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10. [2026 马鞍山期末] $(-\dfrac{b^2}{a})^{2n}$（$n$为正整数）的值是（
A.$\dfrac{b^{2+2n}}{a^{2n}}$
B.$\dfrac{b^{4n}}{a^{2n}}$
C.$-\dfrac{b^{2n+1}}{a^{2n}}$
D.$-\dfrac{b^{4n}}{a^{2n}}$
B
）A.$\dfrac{b^{2+2n}}{a^{2n}}$
B.$\dfrac{b^{4n}}{a^{2n}}$
C.$-\dfrac{b^{2n+1}}{a^{2n}}$
D.$-\dfrac{b^{4n}}{a^{2n}}$
答案
B
解析
【分析】
解题时第一步先判断运算结果的符号：已知n是正整数，因此指数2n是偶数，负数的偶次幂为正数，可先排除带负号的C、D选项；第二步运用分式乘方法则，将分子、分母分别乘方；第三步运用幂的乘方法则计算分子的指数，最终匹配正确选项即可。
【解析】
解：
∵n为正整数，
∴2n是偶数，
∴$(-\dfrac{b^2}{a})^{2n}=(\dfrac{b^2}{a})^{2n}$
根据分式乘方法则：分式的乘方等于把分子、分母分别乘方，可得：
$(\dfrac{b^2}{a})^{2n}=\dfrac{(b^2)^{2n}}{a^{2n}}$
再根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，得$(b^2)^{2n}=b^{2×2n}=b^{4n}$
∴原式=$\dfrac{b^{4n}}{a^{2n}}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式乘方运算，幂的乘方运算，乘方符号法则
【点评】
本题是分式乘方的基础运算题，解题的关键是先判断结果的符号，再按运算法则分别计算分子、分母的乘方，注意不要混淆幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则。
【难度系数】
0.8
解题时第一步先判断运算结果的符号：已知n是正整数，因此指数2n是偶数，负数的偶次幂为正数，可先排除带负号的C、D选项；第二步运用分式乘方法则，将分子、分母分别乘方；第三步运用幂的乘方法则计算分子的指数，最终匹配正确选项即可。
【解析】
解：
∵n为正整数，
∴2n是偶数，
∴$(-\dfrac{b^2}{a})^{2n}=(\dfrac{b^2}{a})^{2n}$
根据分式乘方法则：分式的乘方等于把分子、分母分别乘方，可得：
$(\dfrac{b^2}{a})^{2n}=\dfrac{(b^2)^{2n}}{a^{2n}}$
再根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，得$(b^2)^{2n}=b^{2×2n}=b^{4n}$
∴原式=$\dfrac{b^{4n}}{a^{2n}}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式乘方运算，幂的乘方运算，乘方符号法则
【点评】
本题是分式乘方的基础运算题，解题的关键是先判断结果的符号，再按运算法则分别计算分子、分母的乘方，注意不要混淆幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则。
【难度系数】
0.8
11.下列各式计算正确的是（
A.$m ÷ n · \frac{1}{n} = m$
B.$m · n ÷ m · n = 1$
C.$\frac{1}{m} ÷ m · m ÷ \frac{1}{m} = 1$
D.$m^3 ÷ \frac{1}{m} ÷ m^2 = 1$
C
）A.$m ÷ n · \frac{1}{n} = m$
B.$m · n ÷ m · n = 1$
C.$\frac{1}{m} ÷ m · m ÷ \frac{1}{m} = 1$
D.$m^3 ÷ \frac{1}{m} ÷ m^2 = 1$
答案
C
解析
【分析】
