15. (15分)“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目,服务于国家“双碳”战略,具有显著的环境效益和经济效益.如图60-G-9①所示,风电机的塔架OP垂直于海平面,叶片OA,OB,OC可绕着轴心O旋转,且∠AOB=∠BOC=∠AOC.
(1)如图②,当$OA⊥OP$时,求$∠BOP$的度数;
(2)叶片从图③位置(OA与OP重合)开始绕点O顺时针旋转,若旋转后$∠AOP$与$∠BOP$互补,则旋转的最小角度是多少度?

图60-G-9

15. 解:(1)因为∠AOB=∠BOC=∠AOC,∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°,
所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°.
因为OA⊥OP,所以∠AOP=90°.
所以∠COP=∠AOC−∠AOP=120°−90°=30°.
所以∠BOP=∠BOC+∠COP=120°+30°=150°.
(2)设旋转的最小角度是x°,
则∠AOP=x°,∠BOP=(x+120)°.
因为∠AOP与∠BOP互补,
所以∠AOP+∠BOP=180°,
即x+x+120=180,
解得x=30.所以旋转的最小角度是30°.

【分析】
(1) 首先根据三个叶片夹角相等且和为周角360°，先求出每两个叶片的夹角为120°；再结合OA垂直OP的条件得到∠AOP=90°，先计算出∠COP的度数，再通过角度和的关系求出∠BOP即可。
(2) 要求最小旋转角度，可设旋转角度为x°，用含x的代数式分别表示∠AOP和∠BOP，再根据互补的两个角和为180°列方程求解，得到的最小正解就是所求的最小旋转角度。
【解析】
(1) 因为∠AOB=∠BOC=∠AOC，且∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，
所以$∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC=360°÷3=120°$。
因为$OA⊥ OP$，所以$∠ AOP=90°$，
则$∠ COP=∠ AOC-∠ AOP=120°-90°=30°$，
因此$∠ BOP=∠ BOC+∠ COP=120°+30°=150°$。
(2) 设旋转的最小角度是$x°$，
则旋转后$∠ AOP=x°$，$∠ BOP=(x+120)°$，
因为∠AOP与∠BOP互补，即两角之和为180°，
所以列方程得：$x+(x+120)=180$，
解得$x=30$，即旋转的最小角度是30°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{150°}$；(2) $\boldsymbol{30°}$
【知识点】
周角的性质；垂直的定义；补角的性质
【点评】
本题结合海上风电的实际场景考查角度计算，既检验了学生对周角、垂直、补角等基础概念的掌握情况，也锻炼了学生结合图形分析角度和差关系、运用方程思想解决几何问题的能力，贴近生活，综合性适中。
【难度系数】
0.7