8. [2025宁夏中考]函数$y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$和$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$的部分图象如图所示，点A在$y=\frac{k_1}{x}$的图象上，过点A作AB//y轴交x轴于点C，交$y=\frac{k_2}{x}$的图象于点B。若$AC=3BC$，则$\frac{k_1}{k_2}$的值为（）

A.-3
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.3

设$C(a,0)$,则$A(a,\frac{k_1}{a})$,$B(a,\frac{k_2}{a})$,$\therefore AC = \frac{k_1}{a}$,$BC = -\frac{k_2}{a}$. $\because AC = 3BC$,$\therefore k_1 = -3k_2$,$\therefore \frac{k_1}{k_2} = -3$.

9. [2026盐城康居路初中段考]如图,在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系,$x$轴、$y$轴都在网格线上,其中反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象被撕掉了一部分,已知点$M,N$在格点上,则$k$的值为 ()

A.2
B.4
C.6
D.8

观察题中网格,设$M(1,y)$,则$N(2,y-2)$. 将$M(1,y)$,$N(2,y-2)$代入反比例函数$y = \frac{k}{x}$,得$\begin{cases}y = k,\\2(y-2) = k,\end{cases}$解得$k = y = 4$.

10. [2025广西中考改编]如图,在平面直角坐标系中,“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直,且满足BC = DE = FG = 1,点A,C,E,G均在双曲线$y=\frac{k}{x}$的一支上.若点A的坐标为$(4,\frac{3}{2})$,则第三级阶梯的高$EF=$.

$\because$ 点$A(4,\frac{3}{2})$在双曲线$y = \frac{k}{x}$上,$\therefore k = 4 × \frac{3}{2} = 6$,$\therefore y = \frac{6}{x}$. $\because$“双曲线阶梯”$ABCDEFG$的所有线段均与$x$轴平行或垂直,且$BC = DE = FG = 1$,$\therefore$ 点$E$的横坐标为$4 - 1 - 1 = 2$,点$G$的横坐标为$2 - 1 = 1$,$\therefore$ 点$E$的纵坐标为$\frac{6}{2} = 3$,点$G$的纵坐标为$\frac{6}{1} = 6$,$\therefore EF = 6 - 3 = 3$.

11. [2025常州溧阳期末]如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象经过点A,点D的坐标为$(2,\frac{3}{2})$.
(1)k的值为.
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位长度.
①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时,求m的值;
②在平移过程中,若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点,请直接写出m的取值范围.

(1)8
如图,延长$AD$交$x$轴于点$F$. $\because$ 四边形$ABCD$为菱形,$\therefore AD = OD$,$AD // BO$,$\therefore AF ⊥ x$轴,即$∠ OFD = 90°$. $\because$ 点$D$的坐标为$(2,\frac{3}{2})$,$\therefore OF = 2$,$DF = \frac{3}{2}$,$\therefore OD = \sqrt{OF^2 + DF^2} = \frac{5}{2}$,
$\therefore AD = \frac{5}{2}$,则$AF = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 4$,$\therefore A(2,4)$. $\because$ 点$A$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$\therefore k = xy = 2 × 4 = 8$.
(2)①将菱形$ABCD$沿$x$轴正方向平移$m$个单位长度,
则平移后$B'(m,\frac{5}{2})$.
$\because$ 菱形的顶点$B'$落在反比例函数$y = \frac{8}{x}$的图象上,
$\therefore m · \frac{5}{2} = 8$,$\therefore m = \frac{16}{5}$.
②$0 \le m \le \frac{10}{3}$.
如图,将菱形$ABCD$沿$x$轴正方向平移$m$个单位长度,使点$D$落在反比例函数$y = \frac{8}{x}(x＞0)$的图象上的点$D'$处,过点$D'$作$x$轴的垂线,垂足为$F'$. $\because DF = \frac{3}{2}$,$\therefore D'F' = \frac{3}{2}$,$\therefore$ 点$D'$的纵坐标为$\frac{3}{2}$,$\therefore \frac{3}{2} = \frac{8}{x}$,$\therefore x = \frac{16}{3}$,$\therefore OF' = \frac{16}{3}$,$\therefore FF' = \frac{16}{3} - 2 = \frac{10}{3}$,$\therefore 0 \le m \le \frac{10}{3}$.

1. 如图,在平面直角坐标系中,点A在y轴的正半轴上,AC平行于x轴,点B,C的横坐标都是3,BC=2,点D在AC上,且其横坐标为1.若反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B,D,则k的值是 ()

A.1
B.2
C.3
D.$\frac{3}{2}$

2. [2026南京建邺区一模]如图,在平面直角坐标系

∵点A在y轴的正半轴上,$AC // x$轴,点B,C的横坐标都是3,且$BC=2$,点D在AC上,且横坐标为1,
∴设$B(3,a)$,则$D(1,a+2)$.
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B,D,
∴$3a=a+2$,解得$a=1$,
∴$B(3,1)$,
∴$k=3×1=3$.

中,反比例函数$y=\frac{k}{x}$(k为常数,$k≠0$)的图象与$□ OABC$交于M,N两点,且$OM=BN$.若点A和点C的坐标分别是$(8,0)$和$(4,4)$,则k的值是.

∵点A和点C的坐标分别是$(8,0)$和$(4,4)$,$\therefore$ 直线$OC$的表达式为$y=x$,$B(12,4)$,$\therefore$ 直线$AB$的表达式为$y=x-8$. 设$M(a,a)$,$N(b,b-8)$,$\therefore OM^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$,$BN^2 = (12-b)^2 + (4-b+8)^2 = 2(12-b)^2$. $\because OM = BN$,$\therefore 2a^2 = 2(12-b)^2$,$\therefore a = 12 - b$,$\therefore b = 12 - a$,$\therefore N(12-a,4-a)$.
$\because$ 反比例函数$y = \frac{k}{x}$($k$为常数,$k≠0$)的图象与$□ OABC$交于$M,N$两点,$\therefore k = a^2 = (12-a)(4-a)$,解得$a = 3$,$\therefore k = 9$.

3. [2025东营中考]如图，一次函数$y=3x+3$的图象与坐标轴分别交于点$B,C$，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A$，$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°,AC=BC$，则$k$的值为。

一次函数$y=3x+3$中,令$x=0$,得$y=3$,令$y=0$,则$0=3x+3$,得$x=-1$,$\therefore$ 点B的坐标为$(-1,0)$,点C的坐标为$(0,3)$. 如图,过点A作$AD ⊥ y$轴于点D,并延长交直线BC于点E. $\because ∠ ACE=90°$,$\therefore ∠ ACD + ∠ DCE=90°$. $\because ∠ BCO + ∠ CBO=90°$,$∠ DCE=∠ BCO$,$\therefore ∠ ACD=∠ CBO$. 在$△ ACD$和$△ CBO$中, $\begin{cases}∠ ADC=∠ COB=90°,\\∠ ACD=∠ CBO,\\AC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ CBO(\mathrm{AAS})$,$\therefore AD=OC=3$,$CD=OB=1$,$\therefore OD=OC+CD=4$,$\therefore$ 点A的坐标为$(-3,4)$. 将$A(-3,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$,得$k=-12$.