要判断分式乘除混合运算的计算是否正确，首先明确两条核心规则：一是乘除属于同级运算，必须严格按照从左到右的顺序计算，不能随意调换运算顺序；二是除法运算要先转化为乘法，即乘以除数的倒数，再按分式乘法的规则计算。我们只需逐个计算四个选项的结果，和原式给出的结果对比即可判断对错。
【解析】
根据分式乘除混合运算的规则，逐一计算各选项：
选项A：$m÷ n·\frac{1}{n}=m·\frac{1}{n}·\frac{1}{n}=\frac{m}{n^2}≠ m$，计算错误；
选项B：$m· n÷ m· n=mn·\frac{1}{m}· n=n^2≠1$，计算错误；
选项C：$\frac{1}{m}÷ m· m÷\frac{1}{m}=\frac{1}{m}·\frac{1}{m}· m· m=\frac{1}{m^2}× m^2=1$，计算正确；
选项D：$m^3÷\frac{1}{m}÷ m^2=m^3· m·\frac{1}{m^2}=m^4·\frac{1}{m^2}=m^2≠1$，计算错误。
【答案】
C
【知识点】
分式乘除混合运算；同级运算顺序
【点评】
本题主要考查分式乘除混合运算的掌握，易错点是忽略运算顺序，随意调换计算步骤导致结果错误，牢记同级运算从左到右、除法转乘法的规则即可正确解题。
【难度系数】
0.6
要判断分式乘除混合运算的计算是否正确，首先明确两条核心规则：一是乘除属于同级运算，必须严格按照从左到右的顺序计算，不能随意调换运算顺序；二是除法运算要先转化为乘法，即乘以除数的倒数，再按分式乘法的规则计算。我们只需逐个计算四个选项的结果，和原式给出的结果对比即可判断对错。
【解析】
根据分式乘除混合运算的规则，逐一计算各选项：
选项A：$m÷ n·\frac{1}{n}=m·\frac{1}{n}·\frac{1}{n}=\frac{m}{n^2}≠ m$，计算错误；
选项B：$m· n÷ m· n=mn·\frac{1}{m}· n=n^2≠1$，计算错误；
选项C：$\frac{1}{m}÷ m· m÷\frac{1}{m}=\frac{1}{m}·\frac{1}{m}· m· m=\frac{1}{m^2}× m^2=1$，计算正确；
选项D：$m^3÷\frac{1}{m}÷ m^2=m^3· m·\frac{1}{m^2}=m^4·\frac{1}{m^2}=m^2≠1$，计算错误。
【答案】
C
【知识点】
分式乘除混合运算；同级运算顺序
【点评】
本题主要考查分式乘除混合运算的掌握，易错点是忽略运算顺序，随意调换计算步骤导致结果错误，牢记同级运算从左到右、除法转乘法的规则即可正确解题。
【难度系数】
0.6
12.计算：$\dfrac{m - m^2}{m^2 - 1} ÷ \dfrac{m}{m - 1} · (-\dfrac{m + 1}{m - 1})^2 =$
$-\dfrac{m+1}{m-1}$
.答案
$-\dfrac{m+1}{m-1}$
解析
【分析】
本题属于分式的乘方及乘除混合运算，解题思路如下：1. 遵循运算顺序，先计算乘方运算，处理$(-\dfrac{m+1}{m-1})^2$；2. 将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；3. 对各个分式的分子、分母进行因式分解，方便后续约分；4. 按从左到右的顺序约分计算，注意符号的处理，最终化简得到结果。
【解析】
解：第一步，先计算乘方运算：
$(-\dfrac{m+1}{m-1})^2 = \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2}$
第二步，对第一个分式的分子、分母因式分解：
分子$m - m^2 = -m(m - 1)$，分母$m^2 - 1 = (m+1)(m-1)$（平方差公式）
第三步，将除法转化为乘法：
$\dfrac{m - m^2}{m^2 - 1} ÷ \dfrac{m}{m - 1} = \dfrac{-m(m - 1)}{(m+1)(m-1)} × \dfrac{m - 1}{m}$
