1. 如图，$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，下列添加的条件不能使$△ ABC ∽ △ ADE$的是（）

A.$∠ BAD=∠ CAE$
B.$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$
C.$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CE}$
D.$∠ ABD=∠ ACE$

（第1题）（第2题）

1.D

2.如图,点P是等腰三角形ABC的腰AB上的一点,过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC,使截得的三角形与原三角形相似,满足这样条件的直线最多有（）

A.2条
B.3条
C.4条
D.5条

2.B 【点拨】$\because BA=BC,\therefore ∠A=∠C.$
如图，① 作 $PE// BC$，可得 $△ APE∽△ ABC.$ ② 作 $PF// AC$，可得 $△ BPF∽△ BAC.$ ③ 作$∠APG=∠C,$可得$△ AGP∽△ ABC$,故选 B.

3.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点 E 在边 BC 上移动(点 E 不与点 B,C 重合),满足$∠ DEF=∠ B$,且点 D,F 分别在边 AB,AC 上.
(1)求证:$△ BDE∽△ CEF$;
(2)当点 E 移动到 BC 的中点时,求证:FE 平分$∠ DFC$.

3.【证明】(1)$\because AB=AC,\therefore ∠B=∠C.$
$\because ∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,∠DEF=∠B,$
$\therefore ∠CEF=∠BDE.$
$\therefore △ BDE∽△ CEF.$
(2)$\because △ BDE∽△ CEF,\therefore \frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}.$
$\because$ 点 E 是 BC 的中点,$\therefore BE=CE.$
$\therefore \frac{CE}{CF}=\frac{ED}{EF}.$
易知$∠C=∠DEF,\therefore △ CEF∽△ EDF.$
$\therefore ∠CFE=∠EFD$,即 FE 平分$∠DFC.$

4. 新考向知识情境化 夹文件的一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态下的平面示意图，经测量知$AE=AF=25\ \mathrm{mm}$，$EB=FD=35\ \mathrm{mm}$，$EF=20\ \mathrm{mm}$，则在闭合状态下，点$B$，$D$之间的距离是$\mathrm{mm}$.

4.48

5. [2025 常州] 如图，在$□ ABCD$中，E是AD上一点，$DE=2AE$，CE，BA的延长线相交于点F，若$AB=2$，则$AF=$。

5.1

6. 如图, 四边形ABGH、四边形BCFG、四边形CDEF都是正方形, 图中与△DFG相似的三角形为 ()

A.$△ DFH$
B.$△ DGH$
C.$△ DEG$
D.$△ DEH$

6.A

7.如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且$CF=\frac{1}{4}CD$.现有结论:①$∠BAE=30°$;②$△ABE∽△ECF$;③$AE⊥EF$;④$△ADF∽△ECF$.其中正确的结论为 ()

A.①②
B.②③
C.③④
D.②③④

7.B 【点拨】$\because$ 四边形 ABCD 是正方形,E 是 BC 的中点,$\therefore AB=AD=CD=BC=2BE,∠B=∠C=90°$,假设$∠BAE=30°$,则 $AE=2BE=AB$,显然 $AB≠AE$,故 ① 错误;$\because CF=\frac{1}{4}CD,\therefore CF=\frac{1}{4}BC. \therefore BE=2CF.$ 易知 $AB=2CE,\therefore \frac{AB}{CE}=\frac{BE}{CF}=2.$ 又 $\because ∠B=∠C=90°,\therefore △ ABE∽△ ECF$,故 ② 正 确; $\because △ ABE∽△ ECF,\therefore ∠BAE=∠CEF. \because ∠BAE+∠AEB=90°,\therefore ∠AEB+∠CEF=90°. \therefore ∠AEF=90°$, 即 $AE⊥EF$, 故 ③ 正确; $\because CF=\frac{1}{4}CD,\therefore DF=\frac{3}{4}CD=\frac{3}{4}AD. \therefore \frac{DF}{AD}=\frac{3}{4}.$ 易知 $CF=\frac{1}{2}CE,\therefore \frac{CF}{CE}=\frac{1}{2}. \therefore \frac{CF}{CE}≠\frac{DF}{AD}. \therefore △ ECF$ 与 $△ ADF$ 不相似,故 ④ 错误. 故选 B.

8. ★★ 新考法 分类讨论法 如图，△ABC是边长为7 cm的等边三角形，BD=6 cm，CE=2 cm，P为BC上的动点，以0.25 cm/s的速度从点B向点C运动，
假设点P运动的时间为t s，当t=时，△BDP与△CPE相似。

8.12 或 16 或 21 【点拨】易得$∠B=∠C.$ 若$△ BDP∽△ CPE$,则$\frac{BD}{CP}=\frac{BP}{CE}$,即$\frac{6}{7-BP}=\frac{BP}{2}. \therefore BP=3\ \mathrm{cm}$ 或$4\ \mathrm{cm}. \therefore t=\frac{3}{0.25}=12$ 或 $t=\frac{4}{0.25}=16.$ 若 $△ BDP∽△ CEP$,则 $\frac{BD}{CE}=\frac{BP}{CP}$,即 $\frac{6}{2}=\frac{BP}{7-BP}. \therefore BP=\frac{21}{4}\ \mathrm{cm}.$
$\therefore t=\frac{\frac{21}{4}}{0.25}=21.$ 综上所述, 当 $t=12$ 或 16 或 21 时,$△ BDP$ 与 $△ CPE$ 相似.
【点方法】由于两相似三角形的对应边不能确定,且易得$∠B=∠C$,故应分$△ BDP∽△ CPE$ 和 $△ BDP∽△ CEP$ 两种情况进行讨论.