7. ★★ 新考法 分类讨论法 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=25°$，点D是AB边上一点，点E是BC边上一点，将$△ BDE$沿DE翻折，使点B落在点$B'$处，当$B'E // AC$时，$∠ BDE=$。

7.$110°$或$20°$ 【点拨】当点$B'$与点C在直线AB的异侧时,如图①,因为$∠ C=90°$,$B'E// AC$,所以$∠ BEB'=∠ C=90°$.由折叠的性质得$∠ BED=∠ B'ED=\frac{1}{2}∠ BEB'=\frac{1}{2}×90°=45°$,所以$∠ BDE=180°-∠ ABC-∠ BED=180°-25°-45°=110°$;
当点$B'$与点C在直线AB的同侧时,如图②,因为$∠ C=90°$,$B'E// AC$,所以$∠ B'EC=∠ C=90°$.所以$∠ BEB'=90°$.由折叠的性质得$∠ BED=∠ B'ED$.因为$∠ BEB'+∠ BED+∠ B'ED=360°$,所以$90°+2∠ BED=360°$,所以$∠ BED=135°$,所以$∠ BDE=180°-∠ ABC-∠ BED=180°-25°-135°=20°$.
综上,$∠ BDE$的度数为$110°$或$20°$.

【分析】
这是一道结合折叠变换与平行线性质的几何题，解题需用到分类讨论思想：①首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等，即∠BED=∠B'ED；②已知∠C=90°，B'E//AC，可推出B'E与BC的垂直关系；③翻折后点B'的位置有两种可能：和点C在直线AB的异侧、和点C在直线AB的同侧，需分两种情况分别计算∠BED的度数，最后利用三角形内角和为180°，即可求出∠BDE的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点$B'$与点C在直线AB的异侧时，如图①：
∵ $∠C=90°$，$B'E// AC$，
∴ $∠BEB'=∠C=90°$（两直线平行，同位角相等）。
由折叠的性质得：$∠ BED=∠ B'ED=\frac{1}{2}∠ BEB'=\frac{1}{2}×90°=45°$。
在$△ BDE$中，$∠ BDE=180°-∠ ABC-∠ BED=180°-25°-45°=110°$。

2. 当点$B'$与点C在直线AB的同侧时，如图②：
∵ $∠C=90°$，$B'E// AC$，
∴ $∠B'EC=∠C=90°$（两直线平行，同位角相等），即$∠ BEB'=180°-∠B'EC=90°$。
由折叠的性质得：$∠ BED=∠ B'ED$。
∵ $∠ BEB'+∠ BED+∠ B'ED=360°$，
∴ $90°+2∠ BED=360°$，解得$∠ BED=135°$。
在$△ BDE$中，$∠ BDE=180°-∠ ABC-∠ BED=180°-25°-135°=20°$。
综上，$∠ BDE$的度数为$110°$或$20°$。
【答案】
$110°$或$20°$

【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，翻折后点的位置存在两种情况，解题时极易遗漏其中一种情况导致答案不完整，熟练掌握平行线性质、折叠的性质以及三角形内角和定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.6

8. ⁑[2026 泸州模拟] 如图①，点 E 在线段 CA 的延长线上，DE，AB 交于点 F，且∠BDF = ∠AEF，∠B = ∠C。
(1)猜想 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，M 为 CA 反向延长线上一点，∠EAB，∠DCM 的平分线的反向延长线交于点 N，求∠ANC 的度数。

8.【解】(1)$AB// CD$.理由如下:
因为$∠ BDF=∠ AEF$,所以$EC// BD$.
所以$∠ B=∠ EAF$.
因为$∠ B=∠ C$,所以$∠ EAF=∠ C$.
所以$AB// CD$.
(2)如图所示,过点N作$NG// AB$.
因为$AB// CD$,
所以$AB// CD// NG$.
所以$∠ 2=∠ ANG$,$∠ 3=∠ CNG$.
所以$∠ ANG+∠ CNG=∠ 2+∠ 3$,
即$∠ ANC=∠ 2+∠ 3$.

根据题意,可知$∠ 2=\frac{1}{2}∠ EAB$,$∠ 3=\frac{1}{2}∠ DCM$.
所以$∠ ANC=\frac{1}{2}(∠ EAB+∠ DCM)$.
因为$AB// CD$,所以$∠ BAC+∠ ACD=180°$.
所以$∠ EAB+∠ DCM=180°$.
所以$∠ ANC=\frac{1}{2}×180°=90°$.

