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1 认识方程
课堂精要·梳理内容
认识方程
方程
概念：含有未知数的表示量相等的等式
方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值
解方程：求方程的解的过程
一元一次方程的概念与识别方法
（1）图1 方程中的代数式都是
（2）只含有
（3）未知数的次数都是
列一元一次方程：准确把握相等关系是关键
课堂精练·发展能力
基础巩固
课堂精要·梳理内容
认识方程
方程
概念：含有未知数的表示量相等的等式
方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值
解方程：求方程的解的过程
一元一次方程的概念与识别方法
（1）图1 方程中的代数式都是
整式
（2）只含有
一
个未知数（3）未知数的次数都是
1
列一元一次方程：准确把握相等关系是关键
课堂精练·发展能力
基础巩固
答案
(1)整式 (2)一 (3)1
解析
【分析】
本题考察一元一次方程的基本识别条件，解题时只需回忆一元一次方程的定义，将定义的核心要素和三个空一一对应即可。一元一次方程的定义包含三个关键特征：一是方程两边的代数式都为整式，二是仅含有1个未知数，三是未知数的最高次数为1，对应三个问题直接填写即可。
【解析】
根据一元一次方程的标准定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，可得：
（1）方程中的代数式都是整式；
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数的次数都是1。
【答案】
(1)整式 (2)一 (3)1
【知识点】
一元一次方程的定义、整式的概念
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对一元一次方程核心判定要素的识记，熟练掌握相关基础概念即可轻松得分，是方程部分的入门必掌握内容。
【难度系数】
0.9
本题考察一元一次方程的基本识别条件，解题时只需回忆一元一次方程的定义，将定义的核心要素和三个空一一对应即可。一元一次方程的定义包含三个关键特征：一是方程两边的代数式都为整式，二是仅含有1个未知数，三是未知数的最高次数为1，对应三个问题直接填写即可。
【解析】
根据一元一次方程的标准定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，可得：
（1）方程中的代数式都是整式；
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数的次数都是1。
【答案】
(1)整式 (2)一 (3)1
【知识点】
一元一次方程的定义、整式的概念
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对一元一次方程核心判定要素的识记，熟练掌握相关基础概念即可轻松得分，是方程部分的入门必掌握内容。
【难度系数】
0.9
1.已知下列各式:①$2x+3y=11$;②$8x^2 -7x=1$;③$3x+4＜6$;④$\frac{x}{4}=x+2$;⑤$\frac{1}{y}-4=0$。其中是一元一次方程的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元一次方程的三个判定条件：一是只含有1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是属于整式方程（分母不含未知数），且必须是等式。接下来我们用这三个条件逐一核对给出的式子，统计符合要求的数量即可得到答案。
【解析】
根据一元一次方程的定义，逐个分析各式：
①$2x+3y=11$：含有x、y两个未知数，不符合一元一次方程要求，排除；
②$8x^2 -7x=1$：未知数x的最高次数是2，不符合次数为1的要求，排除；
③$3x+4＜6$：属于不等式，不是等式，不属于方程，排除；
④$\frac{x}{4}=x+2$：仅含未知数x，x的最高次数为1，分母为常数不含未知数，是整式方程，符合一元一次方程的定义；
⑤$\frac{1}{y}-4=0$：分母含有未知数y，属于分式方程，不是整式方程，排除。
综上，只有1个式子是一元一次方程。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题核心考查对一元一次方程定义的掌握，解题时需紧扣定义的三个核心要素，注意区分方程与不等式、整式方程与分式方程，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确一元一次方程的三个判定条件：一是只含有1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是属于整式方程（分母不含未知数），且必须是等式。接下来我们用这三个条件逐一核对给出的式子，统计符合要求的数量即可得到答案。
【解析】
根据一元一次方程的定义，逐个分析各式：
①$2x+3y=11$：含有x、y两个未知数，不符合一元一次方程要求，排除；
②$8x^2 -7x=1$：未知数x的最高次数是2，不符合次数为1的要求，排除；