第四步，统一为乘法运算后约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{-m(m - 1)}{(m+1)(m-1)} × \dfrac{m - 1}{m} × \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2}\\&=\dfrac{-\cancel{m}\cancel{(m - 1)}}{\cancel{(m+1)}\cancel{(m-1)}} × \dfrac{\cancel{m - 1}}{\cancel{m}} × \dfrac{(m+1)^{\cancel{2}}}{(m-1)^{\cancel{2}}}\\&=-\dfrac{m+1}{m-1}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{m+1}{m-1}$
【知识点】
分式乘除运算、分式乘方运算、因式分解
【点评】
本题是分式混合运算的基础题型，解题核心是严格遵循运算顺序，先乘方再乘除，运算前先对多项式因式分解能大幅简化约分过程，计算时要特别注意符号的处理，避免因符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.7
本题属于分式的乘方及乘除混合运算，解题思路如下：1. 遵循运算顺序，先计算乘方运算，处理$(-\dfrac{m+1}{m-1})^2$；2. 将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；3. 对各个分式的分子、分母进行因式分解，方便后续约分；4. 按从左到右的顺序约分计算，注意符号的处理，最终化简得到结果。
【解析】
解：第一步，先计算乘方运算：
$(-\dfrac{m+1}{m-1})^2 = \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2}$
第二步，对第一个分式的分子、分母因式分解：
分子$m - m^2 = -m(m - 1)$，分母$m^2 - 1 = (m+1)(m-1)$（平方差公式）
第三步，将除法转化为乘法：
$\dfrac{m - m^2}{m^2 - 1} ÷ \dfrac{m}{m - 1} = \dfrac{-m(m - 1)}{(m+1)(m-1)} × \dfrac{m - 1}{m}$
第四步，统一为乘法运算后约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{-m(m - 1)}{(m+1)(m-1)} × \dfrac{m - 1}{m} × \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2}\\&=\dfrac{-\cancel{m}\cancel{(m - 1)}}{\cancel{(m+1)}\cancel{(m-1)}} × \dfrac{\cancel{m - 1}}{\cancel{m}} × \dfrac{(m+1)^{\cancel{2}}}{(m-1)^{\cancel{2}}}\\&=-\dfrac{m+1}{m-1}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{m+1}{m-1}$
【知识点】
分式乘除运算、分式乘方运算、因式分解
【点评】
本题是分式混合运算的基础题型，解题核心是严格遵循运算顺序，先乘方再乘除，运算前先对多项式因式分解能大幅简化约分过程，计算时要特别注意符号的处理，避免因符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.7
13.计算：
(1)$(\dfrac{a - b}{ab})^2 · (\dfrac{-a}{b - a})^3 · (a^2 - b^2)$；
(2)
(1)$(\dfrac{a - b}{ab})^2 · (\dfrac{-a}{b - a})^3 · (a^2 - b^2)$；
(2)
答案
解：(1)$\dfrac{a^2+ab}{b^2}$.(2)$\dfrac{8b^2(a+b)^3(a-b)}{3a}$.
