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8. (2024·通辽)如图,圆形拱门最下端AB在地面上,D为AB的中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在圆的圆心,若AB=1 m,CD=2.5 m,则拱门所在圆的半径为 （
A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
B
）A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
答案
8. B
解析
【分析】
本题是圆的对称性的实际应用类题目，解题思路如下：首先根据垂径定理，结合CD过圆心、D是AB中点的条件，可得CD垂直AB，先求出AD的长度；接着设圆的半径为r，用含r的式子表示出线段OD的长度；最后在直角三角形OAD中利用勾股定理列方程，解出r的值即可得到圆的半径。
【解析】
连接OA，设拱门所在圆的半径为$ r \, \mathrm{m} $。
∵ CD经过圆心O，D为AB的中点，根据垂径定理可得：$ CD ⊥ AB $，$ AD = \frac{1}{2}AB $。
已知$ AB=1 \, \mathrm{m} $，
∴ $ AD = \frac{1}{2} × 1 = 0.5 \, \mathrm{m} $。
∵ 圆的半径$ OA=OC=r \, \mathrm{m} $，$ CD=2.5 \, \mathrm{m} $，
∴ $ OD = CD - OC = (2.5 - r) \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $，
代入数据得：$ r^2 = 0.5^2 + (2.5 - r)^2 $，
展开计算：$ r^2 = 0.25 + 6.25 - 5r + r^2 $，
消去$ r^2 $后整理得：$ 5r = 6.5 $，
解得：$ r = 1.3 $。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理应用的典型题型，解题的核心是构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，很好地体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
本题是圆的对称性的实际应用类题目，解题思路如下：首先根据垂径定理，结合CD过圆心、D是AB中点的条件，可得CD垂直AB，先求出AD的长度；接着设圆的半径为r，用含r的式子表示出线段OD的长度；最后在直角三角形OAD中利用勾股定理列方程，解出r的值即可得到圆的半径。
【解析】
连接OA，设拱门所在圆的半径为$ r \, \mathrm{m} $。
∵ CD经过圆心O，D为AB的中点，根据垂径定理可得：$ CD ⊥ AB $，$ AD = \frac{1}{2}AB $。
已知$ AB=1 \, \mathrm{m} $，
∴ $ AD = \frac{1}{2} × 1 = 0.5 \, \mathrm{m} $。
∵ 圆的半径$ OA=OC=r \, \mathrm{m} $，$ CD=2.5 \, \mathrm{m} $，
∴ $ OD = CD - OC = (2.5 - r) \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $，
代入数据得：$ r^2 = 0.5^2 + (2.5 - r)^2 $，
展开计算：$ r^2 = 0.25 + 6.25 - 5r + r^2 $，
消去$ r^2 $后整理得：$ 5r = 6.5 $，
解得：$ r = 1.3 $。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理应用的典型题型，解题的核心是构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，很好地体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
9. 如图，点P是⊙O内一定点.