【分析】
(1) 要判断AB与CD的位置关系，可通过寻找角的关系证明平行：首先由已知∠BDF=∠AEF可推出EC//BD，得到∠B=∠EAF，再结合∠B=∠C的条件等量代换得到∠EAF=∠C，即可判定AB与CD平行。
(2) 求∠ANC的度数时，可过点N作平行于AB的辅助线，利用平行于同一直线的多条直线互相平行的性质，将∠ANC拆分为两个分别等于∠EAB一半、∠DCM一半的角的和；再结合AB//CD时同旁内角互补的性质，推导得到∠EAB与∠DCM的和为180°，代入即可求出∠ANC的度数。
【解析】
(1) $AB// CD$，理由如下：
∵ $∠ BDF=∠ AEF$，
∴ $EC// BD$（内错角相等，两直线平行），
∴ $∠ B=∠ EAF$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $∠ B=∠ C$，
∴ $∠ EAF=∠ C$（等量代换），
∴ $AB// CD$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 过点N作$NG// AB$，如图：
∵ $AB// CD$，
∴ $AB// CD// NG$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴ $∠ 2=∠ ANG$，$∠ 3=∠ CNG$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ ANC=∠ ANG+∠ CNG=∠ 2+∠ 3$。
由题意得：$∠ 2=\frac{1}{2}∠ EAB$，$∠ 3=\frac{1}{2}∠ DCM$，
∴ $∠ ANC=\frac{1}{2}(∠ EAB+∠ DCM)$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ BAC+∠ ACD=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∵ $∠ EAB+∠ BAC=180°$，$∠ DCM+∠ ACD=180°$，
∴ $∠ EAB+∠ DCM=180°$，
∴ $∠ ANC=\frac{1}{2}×180°=90°$。

【答案】
(1) $AB// CD$，理由见上述解析；
(2) $∠ ANC=90°$

【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，平行公理推论
【点评】
本题是平行线章节的典型综合题，既需要熟练掌握平行线的判定方法，也需要灵活运用平行线的性质求解角度，第二问中构造平行线的辅助线做法是几何中拆分角度、转化角关系的常用技巧，对提升几何逻辑推理能力有较大帮助。
【难度系数】
0.6

9. ★★ [2026 深圳模拟] (1)如图①，$MA_1// NA_2$，则$∠ A_1+∠ A_2=$；
(2)如图②，$MA_1// NA_3$，则$∠ A_1+∠ A_2+∠ A_3=$；
(3)如图③，$MA_1// NA_4$，则$∠ A_1+∠ A_2+∠ A_3+∠ A_4=$；
(4)如图④，$MA_1// NA_n$，则$∠ A_1+∠ A_2+∠ A_3+\dots+∠ A_n=$.

9.(1)$180°$ (2)$360°$ (3)$540°$ (4)$(n-1)180°$

【分析】
本题是平行线间拐角角度和的规律探究题，解题思路如下：遇到平行线间存在多个拐点的问题时，可过每个拐点作已知平行线的平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”计算角度和，再从特殊情况推导普遍规律：
(1) 图①仅有2个角，直接利用平行线的同旁内角互补性质计算；
(2) 图②有3个角，过中间拐点$A_2$作$MA_1$的平行线，将3个角的和转化为2组同旁内角的和计算；
(3) 图③有4个角，分别过$A_2$、$A_3$作$MA_1$的平行线，将4个角的和转化为3组同旁内角的和计算；
(4) 总结前3问的规律，推导$n$个角时的角度和公式。
【解析】
(1) 图①中，$\because MA_1// NA_2$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ A_1+∠ A_2=180°$；
(2) 图②中，过点$A_2$作$A_2B// MA_1$，$\because MA_1// NA_3$，$\therefore A_2B// MA_1// NA_3$，根据平行线性质得：$∠ A_1+∠ A_1A_2B=180°$，$∠ A_3+∠ A_3A_2B=180°$，两式相加得$∠ A_1+∠ A_2+∠ A_3=180°×2=360°$；
(3) 图③中，分别过$A_2$作$A_2B// MA_1$，过$A_3$作$A_3C// MA_1$，$\because MA_1// NA_4$，$\therefore A_2B// A_3C// MA_1// NA_4$，可得三组同旁内角和均为$180°$，三式相加得$∠ A_1+∠ A_2+∠ A_3+∠ A_4=180°×3=540°$；
(4) 由前3问规律可知：角的总个数为$n$时，角度和等于$(n-1)$个$180°$相加，即$∠ A_1+∠ A_2+∠ A_3+\dots+∠ A_n=(n-1)180°$。
【答案】
(1)$180°$；(2)$360°$；(3)$540°$；(4)$(n-1)180°$
【知识点】
平行线的性质，规律探究
【点评】
本题是平行线拐角问题的典型题型，核心解题方法是过拐点作辅助平行线，将未知的多角和问题转化为熟悉的平行线同旁内角求和问题，再通过归纳得到通用规律，掌握该方法可快速解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.65

10. 一副三角尺ABC和三角尺DEC(顶点C重合)中，∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°，三角尺CDE绕点C旋转.
(1)当AB//DC时，如图①，求∠DCB的度数.
(2)当CD与CB重合时，如图②，判断DE与AC的位置关系，并说明理由.
(3)如图③，当∠DCB等于多少度时，AB//EC?
(4)当AB//ED时，求出∠DCB的度数.