解析
【分析】
这两道题属于分式的乘方、乘除混合运算类题目，解题思路如下：①优先计算乘方，依据分式乘方法则，将分子、分母分别乘方；②把除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；③对式子中的多项式进行因式分解或变形，比如$a^2-b^2$用平方差公式分解为$(a+b)(a-b)$，$b-a$变形为$-(a-b)$，方便后续约分；④最后约去分子分母的公因式得到最简结果，过程中要重点注意符号的处理，避免符号出错。
【解析】
(1) 计算$(\dfrac{a - b}{ab})^2 · (\dfrac{-a}{b - a})^3 · (a^2 - b^2)$：
第一步，先计算乘方：
原式$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{(-a)^3}{(b-a)^3} · (a+b)(a-b)$
第二步，变形处理符号和因式：
$\because (b-a)^3=-(a-b)^3$，$(-a)^3=-a^3$，代入得：
原式$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{-a^3}{-(a-b)^3} · (a+b)(a-b)$
第三步，约分化简：
符号负负得正，约去公因式$(a-b)^2$、$(a-b)$和$a^2$，得：
原式$=\dfrac{a(a+b)}{b^2}=\dfrac{a^2+ab}{b^2}$
(2) 计算$-\dfrac{a^7b^2}{3(a+b)} · \dfrac{(a^2-b^2)^4}{a^2} ÷ [\dfrac{a^2(b-a)}{2}]^3$：
第一步，先计算乘方：
原式$=-\dfrac{a^7b^2}{3(a+b)} · \dfrac{(a^2-b^2)^4}{a^2} ÷ \dfrac{a^6(b-a)^3}{8}$
第二步，将除法转化为乘法，同时因式分解多项式：
$\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，$(b-a)^3=-(a-b)^3$，代入得：
原式$=-\dfrac{a^7b^2}{3(a+b)} · \dfrac{(a+b)^4(a-b)^4}{a^2} · \dfrac{8}{-a^6(a-b)^3}$
第三步，约分化简：
符号负负得正，系数计算得$\dfrac{8}{3}$，$a$的幂次约分得$\dfrac{1}{a}$，$b$的幂次剩余$b^2$，$(a+b)$的幂次约分得$(a+b)^3$，$(a-b)$的幂次约分得$(a-b)$，合并得：
原式$=\dfrac{8b^2(a+b)^3(a-b)}{3a}$
【答案】
(1)$\dfrac{a^2+ab}{b^2}$；(2)$\dfrac{8b^2(a+b)^3(a-b)}{3a}$
【知识点】
分式乘除混合运算，分式的乘方，因式分解
【点评】
本题重点考查分式的混合运算能力，运算时要严格遵循“先乘方、再乘除”的顺序，熟练掌握平方差公式的应用、$a-b$与$b-a$的符号变形是解题的关键，约分时要注意同时处理系数和字母，避免出现漏约、错约的问题。
【难度系数】
0.6
这两道题属于分式的乘方、乘除混合运算类题目，解题思路如下：①优先计算乘方，依据分式乘方法则，将分子、分母分别乘方；②把除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；③对式子中的多项式进行因式分解或变形，比如$a^2-b^2$用平方差公式分解为$(a+b)(a-b)$，$b-a$变形为$-(a-b)$，方便后续约分；④最后约去分子分母的公因式得到最简结果，过程中要重点注意符号的处理，避免符号出错。
【解析】
(1) 计算$(\dfrac{a - b}{ab})^2 · (\dfrac{-a}{b - a})^3 · (a^2 - b^2)$：
第一步，先计算乘方：
原式$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{(-a)^3}{(b-a)^3} · (a+b)(a-b)$
第二步，变形处理符号和因式：
$\because (b-a)^3=-(a-b)^3$，$(-a)^3=-a^3$，代入得：
原式$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{-a^3}{-(a-b)^3} · (a+b)(a-b)$
第三步，约分化简：
符号负负得正，约去公因式$(a-b)^2$、$(a-b)$和$a^2$，得：
原式$=\dfrac{a(a+b)}{b^2}=\dfrac{a^2+ab}{b^2}$
(2) 计算$-\dfrac{a^7b^2}{3(a+b)} · \dfrac{(a^2-b^2)^4}{a^2} ÷ [\dfrac{a^2(b-a)}{2}]^3$：
第一步，先计算乘方：
原式$=-\dfrac{a^7b^2}{3(a+b)} · \dfrac{(a^2-b^2)^4}{a^2} ÷ \dfrac{a^6(b-a)^3}{8}$
第二步，将除法转化为乘法，同时因式分解多项式：