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为10，OP=6，
① 求过点P的弦的长度m范围；
② 过点P的弦中，长度为整数的弦有
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为10，OP=6，
① 求过点P的弦的长度m范围；
② 过点P的弦中，长度为整数的弦有
8
条.答案
9. (1) 如图
,连接OP并延长,取PQ=OP,分别以点O,Q为圆心,大于$\frac{1}{2}$OQ的长度为半径画弧,连接两弧的交点,交⊙O与A,B两点,则弦AB即为所求；(2) ① 过点P的所有弦中,直径最长为20,与OP垂直的弦最短,连接OA,
∵OP⊥AB,
∴AP=BP=√(OA²−OP²)=8,
∴AB=2AP=16,
∴过点P的弦的长度m范围为16≤m≤20；
② 8
解析
【分析】
（1）要作出以P为中点的弦，结合垂径定理推论可知，过P且垂直于过P的半径的弦满足要求，因此先连接OP，再作OP的垂线与圆相交即可得到所求弦。
（2）①过圆内一点的弦中，最长弦为圆的直径，最短弦为与过该点的半径垂直的弦，结合垂径定理和勾股定理算出最短弦长，即可得到弦长的取值范围。
②在弦长的取值范围内找出所有整数长度，注意最长、最短弦各只有1条，其余整数长度的弦均有2条（关于OP对称），求和即可得到总条数。
【解析】
（1）作图步骤参考：连接OP并延长，取PQ=OP，分别以点O、Q为圆心，大于$\frac{1}{2}$OQ的长度为半径画弧，连接两弧的交点，交⊙O于A、B两点，弦AB即为所求。
（2）① 过点P的弦中，最长弦是⊙O的直径，长度为$2×10=20$；
最短弦是与OP垂直的弦，连接OA，
∵$OP⊥ AB$，由垂径定理得$AP=BP$，
在$Rt△ OPA$中，$OA=10$，$OP=6$，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∴$AB=2AP=16$，
因此过点P的弦的长度m范围为$16≤ m≤20$。
② 弦长的整数取值为16、17、18、19、20：
长度为16和20的弦各有1条，长度为17、18、19的弦各有2条（对称分布），总条数为$1+2×3+1=8$条。
【答案】
(1) 如图，连接OP并延长,取PQ=OP,分别以点O,Q为圆心,大于$\frac{1}{2}$OQ的长度为半径画弧,连接两弧的交点,交⊙O与A,B两点,则弦AB即为所求；
(2) ① $16≤ m≤20$；② 8
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的弦的性质
【点评】
本题围绕圆内定点的弦展开考察，核心是掌握过圆内定点的弦的最值规律，计算时结合垂径定理和勾股定理即可，计数时要注意对称弦的存在，避免漏算。
【难度系数】
0.6
（1）要作出以P为中点的弦，结合垂径定理推论可知，过P且垂直于过P的半径的弦满足要求，因此先连接OP，再作OP的垂线与圆相交即可得到所求弦。
（2）①过圆内一点的弦中，最长弦为圆的直径，最短弦为与过该点的半径垂直的弦，结合垂径定理和勾股定理算出最短弦长，即可得到弦长的取值范围。
②在弦长的取值范围内找出所有整数长度，注意最长、最短弦各只有1条，其余整数长度的弦均有2条（关于OP对称），求和即可得到总条数。
【解析】
（1）作图步骤参考：连接OP并延长，取PQ=OP，分别以点O、Q为圆心，大于$\frac{1}{2}$OQ的长度为半径画弧，连接两弧的交点，交⊙O于A、B两点，弦AB即为所求。
（2）① 过点P的弦中，最长弦是⊙O的直径，长度为$2×10=20$；
最短弦是与OP垂直的弦，连接OA，
∵$OP⊥ AB$，由垂径定理得$AP=BP$，
在$Rt△ OPA$中，$OA=10$，$OP=6$，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∴$AB=2AP=16$，
因此过点P的弦的长度m范围为$16≤ m≤20$。
② 弦长的整数取值为16、17、18、19、20：
长度为16和20的弦各有1条，长度为17、18、19的弦各有2条（对称分布），总条数为$1+2×3+1=8$条。
【答案】
(1) 如图
，连接OP并延长,取PQ=OP,分别以点O,Q为圆心,大于$\frac{1}{2}$OQ的长度为半径画弧,连接两弧的交点,交⊙O与A,B两点,则弦AB即为所求；(2) ① $16≤ m≤20$；② 8
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的弦的性质
【点评】
本题围绕圆内定点的弦展开考察，核心是掌握过圆内定点的弦的最值规律，计算时结合垂径定理和勾股定理即可，计数时要注意对称弦的存在，避免漏算。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在半径为$\sqrt{13}$的$\odot O$中,弦AB与CD交于点E,$∠ DEB=75°$,$AB=6$,$AE=1$,则CD的长是（