10.【解】(1)因为在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ BAC=60°$,所以$∠ ABC=30°$.
又因为$AB// DC$,所以$∠ DCB=∠ ABC=30°$.
(2)$DE// AC$.
理由:因为$∠ ACB=∠ CDE=90°$,
所以根据内错角相等,两直线平行可得$DE// AC$.
(3)因为$AB// EC$,所以$∠ ECB=∠ B=30°$.
因为在$△ DEC$中,$∠ CDE=90°$,$∠ DEC=45°$,
所以$∠ DCE=45°$.
所以$∠ DCB=∠ DCE-∠ ECB=45°-30°=15°$.
所以当$∠ DCB$等于$15°$时,$AB// EC$.
(4)当DE,AB在点C同侧时,
如图①,设CD与AB交于点F,
因为$AB// ED$,所以$∠ BFC=∠ D=90°$.所以$CD⊥ AB$.
所以$∠ B+∠ DCB=90°$.所以$∠ DCB=90°-30°=60°$;

当DE,AB在点C异侧时,
如图②,过点C作$CF// AB$,所以$∠ FCB=∠ B=30°$.
因为$DE// AB$,$CF// AB$,
所以$CF// DE$.所以$∠ FCD=∠ D=90°$.
所以$∠ BCD=90°+30°=120°$.
综上,当$AB// ED$时,$∠ DCB$的度数为$60°$或$120°$.

【分析】
解决本题首先要明确两个三角尺的固定角度：Rt△ABC中∠B=30°，Rt△DEC中∠DCE=45°，再结合平行线的性质、判定逐步求解：
(1)已知AB//DC，利用“两直线平行，内错角相等”，直接可得∠DCB与∠B相等；
(2)观察得∠ACB和∠CDE均为90°，是一组内错角，根据内错角相等即可判定两直线平行；
(3)已知AB//EC，先由平行线性质得∠ECB=∠B=30°，再用∠DCE减去∠ECB即可得到∠DCB；
(4)AB//ED时需分两种情况讨论：DE和AB在点C同侧、异侧，同侧时利用平行线性质得CD⊥AB，结合直角三角形两锐角互余计算；异侧时作辅助线CF//AB，利用平行的传递性分别计算角度再求和。
【解析】
(1)在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=60°$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ ABC=180°-90°-60°=30°$，
$\because AB// DC$，两直线平行，内错角相等，
$\therefore ∠ DCB=∠ ABC=30°$。
(2)$DE// AC$，理由如下：
$\because ∠ ACB=∠ CDE=90°$，此时CD与CB重合，即$∠ ACD=∠ CDE=90°$，
内错角相等，两直线平行，
$\therefore DE// AC$。
(3)$\because AB// EC$，两直线平行，内错角相等，
$\therefore ∠ ECB=∠ B=30°$，
在$△ DEC$中，$∠ CDE=90°$，$∠ DEC=45°$，得$∠ DCE=180°-90°-45°=45°$，
$\therefore ∠ DCB=∠ DCE-∠ ECB=45°-30°=15°$，
即当$∠ DCB$等于$15°$时，$AB// EC$。
(4)分两种情况讨论：
①当DE、AB在点C同侧时，如图①，设CD与AB交于点F，
$\because AB// ED$，$\therefore ∠ BFC=∠ D=90°$，即$CD⊥ AB$，
在Rt$△ BFC$中，$∠ B+∠ DCB=90°$，
$\therefore ∠ DCB=90°-30°=60°$；

②当DE、AB在点C异侧时，如图②，过点C作$CF// AB$，
$\therefore ∠ FCB=∠ B=30°$，
$\because DE// AB$，$CF// AB$，
$\therefore CF// DE$，
$\therefore ∠ FCD=∠ D=90°$，
$\therefore ∠ BCD=∠ FCD+∠ FCB=90°+30°=120°$。
综上，当$AB// ED$时，$∠ DCB$的度数为$60°$或$120°$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{30°}$
(2)$\boldsymbol{DE// AC}$，理由见解析
(3)$\boldsymbol{15°}$
(4)$\boldsymbol{60°}$或$\boldsymbol{120°}$

【知识点】
平行线的判定与性质，三角尺角度特征，分类讨论思想
【点评】
本题以三角尺旋转为背景考查平行线的相关知识，解题需熟练掌握平行线的性质和判定定理，注意旋转过程中图形的位置存在两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6