3)元/个计算，超出200的部分按(1.5+0.3+0.4)元/个计算，三部分相加后化简即可得到函数式。
同时要注意每个函数式后标注对应的自变量x的取值范围。
【解析】
(1) 当完成数量满足$0≤ x≤100$时，每个产品付酬1.5元，总报酬为：
$y = 1.5x\quad(0≤ x≤100)$
(2) 当完成数量满足$100＜x≤200$时，前100个总报酬为$1.5×100$元，超出100个的部分共$(x-100)$个，每个报酬为$1.5+0.3=1.8$元，总报酬为：
$y = 1.5×100 + (x-100)×1.8$
化简得：$y = 1.8x - 30\quad(100＜x≤200)$
(3) 当完成数量满足$x＞200$时，前100个总报酬为$1.5×100$元，101~200这100个总报酬为$1.8×100$元，超出200个的部分共$(x-200)$个，每个报酬为$1.8+0.4=2.2$元，总报酬为：
$y = 1.5×100 + 1.8×100 + (x-200)×2.2$
化简得：$y = 2.2x - 110\quad(x＞200)$
【答案】
(1) $y=1.5x\ (0≤ x≤ 100)$
(2) $y=1.8x-30\ (100＜x≤ 200)$
(3) $y=2.2x-110\ (x＞200)$
【知识点】
分段函数求解；实际问题列函数式；一次函数化简
【点评】
本题是典型的分段计费类函数应用问题，解题核心是分区间明确计费规则，分段计算报酬后合并化简，要特别注意每个函数表达式对应的自变量取值范围不可遗漏。
【难度系数】
0.8
这是分段计费类的函数应用题，需根据产品数量x对应的不同取值范围，匹配对应的报酬计算规则列式：
1. 当x在0到100（含100）区间时，每个产品报酬都是1.5元，总报酬直接用“单价×数量”计算即可；
2. 当x在100到200（含200）区间时，报酬分为两部分：前100个按每个1.5元计算，超出100的部分按每个(1.5+0.3)元计算，两部分相加就是总报酬；
3. 当x大于200时，报酬分为三部分：前100个按1.5元/个计算，101到200这100个按(1.5+0.3)元/个计算，超出200的部分按(1.5+0.3+0.4)元/个计算，三部分相加后化简即可得到函数式。
同时要注意每个函数式后标注对应的自变量x的取值范围。
【解析】
(1) 当完成数量满足$0≤ x≤100$时，每个产品付酬1.5元，总报酬为：
$y = 1.5x\quad(0≤ x≤100)$
(2) 当完成数量满足$100＜x≤200$时，前100个总报酬为$1.5×100$元，超出100个的部分共$(x-100)$个，每个报酬为$1.5+0.3=1.8$元，总报酬为：
$y = 1.5×100 + (x-100)×1.8$
化简得：$y = 1.8x - 30\quad(100＜x≤200)$
(3) 当完成数量满足$x＞200$时，前100个总报酬为$1.5×100$元，101~200这100个总报酬为$1.8×100$元，超出200个的部分共$(x-200)$个，每个报酬为$1.8+0.4=2.2$元，总报酬为：
$y = 1.5×100 + 1.8×100 + (x-200)×2.2$
化简得：$y = 2.2x - 110\quad(x＞200)$
【答案】
(1) $y=1.5x\ (0≤ x≤ 100)$
(2) $y=1.8x-30\ (100＜x≤ 200)$
(3) $y=2.2x-110\ (x＞200)$
【知识点】
分段函数求解；实际问题列函数式；一次函数化简
【点评】
本题是典型的分段计费类函数应用问题，解题核心是分区间明确计费规则，分段计算报酬后合并化简，要特别注意每个函数表达式对应的自变量取值范围不可遗漏。
【难度系数】
0.8