A.$2\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{11}$
D.$4\sqrt{3}$
第10题 第11题
C
）A.$2\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{11}$
D.$4\sqrt{3}$
第10题 第11题
答案
10. C
解析
【分析】
解决圆中弦长计算问题，通常运用垂径定理：过圆心作弦的垂线，可将弦长平分，再结合勾股定理求解线段长度。本题先过圆心O分别作AB、CD的垂线构造直角三角形，先利用AB的长度和圆的半径求出圆心到AB的距离，再结合已知角度推导求出圆心到CD的距离，最后用勾股定理算出CD长度的一半，即可得到CD的总长。
【解析】
解：过点O作$OF⊥ AB$于点F，$OG⊥ CD$于点G，连接OB、OC。
根据垂径定理可得：$AF=FB=\frac{1}{2}AB=3$。
$\because AE=1$，$\therefore EF=AF-AE=3-1=2$。
在$Rt△ OFB$中，$OB=\sqrt{13}$，$FB=3$，
$\therefore OF=\sqrt{OB^2-FB^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$。
$\therefore OF=EF=2$，又$∠ OFE=90°$，$\therefore △ OFE$是等腰直角三角形，$∠ OEF=45°$。
$\because ∠ DEB=75°$，$\therefore ∠ OEG=∠ DEB-∠ OEF=75°-45°=30°$。
在$Rt△ OEG$中，$OE=\sqrt{OF^2+EF^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore OG=\frac{1}{2}OE=\sqrt{2}$。
在$Rt△ OCG$中，$OC=\sqrt{13}$，$OG=\sqrt{2}$，
$\therefore CG=\sqrt{OC^2-OG^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{13-2}=\sqrt{11}$。
根据垂径定理，$CD=2CG=2\sqrt{11}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，将垂径定理和勾股定理结合使用，其中角度的推导转化、求出圆心到CD的距离是解题的关键，能有效考查学生对圆的基本性质的运用能力。
【难度系数】
0.6
解决圆中弦长计算问题，通常运用垂径定理：过圆心作弦的垂线，可将弦长平分，再结合勾股定理求解线段长度。本题先过圆心O分别作AB、CD的垂线构造直角三角形，先利用AB的长度和圆的半径求出圆心到AB的距离，再结合已知角度推导求出圆心到CD的距离，最后用勾股定理算出CD长度的一半，即可得到CD的总长。
【解析】
解：过点O作$OF⊥ AB$于点F，$OG⊥ CD$于点G，连接OB、OC。
根据垂径定理可得：$AF=FB=\frac{1}{2}AB=3$。
$\because AE=1$，$\therefore EF=AF-AE=3-1=2$。
在$Rt△ OFB$中，$OB=\sqrt{13}$，$FB=3$，
$\therefore OF=\sqrt{OB^2-FB^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$。
$\therefore OF=EF=2$，又$∠ OFE=90°$，$\therefore △ OFE$是等腰直角三角形，$∠ OEF=45°$。
$\because ∠ DEB=75°$，$\therefore ∠ OEG=∠ DEB-∠ OEF=75°-45°=30°$。
在$Rt△ OEG$中，$OE=\sqrt{OF^2+EF^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore OG=\frac{1}{2}OE=\sqrt{2}$。
在$Rt△ OCG$中，$OC=\sqrt{13}$，$OG=\sqrt{2}$，
$\therefore CG=\sqrt{OC^2-OG^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{13-2}=\sqrt{11}$。
根据垂径定理，$CD=2CG=2\sqrt{11}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，将垂径定理和勾股定理结合使用，其中角度的推导转化、求出圆心到CD的距离是解题的关键，能有效考查学生对圆的基本性质的运用能力。
【难度系数】
0.6
11. 如图所示，在$\odot O$中，AB为弦，$OC⊥ AB$交AB于点D. 且$OD=DC$. P为$\odot O$上任意一点，连接PA，PB，若$\odot O$的半径为1，则$S_{△ PAB}$的最大值为
