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五、解决问题。
1. 一块砖长42厘米，宽26厘米，用这样的砖铺成一块正方形地，至少要多少块？
1. 一块砖长42厘米，宽26厘米，用这样的砖铺成一块正方形地，至少要多少块？
答案
1. 273块
解析
【分析】
要用最少的长方形砖铺成正方形，正方形的边长必须同时是砖的长和宽的倍数，也就是两者的公倍数；要砖的数量最少，对应的正方形边长就最小，也就是求42和26的最小公倍数。接下来先算出最小公倍数得到最小正方形的边长，再分别计算边长里包含多少个砖的长、多少个砖的宽，最后把两个数量相乘就能得到总块数。
【解析】
第一步：求42和26的最小公倍数
分解质因数：
$42 = 2 × 3 × 7$
$26 = 2 × 13$
所以42和26的最小公倍数是 $2 × 3 × 7 × 13 = 546$，即铺成的最小正方形的边长是546厘米。
第二步：计算长方向需要的砖数：$546 ÷ 42 = 13$（块）
第三步：计算宽方向需要的砖数：$546 ÷ 26 = 21$（块）
第四步：计算总块数：$13 × 21 = 273$（块）
【答案】
273块
【知识点】
1. 最小公倍数计算
2. 公倍数实际应用
【点评】
本题是公倍数在生活场景中的典型应用，解题的核心是理解“最少块数铺成正方形”对应的边长就是砖长和宽的最小公倍数，结合简单的乘除运算就能求解，能有效提升将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
要用最少的长方形砖铺成正方形，正方形的边长必须同时是砖的长和宽的倍数，也就是两者的公倍数；要砖的数量最少，对应的正方形边长就最小，也就是求42和26的最小公倍数。接下来先算出最小公倍数得到最小正方形的边长，再分别计算边长里包含多少个砖的长、多少个砖的宽，最后把两个数量相乘就能得到总块数。
【解析】
第一步：求42和26的最小公倍数
分解质因数：
$42 = 2 × 3 × 7$
$26 = 2 × 13$
所以42和26的最小公倍数是 $2 × 3 × 7 × 13 = 546$，即铺成的最小正方形的边长是546厘米。
第二步：计算长方向需要的砖数：$546 ÷ 42 = 13$（块）
第三步：计算宽方向需要的砖数：$546 ÷ 26 = 21$（块）
第四步：计算总块数：$13 × 21 = 273$（块）
【答案】
273块
【知识点】
1. 最小公倍数计算
2. 公倍数实际应用
【点评】
本题是公倍数在生活场景中的典型应用，解题的核心是理解“最少块数铺成正方形”对应的边长就是砖长和宽的最小公倍数，结合简单的乘除运算就能求解，能有效提升将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
2. 一块正方形布料,既可以做成边长是18厘米的小正方形手帕,又可以做成边长是30厘米的小正方形手帕,且都没有剩余。这块正方形布料的边长至少是多少厘米？
答案
2. 90厘米
解析
【分析】
要解决这道题，首先读懂题意：正方形布料做成两种边长的小正方形手帕都没有剩余，说明大正方形布料的边长必须同时是18厘米和30厘米的倍数，也就是18和30的公倍数。题目要求边长至少是多少，本质就是求18和30的最小公倍数，接下来用短除法计算两个数的最小公倍数即可。
【解析】
我们用短除法求18和30的最小公倍数：
1. 先对18和30分解公有的质因数，首先除以公因数2，得到商分别为9和15；
2. 继续对9和15除以公因数3，得到商分别为3和5，此时3和5只有公因数1，停止短除；
3. 最小公倍数等于所有公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，即：$2×3×3×5=90$（厘米）。
【答案】
90厘米
【知识点】
1. 公倍数的概念
2. 最小公倍数的求解
3. 公倍数的实际应用
【点评】
这是公倍数知识在实际生活中的典型应用题，解题关键是把题干中“无剩余、至少”的描述，转化为求两个数最小公倍数的数学问题，熟练掌握最小公倍数的计算方法就能快速作答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先读懂题意：正方形布料做成两种边长的小正方形手帕都没有剩余，说明大正方形布料的边长必须同时是18厘米和30厘米的倍数，也就是18和30的公倍数。题目要求边长至少是多少，本质就是求18和30的最小公倍数，接下来用短除法计算两个数的最小公倍数即可。
【解析】
我们用短除法求18和30的最小公倍数：
1. 先对18和30分解公有的质因数，首先除以公因数2，得到商分别为9和15；
2. 继续对9和15除以公因数3，得到商分别为3和5，此时3和5只有公因数1，停止短除；
3. 最小公倍数等于所有公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，即：$2×3×3×5=90$（厘米）。
【答案】
90厘米
【知识点】
1. 公倍数的概念
2. 最小公倍数的求解