③$3x+4＜6$：属于不等式，不是等式，不属于方程，排除；
④$\frac{x}{4}=x+2$：仅含未知数x，x的最高次数为1，分母为常数不含未知数，是整式方程，符合一元一次方程的定义；
⑤$\frac{1}{y}-4=0$：分母含有未知数y，属于分式方程，不是整式方程，排除。
综上，只有1个式子是一元一次方程。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题核心考查对一元一次方程定义的掌握，解题时需紧扣定义的三个核心要素，注意区分方程与不等式、整式方程与分式方程，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
2.下列方程的解为$x=2$的是(
A.$2x+3=5$
B.$2x=-4$
C.$3x-6=0$
D.$x^2=3$
C
)。A.$2x+3=5$
B.$2x=-4$
C.$3x-6=0$
D.$x^2=3$
答案
2.C
解析
【分析】
要判断哪个方程的解为$x=2$，需依据方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解题时将$x=2$分别代入四个选项的方程中，逐一验证左右两边是否相等，若相等则该选项符合要求。
【解析】
我们将$x=2$逐个代入各选项进行验证：
选项A：左边$=2×2 + 3=7$，右边$=5$，左边≠右边，故$x=2$不是该方程的解；
选项B：左边$=2×2=4$，右边$=-4$，左边≠右边，故$x=2$不是该方程的解；
选项C：左边$=3×2 -6=0$，右边$=0$，左边=右边，故$x=2$是该方程的解；
选项D：左边$=2^2=4$，右边$=3$，左边≠右边，故$x=2$不是该方程的解。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.方程的解的定义
2.代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程的解的判断方法，代入验证法是解决这类题的常用方法，熟练掌握该方法可以快速准确得到答案。
【难度系数】
0.9
要判断哪个方程的解为$x=2$，需依据方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解题时将$x=2$分别代入四个选项的方程中，逐一验证左右两边是否相等，若相等则该选项符合要求。
【解析】
我们将$x=2$逐个代入各选项进行验证：
选项A：左边$=2×2 + 3=7$，右边$=5$，左边≠右边，故$x=2$不是该方程的解；
选项B：左边$=2×2=4$，右边$=-4$，左边≠右边，故$x=2$不是该方程的解；
选项C：左边$=3×2 -6=0$，右边$=0$，左边=右边，故$x=2$是该方程的解；
选项D：左边$=2^2=4$，右边$=3$，左边≠右边，故$x=2$不是该方程的解。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.方程的解的定义
2.代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程的解的判断方法，代入验证法是解决这类题的常用方法，熟练掌握该方法可以快速准确得到答案。
【难度系数】
0.9
3. 下列方程是一元一次方程的是(
A.$y^2 -2y +3=0$
B.$2xy=1$
C.$2π R=6.28$
D.$3x -8y=13$
C
)。A.$y^2 -2y +3=0$
B.$2xy=1$
C.$2π R=6.28$
D.$3x -8y=13$
答案
3.C
解析
【分析】
要判断哪个选项是一元一次方程，首先需要明确一元一次方程的三个判断要点：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③等号两边都是整式。接下来我们按照这三个标准逐一核对每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都是整式的方程。
选项A：方程中未知数y的最高次数为2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，不是一元一次方程；
选项B：方程含有x、y两个未知数，且未知数的次数和为2，不符合“只含1个未知数、未知数最高次数为1”的要求，不是一元一次方程；
选项C：方程只含有R一个未知数，R的最高次数为1，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
选项D：方程含有x、y两个未知数，不符合“只含1个未知数”的要求，不是一元一次方程。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的判定、整式方程的概念
【点评】
本题是基础概念类题型，核心考查对一元一次方程定义的理解与应用，解题关键是牢记一元一次方程的判定标准，逐一排查选项即可，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
要判断哪个选项是一元一次方程，首先需要明确一元一次方程的三个判断要点：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③等号两边都是整式。接下来我们按照这三个标准逐一核对每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都是整式的方程。
