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13. (10分)将三角尺与直尺如图60-G -7所示摆放，三角尺的直角顶点落在直尺上.
(1)$∠ 1+∠ 2=$
(2)若$∠ 1$的补角比$∠ 2$的2倍多$30°$，求$∠ 1$的度数.
图60-G-7
(1)$∠ 1+∠ 2=$
90
$°$；(2)若$∠ 1$的补角比$∠ 2$的2倍多$30°$，求$∠ 1$的度数.
图60-G-7
答案
13. 解:(1)因为三角尺的直角顶点落在直尺上，
所以∠1+∠2=180°−90°=90°.
故答案为 90.
(2)设∠1=x°,
则∠2=90°−x°.
根据题意,得 180−x=2(90−x)+30,
解得 x=30,即∠1=30°.
所以∠1+∠2=180°−90°=90°.
故答案为 90.
(2)设∠1=x°,
则∠2=90°−x°.
根据题意,得 180−x=2(90−x)+30,
解得 x=30,即∠1=30°.
解析
【分析】
(1) 首先观察图形特征：直尺的边缘是直线，对应的角为平角，度数是180°，三角尺的直角为90°，∠1、∠2和三角尺的直角共同组成这个平角，由此可推出∠1+∠2+90°=180°，化简即可得到∠1+∠2的度数。
(2) 设∠1的度数为x°，借助第一问得到的∠1和∠2的和为90°，可以用x表示出∠2的度数；再根据“∠1的补角比∠2的2倍多30°”的等量关系列方程，解方程即可求出∠1的度数。
【解析】
(1)
∵直尺边缘对应的角是平角，度数为180°，三角尺的直角为90°
∴∠1 + ∠2 + 90° = 180°
∴∠1+∠2=180°-90°=90°
(2) 设∠1的度数为x°，由(1)可得∠2=(90 - x)°
∠1的补角为(180 - x)°，根据题意列方程：
$180 - x = 2(90 - x) + 30$
去括号得：$180 - x = 180 - 2x + 30$
移项、合并同类项得：$x = 30$
即∠1的度数为30°
【答案】
(1) $\boxed{90}$；(2) $\boxed{30°}$
【知识点】
平角的定义，补角的概念，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合常见的三角尺、直尺设计问题，考查了角度基本运算和方程思想在几何计算中的应用，解题关键是找准角度间的数量关系，根据等量关系正确列方程求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
(1) 首先观察图形特征：直尺的边缘是直线，对应的角为平角，度数是180°，三角尺的直角为90°，∠1、∠2和三角尺的直角共同组成这个平角，由此可推出∠1+∠2+90°=180°，化简即可得到∠1+∠2的度数。
(2) 设∠1的度数为x°，借助第一问得到的∠1和∠2的和为90°，可以用x表示出∠2的度数；再根据“∠1的补角比∠2的2倍多30°”的等量关系列方程，解方程即可求出∠1的度数。
【解析】
(1)
∵直尺边缘对应的角是平角，度数为180°，三角尺的直角为90°
∴∠1 + ∠2 + 90° = 180°
∴∠1+∠2=180°-90°=90°
(2) 设∠1的度数为x°，由(1)可得∠2=(90 - x)°
∠1的补角为(180 - x)°，根据题意列方程：
$180 - x = 2(90 - x) + 30$
去括号得：$180 - x = 180 - 2x + 30$
移项、合并同类项得：$x = 30$
即∠1的度数为30°
【答案】
(1) $\boxed{90}$；(2) $\boxed{30°}$
【知识点】
平角的定义，补角的概念，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合常见的三角尺、直尺设计问题，考查了角度基本运算和方程思想在几何计算中的应用，解题关键是找准角度间的数量关系，根据等量关系正确列方程求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
14. (12分)如图60-G-8,已知O为直线AB上一点,$∠ DOE=90°$.
(1) 如图①,若$∠ AOC = 130°$, OD 平分$∠ AOC$,求$∠ BOE$的度数;
(2) 如图②,若$∠ BOE : ∠ AOE = 2 : 7$,求$∠ AOD$的度数.
(1) 如图①,若$∠ AOC = 130°$, OD 平分$∠ AOC$,求$∠ BOE$的度数;
(2) 如图②,若$∠ BOE : ∠ AOE = 2 : 7$,求$∠ AOD$的度数.
答案
14. 解:(1)因为 OD 平分∠AOC,∠AOC=130°,
所以∠DOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=65°.
