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19. 如图，已知△ABC，AB=1，BC=3，AC=$\sqrt{10}$，点P是AC上的一个动点，则线段BP长的最小值是
$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
。答案
19.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
20.如图,在四边形ABCD中,$∠ABC=90°$,$AB=3$,$BC=4$,$CD=5$,$DA=5\sqrt{2}$,则BD的长为
$\sqrt{65}$
.答案
20.$\sqrt{65}$
21.已知$△ ABC$的三边长分别为$k^2 -1,2k,k^2 +1$，其中$k＞1$，求证：$△ ABC$是直角三角形.
答案
21.证明:$\because k＞1.$
$\therefore k^2 + 1$ 为最长边，
$(k^2 - 1)^2 + (2k)^2 = k^4 - 2k^2 + 1 + 4k^2 = k^4 + 2k^2 + 1 = (k^2 + 1)^2 ,$
满足勾股定理逆定理，
$\therefore △ABC$ 是直角三角形.
$\therefore k^2 + 1$ 为最长边，
$(k^2 - 1)^2 + (2k)^2 = k^4 - 2k^2 + 1 + 4k^2 = k^4 + 2k^2 + 1 = (k^2 + 1)^2 ,$
满足勾股定理逆定理，
$\therefore △ABC$ 是直角三角形.
22.“在$△ ABC$中，$AB$，$BC$，$AC$三边的长分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$，求这个三角形的面积.”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1），再在网格中画出格点$△ ABC$（即$△ ABC$三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不用求$△ ABC$的高，借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求$△ ABC$面积的方法叫作构图法.
(1)图1中$△ ABC$的面积是
(2)若$△ MNP$的边长分别为$\sqrt{m^2 + 16n^2}$，$\sqrt{9m^2 + 4n^2}$，$\sqrt{4m^2 + 4n^2}$（$m＞0$，$n＞0$，且$m≠n$），试运用构图法在图2中画出相应的$△ MNP$，并求出$△ MNP$的面积.
(1)图1中$△ ABC$的面积是
3.5
；(2)若$△ MNP$的边长分别为$\sqrt{m^2 + 16n^2}$，$\sqrt{9m^2 + 4n^2}$，$\sqrt{4m^2 + 4n^2}$（$m＞0$，$n＞0$，且$m≠n$），试运用构图法在图2中画出相应的$△ MNP$，并求出$△ MNP$的面积.
答案
22.解:(1)3.5
(2)作图如下.
$S_{△MNP}=3m · 4n - \frac{1}{2} · m · 4n - \frac{1}{2} · 3m · 2n - \frac{1}{2} · 2m · 2n = 5mn.$