选项A：方程中未知数y的最高次数为2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，不是一元一次方程；
选项B：方程含有x、y两个未知数，且未知数的次数和为2，不符合“只含1个未知数、未知数最高次数为1”的要求，不是一元一次方程；
选项C：方程只含有R一个未知数，R的最高次数为1，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
选项D：方程含有x、y两个未知数，不符合“只含1个未知数”的要求，不是一元一次方程。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的判定、整式方程的概念
【点评】
本题是基础概念类题型，核心考查对一元一次方程定义的理解与应用，解题关键是牢记一元一次方程的判定标准，逐一排查选项即可，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
4.根据下列条件可列出一元一次方程的是（
A.a与1的和的3倍
B.甲数的2倍与乙数的3倍的和
C.a与b的差的20%
D.一个数的3倍是5
D
）。A.a与1的和的3倍
B.甲数的2倍与乙数的3倍的和
C.a与b的差的20%
D.一个数的3倍是5
答案
4.D
解析
【分析】
要判断哪个选项能列出一元一次方程，首先需要明确两个核心判断依据：①方程是含有未知数的等式，必须同时具备“含未知数”和“有等号”两个特征；②一元一次方程需要额外满足：只含有1个未知数，未知数的最高次数是1，且等号两边都是整式。解题时先排除不是等式的选项，再验证剩余选项是否符合一元一次方程的要求即可。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且两边都是整式的等式叫做一元一次方程。
我们逐个分析选项：
A. “a与1的和的3倍”可表示为$3(a+1)$，属于代数式，没有等号，不是等式，因此不是方程，排除；
B. 设甲数为$x$，乙数为$y$，“甲数的2倍与乙数的3倍的和”可表示为$2x+3y$，属于代数式，没有等号，且含有2个未知数，不符合要求，排除；
C. “a与b的差的20%”可表示为$20\%(a-b)$，属于代数式，没有等号，且含有2个未知数，不符合要求，排除；
D. 设这个数为$x$，根据题意可列方程$3x=5$，该方程只含1个未知数$x$，未知数的次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 方程的判定
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对一元一次方程特征的掌握，解题的关键是先区分代数式和等式，再结合“一元”“一次”的特征筛选即可，熟练掌握定义就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断哪个选项能列出一元一次方程，首先需要明确两个核心判断依据：①方程是含有未知数的等式，必须同时具备“含未知数”和“有等号”两个特征；②一元一次方程需要额外满足：只含有1个未知数，未知数的最高次数是1，且等号两边都是整式。解题时先排除不是等式的选项，再验证剩余选项是否符合一元一次方程的要求即可。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且两边都是整式的等式叫做一元一次方程。
我们逐个分析选项：
A. “a与1的和的3倍”可表示为$3(a+1)$，属于代数式，没有等号，不是等式，因此不是方程，排除；
B. 设甲数为$x$，乙数为$y$，“甲数的2倍与乙数的3倍的和”可表示为$2x+3y$，属于代数式，没有等号，且含有2个未知数，不符合要求，排除；
C. “a与b的差的20%”可表示为$20\%(a-b)$，属于代数式，没有等号，且含有2个未知数，不符合要求，排除；
D. 设这个数为$x$，根据题意可列方程$3x=5$，该方程只含1个未知数$x$，未知数的次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 方程的判定
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对一元一次方程特征的掌握，解题的关键是先区分代数式和等式，再结合“一元”“一次”的特征筛选即可，熟练掌握定义就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
5.若$2x^{m-3}+6=2$是关于x的一元一次方程，则m的值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
D
）。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆一元一次方程的判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③未知数的系数不为0。题目已经明确该方程是关于x的一元一次方程，且x的系数为2（不为0），因此只需满足x的次数等于1，列出关于m的方程求解即可。
