21. 如图，在长方形$ABCD$中，$AB = 4\mathrm{cm}$，$BC = 3\mathrm{cm}$，动点$P$从点$A$出发，先以$1\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度沿$A→B$运动，然后以$2\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度沿$B→C$运动，到点$C$停止运动.设点$P$运动的时间为$t\mathrm{s}$，是否存在这样的$t$，使得三角形$BPD$的面积$S$大于$3\mathrm{cm}^{2}$？如果存在，请求出$t$的取值范围；如果不存在，请说明理由.

21. ①当点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上时（含点 $ A $，$ B $），即 $ 0 ≤ t ≤ 4 $.
由题意，得 $ \dfrac{1}{2}(4 - t) × 3 ＞ 3 $，
解得 $ t ＜ 2 $. $ \therefore 0 ≤ t ＜ 2 $.
②当点 $ P $ 在线段 $ BC $ 上时（不含点 $ B $，含点 $ C $），即 $ 4 ＜ t ≤ \dfrac{11}{2} $.
由题意，得 $ \dfrac{1}{2}(t - 4) × 2 × 4 ＞ 3 $，
解得 $ t ＞ \dfrac{19}{4} $. $ \therefore \dfrac{19}{4} ＜ t ≤ \dfrac{11}{2} $.
综上，存在，$ 0 ≤ t ＜ 2 $ 或 $ \dfrac{19}{4} ＜ t ≤ \dfrac{11}{2} $.

22. 某商店准备购进甲、乙两种品牌纪念品，若购进甲种纪念品$40$个，乙种纪念品$25$个，则需要$1350$元；若购进甲种纪念品$20$个，乙种纪念品$30$个，则需要$1200$元.
（1）求甲、乙两种纪念品的单价.
（2）若该商店刚好用了$3000$元购进这两种纪念品，考虑顾客的需求，要求购进甲种纪念品的数量不少于乙种纪念品数量的$3$倍，且乙种纪念品的数量大于$38$个，那么该商店有几种进货方案？
（3）若该商店销售一个甲种纪念品可获利润$5$元，销售一个乙种纪念品可获利润$6$元，在（2）的进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？

22. (1) 设甲种纪念品的单价是 $ x $ 元，乙种纪念品的单价是 $ y $ 元.
由题意，得 $ \begin{cases} 40x + 25y = 1350, \\ 20x + 30y = 1200. \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 15, \\ y = 30. \end{cases} $
答：甲种纪念品的单价是 15 元，乙种纪念品的单价是 30 元.
(2) 设购进甲种纪念品 $ m $ 个，乙种纪念品 $ n $ 个.
由题意，得 $ 15m + 30n = 3000 $. 即 $ m = 200 - 2n $.
$ \because m ≥ 3n $，且 $ n ＞ 38 $. $ \therefore 200 - 2n ≥ 3n $.
$ \therefore 38 ＜ n ≤ 40 $. $ \therefore n $ 可取的整数值为 39，40.
故有 2 种方案：①购进甲种纪念品 122 个，乙种纪念品 39 个；
②购进甲种纪念品 120 个，乙种纪念品 40 个；
(3) 方案①利润：$ 122 × 5 + 39 × 6 = 844 $（元）.
方案②利润：$ 120 × 5 + 40 × 6 = 840 $（元）.
答：购进甲种纪念品 122 个，乙种纪念品 39 个利润最大，最大利润是 844 元.