1. 如图,点B,C,E在同一条直线上,$∠B=∠E=70^{\circ },∠ACF=70^{\circ }$,且$AB=CE$.图中与AC长度相等的线段是 ()

A.BC
B.EF
C.CF
D.AF

1. C

证明：
∵点B,C,E共线，∠B=∠E=70°，∠ACF=70°，
∴∠ACB+∠ACF+∠FCE=180°，即∠ACB+∠FCE=110°．
又∠B+∠BAC+∠ACB=180°，得∠BAC+∠ACB=110°，
∴∠BAC=∠FCE．
在△ABC和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠B=∠E,\\ AB=CE,\\ ∠BAC=∠ECF,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△CEF(ASA)．
∴AC=CF．
答案：C

2. 如图,B,A,D三点共线,$∠CAE=∠B=∠D＜90^{\circ },AC=AE$. 求证:
(1)$△ABC\cong △EDA;$
(2)$BD=BC+DE.$

2.
(1) $\because \angle EAD = 180° - \angle CAE - \angle CAB$, $\angle C = 180° - \angle B - \angle CAB$, $\angle CAE = \angle B$, $\therefore \angle EAD = \angle C$. 在$\triangle ABC$和$\triangle EDA$中, $\begin{cases} \angle B = \angle D, \\ \angle C = \angle EAD, \\ AC = EA, \end{cases}$ $\therefore \triangle ABC \cong \triangle EDA$ (AAS)
(2) 由
(1)，得$\triangle ABC \cong \triangle EDA$，$\therefore BA = DE$，$BC = DA$. $\because BD = DA + BA$，$\therefore BD = BC + DE$

3. (2023·重庆A卷)如图,在$△ABC$中,$∠BAC=90^{\circ },AB=AC$,D为BC上一点,连接AD.过点B作$BE⊥AD$于点E,过点C作$CF⊥AD$,交AD的延长线于点F.若$BE=4,CF=1$,则EF的长为.

3. 3

证明：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°．
又
∵∠BAE+∠CAF=90°，
∴∠ABE=∠CAF．
在△ABE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AEB=∠CFA\\∠ABE=∠CAF\\AB=AC\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE=CF=1，AF=BE=4．
∵EF=AF-AE，
∴EF=4-1=3．
3

4. (2024·重庆A卷改编)如图,在正方形ABCD的边CD上有一点E,连接AE,把AE绕点E逆时针旋转$90^{\circ }$,得到FE,连接CF并延长与AB的延长线交于点G,则$∠G$的度数为.

4. $45°$ 解析: 如图，过点 $F$ 作 $FH \perp DC$，交 $DC$ 的延长线于点 $H$，则可证 $\triangle ADE \cong \triangle EHF$，$\therefore AD = EH$，$DE = HF$，$\therefore$ 易得 $EH = DC$，$\therefore DE = CH = HF$，$\therefore \angle HCF = \angle HFC = 45°$. $\because$ 在正方形 $ABCD$ 中，$DC// AB$，即 $DH// AG$，$\therefore \angle G = \angle HCF = 45°$.
　　　　　　

5. 如图,$AC=AB=BD,∠ABD=90^{\circ },BC=8$,则$△BCD$的面积为.

5. 16 解析: 过点 $A$ 作 $AE \perp BC$ 于点 $E$，过点 $D$ 作 $DF \perp CB$，交 $CB$ 的延长线于点 $F$. 先由“$HL$”证 $Rt \triangle AEC \cong Rt \triangle AEB$，得 $CE = BE = \frac{1}{2} BC = 4$，再由“AAS”证 $\triangle AEB \cong \triangle BFD$，得 $BE = DF = 4$，因此 $S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} BC \cdot DF = \frac{1}{2} × 8 × 4 = 16$.

解：过点$A$作$AE \perp BC$于点$E$，过点$D$作$DF \perp CB$，交$CB$的延长线于点$F$。
在$Rt\triangle AEC$和$Rt\triangle AEB$中，$\left\{\begin{array}{l} AC=AB \\ AE=AE \end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle AEC \cong Rt\triangle AEB(HL)$，
$\therefore CE=BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8 = 4$。
$\because \angle ABD = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABE+\angle DBF=90^{\circ}$。
$\because AE \perp BC$，
$\therefore \angle AEB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE+\angle ABE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE=\angle DBF$。
在$\triangle AEB$和$\triangle BFD$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle BAE=\angle DBF \\ \angle AEB=\angle BFD=90^{\circ} \\ AB=BD \end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AEB \cong \triangle BFD(AAS)$，
$\therefore BE=DF=4$。
$\therefore S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot DF=\frac{1}{2}×8×4 = 16$。
16

6. (2023·陕西)如图,在$△ABC$中,$∠B=90^{\circ }$,作$CD⊥AC$,且使$CD=AC$,作$DE⊥BC$,交BC的延长线于点E. 求证:$AB=CE.$

6. $\because DC \perp AC$，$\therefore \angle ACD = 90°$，$\therefore \angle ACB + \angle DCE = 180° - \angle ACD = 90°$. $\because \angle B = 90°$，$\therefore \angle ACB + \angle A = 90°$，$\therefore \angle A = \angle DCE$. $\because DE \perp BC$，$\therefore \angle E = 90°$，$\therefore \angle B = \angle E$. 在$\triangle ABC$和$\triangle CED$中，$\begin{cases} \angle B = \angle E, \\ \angle A = \angle DCE, \\ AC = CD, \end{cases}$ $\therefore \triangle ABC \cong \triangle CED$ (AAS)，$\therefore AB = CE$