7. 如图，$AC = BC$，$D$ 是 $AB$ 的中点，$CE // AB$，$CE = \frac{1}{2}AB$。
(1) 求证：四边形 $CDBE$ 是矩形；
(2) 若 $AC = 5$，$CD = 3$，$F$ 是 $BC$ 上一点，且 $DF ⊥ BC$，求 $DF$ 的长。

(1)证明：$\because AC=BC,\therefore△ ACB$是等腰三角形.
$ \because D$是AB的中点，$\therefore DB=\frac{1}{2}AB,CD⊥ DB.$
$ \because CE=\frac{1}{2}AB,\therefore DB=CE.$
$ \because CE// AB,\therefore$四边形CDBE是平行四边形.
又$\because CD⊥ DB,\therefore$四边形CDBE是矩形.
(2)解：在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，∠ CDB=90°,CB=AC=5，
CD=3，
$ \therefore BD=\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}=4.$
$ \because DF⊥ BC,\therefore DF· BC=CD· BD$，解得$DF=\frac{12}{5}.$

8. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别为 $AB$，$CD$ 的中点，点 $G$，$H$ 分别在边 $DA$，$BC$ 上，且 $AG = CH$。
(1) 求证：四边形 $EHFG$ 是平行四边形；
(2) 若 $GH = AD$，求证：四边形 $EHFG$ 是矩形。

(1)证明：$\because$四边形ABCD是平行四边形，
$ \therefore ∠ A=∠ C,∠ D=∠ B,AD=BC,AB=CD.$
$ \because E,F$分别为AB,CD的中点，
$ \therefore AE=EB=CF=FD.$
$ \because AG=CH,\therefore BH=DG$，
$ \therefore △ AGE≌△ CHF(\mathrm{SAS}),△ BEH≌△ DFG(\mathrm{SAS})$，
$ \therefore EG=FH,EH=FG$，
$ \therefore$四边形EHFG是平行四边形.
(2)连接EF，$\because$四边形ABCD是平行四边形，
$ \therefore AB=CD,AB// CD.$
$ \because E,F$分别为AB,CD的中点，
$ \therefore AE=\frac{1}{2}AB,DF=\frac{1}{2}CD,\therefore AE=DF.$
$ \because AB// CD,\therefore$四边形AEFD是平行四边形，
$ \therefore EF=AD.$
$ \because GH=AD,\therefore EF=GH.$
又$\because$四边形EHFG是平行四边形，
$ \therefore$四边形EHFG是矩形.

9. (2025·云南) 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ABC = 90°$，$O$ 是 $AC$ 的中点，延长 $BO$ 至点 $D$，使 $OD = OB$，连接 $AD$，$CD$。记 $AB = a$，$BC = b$，$△ AOB$ 的周长为 $l_1$，$△ BOC$ 的周长为 $l_2$，四边形 $ABCD$ 的周长为 $l_3$。
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是矩形；
(2) 若 $l_2 - l_1 = 2$，$l_3 = 28$，求 $AC$ 的长。

(1)证明：$\because O$是AC的中点，$\therefore OA=OC.$
$ \because OB=OD,\therefore$四边形ABCD是平行四边形.
$ \because ∠ ABC=90°,\therefore$平行四边形ABCD是矩形.
(2)解：$\because AB=a,BC=b,△ AOB$的周长为$l_1,△ BOC$的周长为$l_2$，四边形ABCD的周长为$l_3$，
$ \therefore l_2-l_1=BC-AB=b-a=2,l_3=2(AB+BC)=2(a+b)=28$，
$ \therefore \begin{cases} b-a=2, \\ b+a=14 \end{cases}$解得$\begin{cases} a=6, \\ b=8 \end{cases}$，
$ \therefore AB=6,BC=8,\therefore AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=10.$