$\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，$(b-a)^3=-(a-b)^3$，代入得：
原式$=-\dfrac{a^7b^2}{3(a+b)} · \dfrac{(a+b)^4(a-b)^4}{a^2} · \dfrac{8}{-a^6(a-b)^3}$
第三步，约分化简：
符号负负得正，系数计算得$\dfrac{8}{3}$，$a$的幂次约分得$\dfrac{1}{a}$，$b$的幂次剩余$b^2$，$(a+b)$的幂次约分得$(a+b)^3$，$(a-b)$的幂次约分得$(a-b)$，合并得：
原式$=\dfrac{8b^2(a+b)^3(a-b)}{3a}$
【答案】
(1)$\dfrac{a^2+ab}{b^2}$；(2)$\dfrac{8b^2(a+b)^3(a-b)}{3a}$
【知识点】
分式乘除混合运算，分式的乘方，因式分解
【点评】
本题重点考查分式的混合运算能力，运算时要严格遵循“先乘方、再乘除”的顺序，熟练掌握平方差公式的应用、$a-b$与$b-a$的符号变形是解题的关键，约分时要注意同时处理系数和字母，避免出现漏约、错约的问题。
【难度系数】
0.6
14. 中考趋势·开放性问题 先化简，再选一个使原式有意义，而你又喜爱的数代入求值：
答案
解：$\dfrac{x^2+2x-8}{x^3+2x^2+x} ÷ (\dfrac{x-2}{x} · \dfrac{x+4}{x+1}) =\dfrac{1}{x+1}$.由题意可得 $x≠0,x≠-1,x≠2,x≠-4$,选择 $x=9$,则原式$=\dfrac{1}{10}$.（代入数值不唯一）
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路如下：1. 分式混合运算有括号先计算括号内的乘法运算；2. 将被除式的分子、分母分别因式分解，方便后续约分；3. 将除法运算转化为乘法运算，即乘以除式的倒数；4. 约分化简得到最简结果；5. 先确定使原式有意义的x的取值范围（所有分母不为0、除式不为0），再选取符合条件的x代入最简式求值即可。
【解析】
第一步：计算括号内的乘法：
$\dfrac{x-2}{x} · \dfrac{x+4}{x+1} = \dfrac{(x-2)(x+4)}{x(x+1)}$
第二步：对被除式的分子、分母因式分解：
分子$x^2+2x-8$用十字相乘法分解：$x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$
分母$x^3+2x^2+x$先提取公因式，再用完全平方公式分解：$x^3+2x^2+x=x(x^2+2x+1)=x(x+1)^2$
第三步：将除法转化为乘法，再约分：
$\dfrac{x^2+2x-8}{x^3+2x^2+x} ÷ (\dfrac{x-2}{x} · \dfrac{x+4}{x+1}) = \dfrac{(x+4)(x-2)}{x(x+1)^2} × \dfrac{x(x+1)}{(x-2)(x+4)}$
约去分子分母的公因式$x$、$(x+4)$、$(x-2)$、$(x+1)$，得最简结果：$\dfrac{1}{x+1}$
第四步：确定x的取值范围：要使原式有意义，需所有分母不为0、除式不为0，即$x≠0$，$x+1≠0$，$x-2≠0$，$x+4≠0$，也就是$x≠0,x≠-1,x≠2,x≠-4$。
选取$x=9$代入最简式，得：原式$=\dfrac{1}{9+1}=\dfrac{1}{10}$（代入数值不唯一，只要x符合取值要求即可）
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{x+1}$，如选$x=9$代入，值为$\dfrac{1}{10}$（代入数值不唯一）
【知识点】
分式乘除混合运算；因式分解；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考查因式分解的熟练度和分式运算的规则，解题时需注意运算顺序，化简后代入求值前必须先排除使原式无意义的x的取值，避免出错。
【难度系数】
0.7
本题是分式的化简求值题，解题思路如下：1. 分式混合运算有括号先计算括号内的乘法运算；2. 将被除式的分子、分母分别因式分解，方便后续约分；3. 将除法运算转化为乘法运算，即乘以除式的倒数；4. 约分化简得到最简结果；5. 先确定使原式有意义的x的取值范围（所有分母不为0、除式不为0），再选取符合条件的x代入最简式求值即可。
【解析】
第一步：计算括号内的乘法：
$\dfrac{x-2}{x} · \dfrac{x+4}{x+1} = \dfrac{(x-2)(x+4)}{x(x+1)}$
第二步：对被除式的分子、分母因式分解：
分子$x^2+2x-8$用十字相乘法分解：$x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$
分母$x^3+2x^2+x$先提取公因式，再用完全平方公式分解：$x^3+2x^2+x=x(x^2+2x+1)=x(x+1)^2$
第三步：将除法转化为乘法，再约分：