因为∠DOC+∠COE=∠DOE=90°,
所以∠COE=90°−∠DOC=25°.
因为∠BOE+∠AOC+∠COE=180°,
所以∠BOE=180°−130°−25°=25°.
(2)因为∠BOE : ∠AOE = 2 : 7,∠BOE+∠AOE=180°,
所以∠BOE=$\frac{2}{9}×180°=40°$.
所以∠AOD = 180° − ∠DOE − ∠BOE = 180° − 90° − 40°=50°.
所以∠DOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=65°.
因为∠DOC+∠COE=∠DOE=90°,
所以∠COE=90°−∠DOC=25°.
因为∠BOE+∠AOC+∠COE=180°,
所以∠BOE=180°−130°−25°=25°.
(2)因为∠BOE : ∠AOE = 2 : 7,∠BOE+∠AOE=180°,
所以∠BOE=$\frac{2}{9}×180°=40°$.
所以∠AOD = 180° − ∠DOE − ∠BOE = 180° − 90° − 40°=50°.
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先利用角平分线的定义，结合已知的∠AOC度数，先求出∠DOC的度数；再根据∠DOE是直角的条件，通过角的和差关系算出∠COE的度数；最后依据直线AB对应的平角为180°，用平角度数减去∠AOC与∠COE的度数，即可得到∠BOE的度数。
(2) 解题思路：首先∠AOE与∠BOE组成平角，和为180°，结合二者的比例关系，按比例分配求出∠BOE的度数；再根据平角180°和∠DOE为90°的条件，通过角的和差关系计算出∠AOD的度数。
【解析】
(1) 因为OD平分∠AOC，∠AOC=130°，
所以$∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×130°=65°$。
因为$∠ DOE=90°$，且$∠ DOC+∠ COE=∠ DOE$，
所以$∠ COE=90°-∠ DOC=90°-65°=25°$。
因为O在直线AB上，$∠ AOB=180°$，即$∠ BOE+∠ AOC+∠ COE=180°$，
所以$∠ BOE=180°-130°-25°=25°$。
(2) 因为$∠ BOE:∠ AOE=2:7$，且$∠ BOE+∠ AOE=∠ AOB=180°$，
所以$∠ BOE=\frac{2}{2+7}×180°=\frac{2}{9}×180°=40°$。
因为$∠ AOD+∠ DOE+∠ BOE=180°$，$∠ DOE=90°$，
所以$∠ AOD=180°-∠ DOE-∠ BOE=180°-90°-40°=50°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{25°}$；(2) $\boldsymbol{50°}$
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角度和差计算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，解题核心是结合图形梳理清楚各个角之间的和差关系，熟练运用角平分线、平角、直角的性质，掌握按比例分配求角度的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 解题思路：首先利用角平分线的定义，结合已知的∠AOC度数，先求出∠DOC的度数；再根据∠DOE是直角的条件，通过角的和差关系算出∠COE的度数；最后依据直线AB对应的平角为180°，用平角度数减去∠AOC与∠COE的度数，即可得到∠BOE的度数。
(2) 解题思路：首先∠AOE与∠BOE组成平角，和为180°，结合二者的比例关系，按比例分配求出∠BOE的度数；再根据平角180°和∠DOE为90°的条件，通过角的和差关系计算出∠AOD的度数。
【解析】
(1) 因为OD平分∠AOC，∠AOC=130°，
所以$∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×130°=65°$。
因为$∠ DOE=90°$，且$∠ DOC+∠ COE=∠ DOE$，
所以$∠ COE=90°-∠ DOC=90°-65°=25°$。
因为O在直线AB上，$∠ AOB=180°$，即$∠ BOE+∠ AOC+∠ COE=180°$，
所以$∠ BOE=180°-130°-25°=25°$。
(2) 因为$∠ BOE:∠ AOE=2:7$，且$∠ BOE+∠ AOE=∠ AOB=180°$，
所以$∠ BOE=\frac{2}{2+7}×180°=\frac{2}{9}×180°=40°$。
因为$∠ AOD+∠ DOE+∠ BOE=180°$，$∠ DOE=90°$，
所以$∠ AOD=180°-∠ DOE-∠ BOE=180°-90°-40°=50°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{25°}$；(2) $\boldsymbol{50°}$
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角度和差计算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，解题核心是结合图形梳理清楚各个角之间的和差关系，熟练运用角平分线、平角、直角的性质，掌握按比例分配求角度的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