【解析】
解：已知$2x^{m-3}+6=2$是关于x的一元一次方程，根据一元一次方程的定义，未知数x的最高次数为1，因此可得：
$m-3=1$
移项计算得：$m=1+3=4$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考察对一元一次方程定义的理解，只要抓住“未知数最高次数为1”这一核心判定条件，就能快速解题得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆一元一次方程的判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③未知数的系数不为0。题目已经明确该方程是关于x的一元一次方程，且x的系数为2（不为0），因此只需满足x的次数等于1，列出关于m的方程求解即可。
【解析】
解：已知$2x^{m-3}+6=2$是关于x的一元一次方程，根据一元一次方程的定义，未知数x的最高次数为1，因此可得：
$m-3=1$
移项计算得：$m=1+3=4$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考察对一元一次方程定义的理解，只要抓住“未知数最高次数为1”这一核心判定条件，就能快速解题得分。
【难度系数】
0.9
6.在“爱护环境，建我家乡”的活动中，七(1)班学生共回收饮料瓶10 kg，男生回收的质量是女生的4倍。设女生回收饮料瓶x kg，根据题意可列方程为(
A.$4(10 - x) = x$
B.$x + \frac{1}{4}x = 10$
C.$4x = 10 + x$
D.$4x = 10 - x$
D
)。A.$4(10 - x) = x$
B.$x + \frac{1}{4}x = 10$
C.$4x = 10 + x$
D.$4x = 10 - x$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时先梳理题中的数量关系：首先明确设女生回收饮料瓶x kg，根据男生回收质量是女生的4倍，可先用含x的代数式表示出男生回收的质量；再结合总回收质量为10kg，可得男生回收质量也等于总质量减去女生回收的质量，同一个量（男生回收质量）的两种表达形式相等，据此即可列出对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
设女生回收饮料瓶x kg：
1. 根据“男生回收的质量是女生的4倍”，可得男生回收的质量为$4x$ kg；
2. 已知全班共回收饮料瓶10 kg，因此男生回收的质量也可表示为$(10 - x)$ kg；
3. 由于两个式子均表示男生回收的质量，因此二者相等，列方程得：$4x = 10 - x$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列一元一次方程，数量关系表示
【点评】
本题是基础的方程实际应用类题型，核心考查从实际场景中提取等量关系的能力，解题的关键是找到同一个量的两种不同表达形式，以此为依据建立等式，是方程入门阶段的常规考法。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理题中的数量关系：首先明确设女生回收饮料瓶x kg，根据男生回收质量是女生的4倍，可先用含x的代数式表示出男生回收的质量；再结合总回收质量为10kg，可得男生回收质量也等于总质量减去女生回收的质量，同一个量（男生回收质量）的两种表达形式相等，据此即可列出对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
设女生回收饮料瓶x kg：
1. 根据“男生回收的质量是女生的4倍”，可得男生回收的质量为$4x$ kg；
2. 已知全班共回收饮料瓶10 kg，因此男生回收的质量也可表示为$(10 - x)$ kg；
3. 由于两个式子均表示男生回收的质量，因此二者相等，列方程得：$4x = 10 - x$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列一元一次方程，数量关系表示
【点评】
本题是基础的方程实际应用类题型，核心考查从实际场景中提取等量关系的能力，解题的关键是找到同一个量的两种不同表达形式，以此为依据建立等式，是方程入门阶段的常规考法。
【难度系数】
0.8
7.如果$7a - 5$与$4 - 3a$互为相反数，那么可列出的方程为
$(7a-5)+(4-3a)=0$ 或 $7a-5=-(4-3a)$
。答案
7.$(7a-5)+(4-3a)=0$ 或 $7a-5=-(4-3a)$
解析
【分析】
解题的核心是掌握相反数的基本性质，首先明确互为相反数的两个数满足两个特征：一是两数之和为0，二是其中一个数等于另一个数的相反数。我们先从题干中提取两个互为相反数的代数式：7a-5和4-3a，再结合相反数的性质将两个代数式建立等式关系，就能列出对应的方程。
【解析】
根据相反数的性质：互为相反数的两个数的和为0，把两个代数式相加等于0，可列方程：$\boldsymbol{(7a-5)+(4-3a)=0}$；
另外，互为相反数的两个数满足其中一个数等于另一个数的相反数，因此也可列方程：$\boldsymbol{7a-5=-(4-3a)}$。
【答案】