3. 公倍数的实际应用
【点评】
这是公倍数知识在实际生活中的典型应用题，解题关键是把题干中“无剩余、至少”的描述，转化为求两个数最小公倍数的数学问题，熟练掌握最小公倍数的计算方法就能快速作答。
【难度系数】
0.7
3. 学校科学小组参加社会实践活动,分组时按3人一组或8人一组分,都多出2人。已知这个小组的人数是20~30人,那么这个小组共有多少人？
答案
3. 26人
解析
【分析】
解题时首先理解题意：按3人一组或8人一组都多2人，说明若将总人数减去2，得到的数既能被3整除，也能被8整除，也就是这个数是3和8的公倍数。接下来我们先求出3和8的公倍数，再加上2，最后筛选出在20~30之间的数，就是小组的总人数。
【解析】
1. 分析条件可知：总人数 - 2 = 3和8的公倍数
2. 计算3和8的最小公倍数：3和8是互质数，最小公倍数为 $3 × 8 = 24$
3. 3和8的公倍数有24、48、72……，结合总人数在20~30之间，符合条件的公倍数只有24
4. 计算总人数：$24 + 2 = 26$（人）
验证：26除以3得8组余2人，26除以8得3组余2人，完全符合题目条件。
【答案】
26人
【知识点】
1. 公倍数的应用
2. 最小公倍数计算
【点评】
这是公倍数在实际场景中的典型应用题，解题关键是把“分组都剩余2人”的条件转化为“总人数减2是两个数的公倍数”，再结合给定的人数范围就能快速得出结果，能有效考查学生的知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先理解题意：按3人一组或8人一组都多2人，说明若将总人数减去2，得到的数既能被3整除，也能被8整除，也就是这个数是3和8的公倍数。接下来我们先求出3和8的公倍数，再加上2，最后筛选出在20~30之间的数，就是小组的总人数。
【解析】
1. 分析条件可知：总人数 - 2 = 3和8的公倍数
2. 计算3和8的最小公倍数：3和8是互质数，最小公倍数为 $3 × 8 = 24$
3. 3和8的公倍数有24、48、72……，结合总人数在20~30之间，符合条件的公倍数只有24
4. 计算总人数：$24 + 2 = 26$（人）
验证：26除以3得8组余2人，26除以8得3组余2人，完全符合题目条件。
【答案】
26人
【知识点】
1. 公倍数的应用
2. 最小公倍数计算
【点评】
这是公倍数在实际场景中的典型应用题，解题关键是把“分组都剩余2人”的条件转化为“总人数减2是两个数的公倍数”，再结合给定的人数范围就能快速得出结果，能有效考查学生的知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 某市2路和7路公共汽车早上6时同时从起始站发车,2路车每8分钟发一辆车,7路车每10分钟发一辆车。这两路公共汽车在几时几分第二次同时发车？
答案
4. 早上6时40分
解析
【分析】
要解决两路车第二次同时发车的问题，首先要明确：两车同时发车后，下一次同时发车经过的时间，需要同时满足是2路车发车间隔8分钟的倍数，也是7路车发车间隔10分钟的倍数，也就是这个经过的时间是8和10的公倍数。第一次同时发车是早上6时，第二次同时发车经过的时间就是8和10的最小公倍数，求出这个时间后加到初始发车时间上就能得到结果。
【解析】
1. 计算8和10的最小公倍数：
用短除法，把8和10同时除以公因数2，得到商4和5，4和5只有公因数1，因此8和10的最小公倍数为 $2×4×5=40$，即再过40分钟两路车第二次同时发车。
2. 推算第二次同时发车时间：
6时 + 40分钟 = 6时40分
【答案】
早上6时40分
【知识点】
最小公倍数计算，公倍数实际应用，时间推算
【点评】
这是公倍数在生活场景中的典型应用题，解题核心是把“同时发车”的实际问题转化为求两个数的公倍数的数学问题，结合初始发车时间即可推算出结果，题目贴近生活，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
要解决两路车第二次同时发车的问题，首先要明确：两车同时发车后，下一次同时发车经过的时间，需要同时满足是2路车发车间隔8分钟的倍数，也是7路车发车间隔10分钟的倍数，也就是这个经过的时间是8和10的公倍数。第一次同时发车是早上6时，第二次同时发车经过的时间就是8和10的最小公倍数，求出这个时间后加到初始发车时间上就能得到结果。
【解析】
1. 计算8和10的最小公倍数：
用短除法，把8和10同时除以公因数2，得到商4和5，4和5只有公因数1，因此8和10的最小公倍数为 $2×4×5=40$，即再过40分钟两路车第二次同时发车。
2. 推算第二次同时发车时间：
6时 + 40分钟 = 6时40分
【答案】
早上6时40分
【知识点】
最小公倍数计算，公倍数实际应用，时间推算
【点评】
这是公倍数在生活场景中的典型应用题，解题核心是把“同时发车”的实际问题转化为求两个数的公倍数的数学问题，结合初始发车时间即可推算出结果，题目贴近生活，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
