登录
7. (2025·苏州期末)如图,在$△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ }$,D是边AB的中点,以点C为圆心,CD的长为半径画弧,与线段BD相交于另一点E,连接CE.若$∠A=∠DCE$,则$∠A$的度数为 (
A.$20^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$36^{\circ }$
D.$40^{\circ }$
C
)A.$20^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$36^{\circ }$
D.$40^{\circ }$
答案
7.C
解析
证明：在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，D是边AB的中点，
$\therefore CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB$（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
$\therefore ∠A=∠ACD$，$∠B=∠BCD$，
$\because ∠A=∠DCE$，设$∠A=x$，则$∠ACD=x$，$∠DCE=x$，
$\because CE=CD$（同圆半径相等），
$\therefore ∠CDE=∠CED$，
$\because ∠CDE=∠A+∠ACD=2x$，
$\therefore ∠CED=2x$，
在$△CDE$中，$∠DCE+∠CDE+∠CED=180^{\circ}$，
$\therefore x+2x+2x=180^{\circ}$，
解得$x=36^{\circ}$，即$∠A=36^{\circ}$。
C
$\therefore CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB$（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
$\therefore ∠A=∠ACD$，$∠B=∠BCD$，
$\because ∠A=∠DCE$，设$∠A=x$，则$∠ACD=x$，$∠DCE=x$，
$\because CE=CD$（同圆半径相等），
$\therefore ∠CDE=∠CED$，
$\because ∠CDE=∠A+∠ACD=2x$，
$\therefore ∠CED=2x$，
在$△CDE$中，$∠DCE+∠CDE+∠CED=180^{\circ}$，
$\therefore x+2x+2x=180^{\circ}$，
解得$x=36^{\circ}$，即$∠A=36^{\circ}$。
C
8. (2023·赤峰改编)如图,在$△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },AB=8cm$,D是AB的中点.现将$△BCD$沿BA方向平移1 cm,得到$△EFG$,FG交AC于点H,则GH的长为
3
cm.答案
8.3
解析
解：
∵在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，D是AB的中点，$AB=8\,cm$，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=4\,cm$，且$CD=AD=BD$，
∴$∠A=∠ACD$。
∵$△BCD$沿BA方向平移$1\,cm$得到$△EFG$，
∴$FG=CD=4\,cm$，$FG// CD$，平移距离$BE=1\,cm$，
∴$∠AHG=∠ACD=∠A$，
∴$GH=AG$。
∵$AD=\frac{1}{2}AB=4\,cm$，$GD=AD-AG=4-AG$，
又
∵平移后$GD=BE=1\,cm$（对应点连线相等），
∴$4-AG=1$，解得$AG=3\,cm$，
∴$GH=AG=3\,cm$。
答案：$3$
∵在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，D是AB的中点，$AB=8\,cm$，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=4\,cm$，且$CD=AD=BD$，
∴$∠A=∠ACD$。
∵$△BCD$沿BA方向平移$1\,cm$得到$△EFG$，
∴$FG=CD=4\,cm$，$FG// CD$，平移距离$BE=1\,cm$，
∴$∠AHG=∠ACD=∠A$，
∴$GH=AG$。
∵$AD=\frac{1}{2}AB=4\,cm$，$GD=AD-AG=4-AG$，
又
∵平移后$GD=BE=1\,cm$（对应点连线相等），
∴$4-AG=1$，解得$AG=3\,cm$，
∴$GH=AG=3\,cm$。
答案：$3$
9. 如图,在$△ABC$中,$∠B=50^{\circ },CD⊥AB$于点D,$∠BCD$和$∠BDC$的平分线相交于点E,F为边AC的中点,$CD=CF$,则$∠ACD+∠CED$的度数为
175°
.答案
9.175° 解析:连接DF.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵F为边AC的中点，
∴AF=CF,DF是Rt△ADC斜边上的中线，
∴DF=AF=CF.
∵CD=CF,
∴DF=CD=CF,
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD=60°.
∵在△CDB中,∠B=50°,
∴∠BCD+∠BDC=180°−∠B=180°−50°=130°.
∵∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠BCD,∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BDC,
∴∠ECD+∠EDC=$\frac{1}{2}$(∠BCD+∠BDC)=65°,
∴在△CDE中，∠CED=180°−(∠ECD+∠EDC)=180°−65°=115°,
∴∠ACD+∠CED=60°+115°=175°.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵F为边AC的中点，
∴AF=CF,DF是Rt△ADC斜边上的中线，
∴DF=AF=CF.
∵CD=CF,
∴DF=CD=CF,
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD=60°.
∵在△CDB中,∠B=50°,
∴∠BCD+∠BDC=180°−∠B=180°−50°=130°.
∵∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠BCD,∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BDC,
∴∠ECD+∠EDC=$\frac{1}{2}$(∠BCD+∠BDC)=65°,
∴在△CDE中，∠CED=180°−(∠ECD+∠EDC)=180°−65°=115°,
∴∠ACD+∠CED=60°+115°=175°.
10. 如图,在$△ABC$中,CD是边AB上的高,BE是边AC上的中线,且$BD=CE$.求证:
(1)点D在BE的垂直平分线上;
(2)$∠BEC=3∠ABE$.
(1)点D在BE的垂直平分线上;
(2)$∠BEC=3∠ABE$.
答案
10.
(1)如图,连接DE.
∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵BE是边AC上的中线，
∴AE=CE,
∴DE是Rt△ADC斜边上的中线，
∴DE=CE=AE.
∵BD=CE,
∴BD=DE,
∴点D在BE的垂直平分线上
(2)
∵DE=AE,
∴∠A=∠ADE.
∵BD=DE,
∴∠DBE=∠DEB.
∵∠ADE是△DBE的外角，
∴∠ADE=∠DBE+∠DEB=2∠DBE,
∴∠A=2∠ABE.
∵∠BEC是△ABE的外角，
∴∠BEC=∠A+∠ABE,
∴∠BEC=3∠ABE
11. (2025·常熟期末改编)如图,以线段AC为斜边作$Rt△ABC$和$Rt△ADC$,连接BD,M,N分别是线段AC,BD的中点,连接MN,MB.
(1)求证:$MN⊥BD$;
(2)若$∠BAC=45^{\circ },∠DAC=28^{\circ }$,求$∠BMN$的度数.
(1)求证:$MN⊥BD$;
(2)若$∠BAC=45^{\circ },∠DAC=28^{\circ }$,求$∠BMN$的度数.
答案
11.
(1)如图,连接MD.
∵在Rt△ABC和Rt△ADC中，M是线段AC的中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$AC,DM=$\frac{1}{2}$AC,
∴BM=DM.
∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD(三线合一)
(2)
∵M是线段AC的中点，BM=$\frac{1}{2}$AC,
∴BM=AM,
∴∠BAC=∠MBA=45°,
∴∠BMC=∠BAC+∠MBA=2∠BAC=90°.同理,可求∠DMC=2∠DAC=56°.
∴∠BMD=∠BMC−∠DMC=34°.
∵BM=DM,N是BD的中点，
∴∠BMN=$\frac{1}{2}$∠BMD=17°