$(7a-5)+(4-3a)=0$ 或 $7a-5=-(4-3a)$
【知识点】
相反数的性质；列方程
【点评】
本题属于基础考查题，重点检验对相反数性质的理解和应用能力，只要熟练掌握互为相反数的两数之和为0的特点，就能快速准确列出方程。
【难度系数】
0.9
解题的核心是掌握相反数的基本性质，首先明确互为相反数的两个数满足两个特征：一是两数之和为0，二是其中一个数等于另一个数的相反数。我们先从题干中提取两个互为相反数的代数式：7a-5和4-3a，再结合相反数的性质将两个代数式建立等式关系，就能列出对应的方程。
【解析】
根据相反数的性质：互为相反数的两个数的和为0，把两个代数式相加等于0，可列方程：$\boldsymbol{(7a-5)+(4-3a)=0}$；
另外，互为相反数的两个数满足其中一个数等于另一个数的相反数，因此也可列方程：$\boldsymbol{7a-5=-(4-3a)}$。
【答案】
$(7a-5)+(4-3a)=0$ 或 $7a-5=-(4-3a)$
【知识点】
相反数的性质；列方程
【点评】
本题属于基础考查题，重点检验对相反数性质的理解和应用能力，只要熟练掌握互为相反数的两数之和为0的特点，就能快速准确列出方程。
【难度系数】
0.9
8.判断下列各式，哪些是等式，哪些是方程，哪些是一元一次方程。
(1)$-2+5=3$;(2)$3x-1=7$;(3)$x＞3$;
(4)$x+3=8$;(5)$2x^2 -5x +1=0$;
(6)$2a + b$。
(1)$-2+5=3$;(2)$3x-1=7$;(3)$x＞3$;
(4)$x+3=8$;(5)$2x^2 -5x +1=0$;
(6)$2a + b$。
答案
8.解:(1)(2)(4)(5)是等式,(2)(4)(5)是方程,(2)(4)是一元一次方程。
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确三类式子的判定标准，按顺序逐步判断即可：1. 等式的核心是式子中含有“=”，与是否含未知数无关；2. 方程需要同时满足两个条件：是等式、含有未知数；3. 一元一次方程需要同时满足三个条件：是方程、只含1个未知数、未知数的最高次数为1且等号两边都是整式。解题时先从所有式子中找出带等号的等式，再从等式里筛选出含未知数的方程，最后从方程里挑出符合一元一次要求的式子即可。
【解析】
我们逐个分析6个式子：
(1) $-2+5=3$：含有等号，属于等式，没有未知数，不属于方程；
(2) $3x-1=7$：含有等号是等式，含未知数$x$属于方程，且只含1个未知数$x$、$x$的最高次数为1，属于一元一次方程；
(3) $x＞3$：含不等号，是不等式，不属于等式，也不是方程；
(4) $x+3=8$：含有等号是等式，含未知数$x$属于方程，且只含1个未知数$x$、$x$的最高次数为1，属于一元一次方程；
(5) $2x^2 -5x +1=0$：含有等号是等式，含未知数$x$属于方程，但$x$的最高次数为2，不属于一元一次方程；
(6) $2a + b$：是不含等号的代数式，不属于等式。
综上可得出三类式子的范围。
【答案】
(1)(2)(4)(5)是等式,(2)(4)(5)是方程,(2)(4)是一元一次方程。
【知识点】
等式的定义；方程的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题是基础的概念辨析题，解题关键是牢记各类式子的判定要点，注意不要误将不含未知数的等式排除在等式范畴外，也要留意一元一次方程对未知数次数的要求，避免和高次方程混淆。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先要明确三类式子的判定标准，按顺序逐步判断即可：1. 等式的核心是式子中含有“=”，与是否含未知数无关；2. 方程需要同时满足两个条件：是等式、含有未知数；3. 一元一次方程需要同时满足三个条件：是方程、只含1个未知数、未知数的最高次数为1且等号两边都是整式。解题时先从所有式子中找出带等号的等式，再从等式里筛选出含未知数的方程，最后从方程里挑出符合一元一次要求的式子即可。
【解析】
我们逐个分析6个式子：
(1) $-2+5=3$：含有等号，属于等式，没有未知数，不属于方程；
(2) $3x-1=7$：含有等号是等式，含未知数$x$属于方程，且只含1个未知数$x$、$x$的最高次数为1，属于一元一次方程；
(3) $x＞3$：含不等号，是不等式，不属于等式，也不是方程；
(4) $x+3=8$：含有等号是等式，含未知数$x$属于方程，且只含1个未知数$x$、$x$的最高次数为1，属于一元一次方程；
(5) $2x^2 -5x +1=0$：含有等号是等式，含未知数$x$属于方程，但$x$的最高次数为2，不属于一元一次方程；
(6) $2a + b$：是不含等号的代数式，不属于等式。
综上可得出三类式子的范围。
【答案】
(1)(2)(4)(5)是等式,(2)(4)(5)是方程,(2)(4)是一元一次方程。
【知识点】
等式的定义；方程的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题是基础的概念辨析题，解题关键是牢记各类式子的判定要点，注意不要误将不含未知数的等式排除在等式范畴外，也要留意一元一次方程对未知数次数的要求，避免和高次方程混淆。
【难度系数】
0.85