$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
.答案
11. $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
解析
【分析】
要计算△PAB的最大面积，首先△PAB的底AB为定长，因此面积大小由AB边上的高决定，当点P到AB的距离最大时，三角形面积最大。解题分两步：第一步利用垂径定理、勾股定理和已知条件求出AB的长度；第二步结合圆的性质找到点P到AB的最大距离，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OA，
∵⊙O的半径为1，
∴$OA=OC=1$，
∵$OD=DC$，
∴$OD=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}$，
∵$OC⊥AB$，由垂径定理可得$AD=DB$，$∠ ODA=90°$，
在$Rt△ ODA$中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$AB=2AD=\sqrt{3}$，
要使$S_{△ PAB}$最大，需点P到AB的距离最大，当点P为CO的延长线与⊙O在AB上方的交点时，P到AB的距离最大，
此时最大高$h=OP+OD=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
∴$S_{△ PAB}$的最大值为$\frac{1}{2} × AB × h=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × \frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是明确定底三角形的面积最大值对应高的最大值，结合圆的对称性找到最大高的位置，再通过垂径定理和勾股定理计算对应边长即可，是圆的对称性相关的典型考题。
【难度系数】
0.65
要计算△PAB的最大面积，首先△PAB的底AB为定长，因此面积大小由AB边上的高决定，当点P到AB的距离最大时，三角形面积最大。解题分两步：第一步利用垂径定理、勾股定理和已知条件求出AB的长度；第二步结合圆的性质找到点P到AB的最大距离，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OA，
∵⊙O的半径为1，
∴$OA=OC=1$，
∵$OD=DC$，
∴$OD=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}$，
∵$OC⊥AB$，由垂径定理可得$AD=DB$，$∠ ODA=90°$，
在$Rt△ ODA$中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$AB=2AD=\sqrt{3}$，
要使$S_{△ PAB}$最大，需点P到AB的距离最大，当点P为CO的延长线与⊙O在AB上方的交点时，P到AB的距离最大，
此时最大高$h=OP+OD=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
∴$S_{△ PAB}$的最大值为$\frac{1}{2} × AB × h=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × \frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是明确定底三角形的面积最大值对应高的最大值，结合圆的对称性找到最大高的位置，再通过垂径定理和勾股定理计算对应边长即可，是圆的对称性相关的典型考题。
【难度系数】
0.65
12. 已知一座圆弧形拱桥，圆心为点O，桥下水面宽度AB为18 m，过O作OC⊥AB于点D，CD=3 m.
（1）求该圆弧形拱桥的半径；
（2）现有一艘宽6 m，船舱顶部高出水面2 m的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请问，该货船能顺利通过吗？
（1）求该圆弧形拱桥的半径；
（2）现有一艘宽6 m，船舱顶部高出水面2 m的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请问，该货船能顺利通过吗？
答案
12. 如图
(1) $\because OC⊥AB,\therefore AD=\frac{1}{2}AB=9\ \mathrm{m}$,连接AO,设AO=r,根据题意得$r^2=9^2+(r-3)^2$,解得r=15.答:圆弧形拱桥的半径为15米；(2) $\because ED=2,OD=12,\therefore EO=14.\because MN⊥CO,\therefore ME=\frac{1}{2}MN$.连接OM,$\because OM=15,\therefore ME=\sqrt{15^2-14^2}=\sqrt{29}＞3$,$\therefore$ 该货船可以顺利通过.