$\dfrac{x^2+2x-8}{x^3+2x^2+x} ÷ (\dfrac{x-2}{x} · \dfrac{x+4}{x+1}) = \dfrac{(x+4)(x-2)}{x(x+1)^2} × \dfrac{x(x+1)}{(x-2)(x+4)}$
约去分子分母的公因式$x$、$(x+4)$、$(x-2)$、$(x+1)$，得最简结果：$\dfrac{1}{x+1}$
第四步：确定x的取值范围：要使原式有意义，需所有分母不为0、除式不为0，即$x≠0$，$x+1≠0$，$x-2≠0$，$x+4≠0$，也就是$x≠0,x≠-1,x≠2,x≠-4$。
选取$x=9$代入最简式，得：原式$=\dfrac{1}{9+1}=\dfrac{1}{10}$（代入数值不唯一，只要x符合取值要求即可）
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{x+1}$，如选$x=9$代入，值为$\dfrac{1}{10}$（代入数值不唯一）
【知识点】
分式乘除混合运算；因式分解；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考查因式分解的熟练度和分式运算的规则，解题时需注意运算顺序，化简后代入求值前必须先排除使原式无意义的x的取值，避免出错。
【难度系数】
0.7
15. [2026 芜湖期末]已知$x+2y=4,x-2y=-1$,先化简再求值:$\dfrac{x^2 -4y^2}{x^2 +2xy + y^2} ÷ ( \dfrac{x+2y}{x+y} )^2$.
答案
解：$-\dfrac{1}{4}$.
解析
【分析】
遇到分式化简求值题，遵循“先化简，后求值”的原则，避免直接代入计算增加运算量。首先处理分式的乘方运算，再将除法转化为乘法，接着对分子分母中可因式分解的多项式因式分解，通过约分化简到最简形式，最后代入已知的$x+2y$和$x-2y$的值计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&\dfrac{x^2 -4y^2}{x^2 +2xy + y^2} ÷ ( \dfrac{x+2y}{x+y} )^2\\=&\dfrac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} ÷ \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)^2}\\=&\dfrac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} × \dfrac{(x+y)^2}{(x+2y)^2}\\=&\dfrac{x-2y}{x+2y}\end{aligned}$
将$x+2y=4$，$x-2y=-1$代入化简后的式子：
原式$=\dfrac{-1}{4}=-\dfrac{1}{4}$
【答案】
$-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握分式乘方、乘除的运算法则，通过因式分解进行约分可大幅简化计算过程，注意运算顺序为先算乘方，再算乘除。
【难度系数】
0.7
遇到分式化简求值题，遵循“先化简，后求值”的原则，避免直接代入计算增加运算量。首先处理分式的乘方运算，再将除法转化为乘法，接着对分子分母中可因式分解的多项式因式分解，通过约分化简到最简形式，最后代入已知的$x+2y$和$x-2y$的值计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&\dfrac{x^2 -4y^2}{x^2 +2xy + y^2} ÷ ( \dfrac{x+2y}{x+y} )^2\\=&\dfrac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} ÷ \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)^2}\\=&\dfrac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} × \dfrac{(x+y)^2}{(x+2y)^2}\\=&\dfrac{x-2y}{x+2y}\end{aligned}$
将$x+2y=4$，$x-2y=-1$代入化简后的式子：
原式$=\dfrac{-1}{4}=-\dfrac{1}{4}$
【答案】
$-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握分式乘方、乘除的运算法则，通过因式分解进行约分可大幅简化计算过程，注意运算顺序为先算乘方，再算乘除。
【难度系数】
0.7
16.运算能力 如图,将4张完全相同的长、宽分别为a,b的长方形硬纸片拼成一个中间带小正方形孔的大正方形,已知拼成的大正方形的面积为49,中间的小正方形的面积为1.求$(a^4 - b^4) ÷ \frac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)$的值.
