21.（本小题满分12分）
如图，已知四边形ABCD内接于$\odot O$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$AE ⊥ AC$于点A，与$\odot O$及CB的延长线分别交于点F，E，且$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BF}$。
(1)求证：$△ ADC ∽ △ EBA$。
(2)求证：$AC^2=\frac{1}{2}BC · CE$。
(3)若$AB=2$，$BE · CE=9$，求$\tan ∠ CAD$的值。

21. (1)证明：
∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠CDA+∠ABC=180°.
又
∵∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠CDA=∠ABE.
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BF}$，
∴∠DCA=∠BAE.
∴△ADC∽△EBA.
(2)证明：如图，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H.
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
∴AB=AC.
又
∵AH⊥BC 于点 H，
∴CH=BH=$\frac{1}{2}$BC.
∵AE⊥AC，AH⊥BC，
∴∠AHC=∠EAC=90°.
又
∵∠HCA=∠ACE，
∴△ACH∽△ECA.
∴$\frac{AC}{CE}=\frac{CH}{AC}$，即 $AC^2=CH·CE$.
又
∵CH=$\frac{1}{2}$BC.
∴$AC^2=CH·CE=\frac{1}{2}BC·CE$.
(3)解：
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，AB=2，
∴AC=AB=2.
∵$AC^2=\frac{1}{2}BC·CE$，
∴BC·CE=8.
又
∵BE·CE=9，
∴BC·CE+BE·CE=CE·(BE+BC)=17.
∴$CE^2=17$.
又
∵∠EAC=90°，
∴$CE^2=AC^2+AE^2$，
∴AE=$\sqrt{17−2^2}=\sqrt{13}$.
∵△ADC∽△EBA，
∴∠CAD=∠AEB.
∴tan ∠CAD = tan ∠AEB = $\frac{AC}{AE}$ = $\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$.