9. [宁波竞赛] 如图,已知在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$, $AC=7$,$BC=9$,点$M$是$△ ABC$内部的一点,连接$AM$,$BM$,$CM$,若$CM=3$,则$AM+\frac{1}{3}BM$的最小值为.

9.$5\sqrt{2}$ 【点拨】如图, 在 BC 上取一点 G, 使 $CG=1$, 连接 MG,AG. 又 $\because BC=9,CM=3,\therefore \frac{CG}{CM}=\frac{CM}{BC}=\frac{1}{3}.$
又$\because ∠MCG=∠MCB,\therefore △ MCG∽△ BCM,\therefore \frac{MG}{BM}=\frac{CG}{CM}=\frac{1}{3},\therefore MG=\frac{1}{3}BM,\therefore AM+\frac{1}{3}BM=AM+MG≥ AG.$
$\because AG=\sqrt{AC^2+CG^2}=\sqrt{7^2+1^2}=5\sqrt{2},\therefore AM+\frac{1}{3}BM≥5\sqrt{2}$,即当 M 在 AG 上时,$AM+\frac{1}{3}BM$取得最小值,最小值为$5\sqrt{2}.$

10. 如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,点E是边AD上一点,连接BE,CE.
(1)如图①,当$∠ BEC=90°$时,求AE的长度;
(2)如图②,以BE为边在BE的左侧作矩形BEFG,且$BG:BE=2:5$,连接AG.
①求证:$∠ BAG=∠ BCE$;
②求证:$AG⊥ CE$.

10.(1)【解】$\because$ 四边形 ABCD 是矩形,$\therefore AB=CD=2$,$BC=AD=5,∠A=∠D=90°$,
$\because ∠BEC=90°,\therefore ∠AEB=90°-∠DEC=∠DCE$,
$\therefore △ ABE∽△ DEC,\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AE}{CD},\therefore \frac{2}{5-AE}=\frac{AE}{2}$,解得$AE=4$ 或 1,
经检验,$AE=4$ 和 $AE=1$ 都是方程的解,且符合题意,
$\therefore AE$ 的长度是 4 或 1.
(2)【证明】①$\because$ 四边形 ABCD 是矩形,四边形 BEFG 是矩形,
$\therefore ∠ABC=∠GBE=90°$,
$\therefore ∠ABC-∠ABE=∠GBE-∠ABE$,即$∠EBC=∠ABG$.
$\because AB=2,BC=5,BG:BE=2:5$,
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BG}{BE},\therefore △ ABG∽△ CBE$,
$\therefore ∠BAG=∠BCE$.
②延长 CE,GA 交于 M,如图,
$\because$ 四边形 ABCD 是矩形,
$\therefore ∠BAD=90°,AD// BC$,
$\therefore ∠BAG+∠MAE=90°$,
$∠MEA=∠BCE$.
由①知$∠BAG=∠BCE,\therefore ∠BAG=∠MEA$,
$\therefore ∠MEA+∠MAE=90°$,
$\therefore ∠M=90°,\therefore AG⊥CE.$

11. ★★★ (1)【观察发现】如图①,在△ABC中,点D在边BC上.若∠BAD=∠C,求证:AB²=BD·BC.
(2)【灵活运用】如图②,在△ABC中,∠BAC=60°,点D为边BC的中点,CA=CD=2,点E在AB上,连接AD,DE.若∠AED=∠CAD,求BE的长.
(3)【拓展延伸】如图③,在菱形ABCD中,AB=5,点E,F分别在边AD,CD上,∠ABC=2∠EBF,延长AD,BF相交于点G.若BE=4,DG=6,请直接写出FG的长.

11.(1)【证明】$\because ∠BAD=∠C,∠ABD=∠CBA$,
$\therefore △ ABD∽△ CBA,\therefore \frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BA}$,
$\therefore AB^2=BD· BC.$
(2)【解】过点 C 作 $CF⊥AB$ 于点 F,过点 D 作 $DG⊥AB$ 于点 G,如图①.
则$∠AFC=∠AGD=90°$,
$\therefore CF// DG.$
$\because ∠BAC=60°,\therefore ∠ACF=30°$,
$\therefore AF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2=1.$
$\therefore CF=\sqrt{AC^2-AF^2}=\sqrt{3}.$
$\because D$ 为边 BC 的中点,$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=2.$
$\because CF// DG,\therefore$ 易得$△ BDG∽△ BCF$,
$\therefore \frac{DG}{CF}=\frac{BG}{BF}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2},\therefore DG=\frac{1}{2}CF=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore BG=\sqrt{BD^2-DG^2}=\sqrt{2^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{\sqrt{13}}{2}.$
$\therefore BF=2BG=\sqrt{13},\therefore AB=AF+BF=1+\sqrt{13}$,
$\because AC=CD,\therefore ∠CAD=∠CDA.$
$\because ∠AED=∠CAD,\therefore ∠AED=∠CDA.$
$\because ∠AED+∠BED=∠ADC+∠ADB=180°$,
$\therefore ∠BED=∠ADE.$
又$\because ∠DBE=∠ABD,\therefore △ BED∽△ BDA.$
$\therefore \frac{BE}{BD}=\frac{BD}{AB}$,即$\frac{BE}{2}=\frac{2}{1+\sqrt{13}}$,得 $BE=\frac{\sqrt{13}-1}{3}.$

(3)【解】$FG=\frac{24\sqrt{5}}{11}.$ 【点拨】连接 BD,如图②所示.
$\because$ 四边形 ABCD 为菱形, $\therefore ∠ABD=∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC,AD=AB=BC=5,AD// BC.$
$\because ∠ABC=2∠EBF,\therefore ∠ABD=∠CBD=∠EBF$,
$\therefore ∠EBF-∠DBF=∠CBD-∠DBF$,即 $∠DBE=∠CBF.\because AD// BC,\therefore ∠CBF=∠G,\therefore ∠DBE=∠G.\because ∠DEB=∠BEG$,
$\therefore △ BED∽△ GEB,\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{BE}{EG}$,
$\because DG=6,\therefore EG=DE+6,\therefore \frac{DE}{4}=\frac{4}{DE+6}$,解得 $DE=2$(负值已舍去). $\therefore EG=2+6=8,AE=AD-DE=3.\because AE^2+BE^2=3^2+4^2=5^2=AB^2,\therefore △ ABE$ 为直角三角形,$∠AEB=90°,\therefore ∠BEG=180°-90°=90°,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BEG$ 中,根据勾股定理得 $BG=\sqrt{BE^2+EG^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5},\therefore BF=BG-FG=4\sqrt{5}-FG.\because AD// BC,\therefore$ 易得$△ DFG∽△ CFB,\therefore \frac{FG}{BF}=\frac{DG}{BC}$,即 $\frac{FG}{4\sqrt{5}-FG}=\frac{6}{5}$,解得$FG=\frac{24\sqrt{5}}{11}.$