答案
解：原式$=14$.
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，结合图形分析面积与边长的关系：大正方形边长为a+b，由其面积为49可得a+b的值；中间小正方形边长为a-b，由其面积为1可得a-b的值。第二步，化简所求的分式混合运算式：先将除法转化为乘法，对分子a⁴-b⁴因式分解，再通过约分化为最简形式。第三步，利用完全平方公式求出ab的值，将a+b、ab代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意和图形可得：
大正方形边长为$a+b$，则$(a+b)^2=49$，因为边长为正数，所以$a+b=7$；
中间小正方形边长为$a-b$（$a＞b＞0$），则$(a-b)^2=1$，所以$a-b=1$。
根据完全平方公式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=49$ ①
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=1$ ②
①-②得：$4ab=48$，解得$ab=12$。
接下来化简所求代数式：
$\begin{aligned}&(a^4 - b^4) ÷ \frac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)\\=&(a^4 - b^4) × \frac{ab}{a^2 + b^2} × \frac{1}{6(a - b)}\\=&(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) × \frac{ab}{a^2 + b^2} × \frac{1}{6(a - b)}\\=&(a - b)(a + b) × \frac{ab}{6(a - b)}\\=&\frac{ab(a + b)}{6}\end{aligned}$
将$a+b=7$，$ab=12$代入上式得：
原式$=\frac{12×7}{6}=14$
【答案】
$\boxed{14}$
【知识点】
分式乘除混合运算，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题将几何图形面积和代数运算结合，既考查了从图形中提取数量关系的能力，又考查了分式化简、乘法公式的运用，通过约分化简代数式能有效减少计算量，是整式和分式运算的典型综合题。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步，结合图形分析面积与边长的关系：大正方形边长为a+b，由其面积为49可得a+b的值；中间小正方形边长为a-b，由其面积为1可得a-b的值。第二步，化简所求的分式混合运算式：先将除法转化为乘法，对分子a⁴-b⁴因式分解，再通过约分化为最简形式。第三步，利用完全平方公式求出ab的值，将a+b、ab代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意和图形可得：
大正方形边长为$a+b$，则$(a+b)^2=49$，因为边长为正数，所以$a+b=7$；
中间小正方形边长为$a-b$（$a＞b＞0$），则$(a-b)^2=1$，所以$a-b=1$。
根据完全平方公式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=49$ ①
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=1$ ②
①-②得：$4ab=48$，解得$ab=12$。
接下来化简所求代数式：
$\begin{aligned}&(a^4 - b^4) ÷ \frac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)\\=&(a^4 - b^4) × \frac{ab}{a^2 + b^2} × \frac{1}{6(a - b)}\\=&(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) × \frac{ab}{a^2 + b^2} × \frac{1}{6(a - b)}\\=&(a - b)(a + b) × \frac{ab}{6(a - b)}\\=&\frac{ab(a + b)}{6}\end{aligned}$
将$a+b=7$，$ab=12$代入上式得：
原式$=\frac{12×7}{6}=14$
【答案】
$\boxed{14}$
【知识点】
分式乘除混合运算，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题将几何图形面积和代数运算结合，既考查了从图形中提取数量关系的能力，又考查了分式化简、乘法公式的运用，通过约分化简代数式能有效减少计算量，是整式和分式运算的典型综合题。
【难度系数】
0.7