解析
【分析】
（1）求圆弧半径可结合垂径定理与勾股定理求解：首先由OC垂直AB，根据垂径定理得到AD是AB的一半，长度为9m；设半径为r，那么OD的长度可表示为r-CD也就是r-3，再在直角三角形AOD中利用勾股定理列关于r的方程，解方程即可得到半径。
（2）判断货船能否通过，本质是求高出水面2m位置处拱桥的宽度，若宽度大于货船宽度6m则可通过：首先计算高出水面2m时，该位置到圆心O的距离，再结合垂径定理和勾股定理算出对应位置的半弦长，得到总宽度后与6m比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 连接OA，因为$OC⊥AB$，根据垂径定理可得$AD=\frac{1}{2}AB=9\ \mathrm{m}$。设圆的半径$AO=r$，则$OD = OC-CD = r-3$，在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，代入得$r^2=9^2+(r-3)^2$，展开化简得$6r=90$，解得$r=15$。
(2) 已知货船顶部高出水面2m，即$ED=2$，由(1)得$OD=15-3=12$，所以$EO=OD+ED=14$。因为货船顶部的边$MN⊥CO$，根据垂径定理得$ME=\frac{1}{2}MN$。连接$OM$，$OM$为半径等于15，在$Rt△ OME$中，由勾股定理得$ME=\sqrt{OM^2-EO^2}=\sqrt{15^2-14^2}=\sqrt{29}$，因为$\sqrt{29}＞3$，所以$MN=2ME＞6$，即该位置拱桥宽度大于货船宽度。
【答案】
12. 如图 (1) $\because OC⊥AB,\therefore AD=\frac{1}{2}AB=9\ \mathrm{m}$,连接AO,设AO=r,根据题意得$r^2=9^2+(r-3)^2$,解得r=15.答:圆弧形拱桥的半径为15米；
(2) $\because ED=2,OD=12,\therefore EO=14.\because MN⊥CO,\therefore ME=\frac{1}{2}MN$.连接OM,$\because OM=15,\therefore ME=\sqrt{15^2-14^2}=\sqrt{29}＞3$,$\therefore$ 该货船可以顺利通过.
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的对称性
【点评】
本题是圆的对称性的实际应用类题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合使用，解题关键是将实际问题转化为几何计算问题，通过构造直角三角形求解对应线段长度，是圆章节的典型应用题。
【难度系数】
0.7
（1）求圆弧半径可结合垂径定理与勾股定理求解：首先由OC垂直AB，根据垂径定理得到AD是AB的一半，长度为9m；设半径为r，那么OD的长度可表示为r-CD也就是r-3，再在直角三角形AOD中利用勾股定理列关于r的方程，解方程即可得到半径。
（2）判断货船能否通过，本质是求高出水面2m位置处拱桥的宽度，若宽度大于货船宽度6m则可通过：首先计算高出水面2m时，该位置到圆心O的距离，再结合垂径定理和勾股定理算出对应位置的半弦长，得到总宽度后与6m比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 连接OA，因为$OC⊥AB$，根据垂径定理可得$AD=\frac{1}{2}AB=9\ \mathrm{m}$。设圆的半径$AO=r$，则$OD = OC-CD = r-3$，在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，代入得$r^2=9^2+(r-3)^2$，展开化简得$6r=90$，解得$r=15$。
(2) 已知货船顶部高出水面2m，即$ED=2$，由(1)得$OD=15-3=12$，所以$EO=OD+ED=14$。因为货船顶部的边$MN⊥CO$，根据垂径定理得$ME=\frac{1}{2}MN$。连接$OM$，$OM$为半径等于15，在$Rt△ OME$中，由勾股定理得$ME=\sqrt{OM^2-EO^2}=\sqrt{15^2-14^2}=\sqrt{29}$，因为$\sqrt{29}＞3$，所以$MN=2ME＞6$，即该位置拱桥宽度大于货船宽度。
【答案】
12. 如图
(1) $\because OC⊥AB,\therefore AD=\frac{1}{2}AB=9\ \mathrm{m}$,连接AO,设AO=r,根据题意得$r^2=9^2+(r-3)^2$,解得r=15.答:圆弧形拱桥的半径为15米；(2) $\because ED=2,OD=12,\therefore EO=14.\because MN⊥CO,\therefore ME=\frac{1}{2}MN$.连接OM,$\because OM=15,\therefore ME=\sqrt{15^2-14^2}=\sqrt{29}＞3$,$\therefore$ 该货船可以顺利通过.
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的对称性
【点评】
本题是圆的对称性的实际应用类题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合使用，解题关键是将实际问题转化为几何计算问题，通过构造直角三角形求解对应线段长度，是圆章节的典型应用题。
【难度系数】
0.7
