1.二次函数$y=a(x-h)^2$的图象是，它与抛物线$y=ax^2$的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同，它的对称轴为直线，顶点坐标为.
2.二次函数$y=a(x-h)^2$的性质：
(1)若$a＞0$，则当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而；当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而；当$x=h$时，$y$取最值.
(2)若$a＜0$，则当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而；当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而；当$x=h$时，$y$取最值.
3.抛物线$y=a(x-h)^2$可由抛物线$y=ax^2$沿$x$轴方向平移个单位长度得到，当$h＞0$时，向平移；当$h＜0$时，向平移.

1.抛物线；$x=h$；$(h,0)$
2.(1)增大；减小；小；0
(2)减小；增大；大；0
3.$|h|$；右；左

【分析】
这道题围绕二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基础知识点设置，解题时可结合已学的$y=ax^2$的性质，通过平移规律推导$y=a(x-h)^2$的对应特征：首先明确所有二次函数图象都是抛物线，形状由$a$决定，平移仅改变位置；对称轴、顶点坐标可直接从顶点式的结构得到；增减性结合开口方向（$a$的正负）和对称轴判断，最值就是顶点的纵坐标；平移规律遵循x轴方向“左加右减”的规则，对应平移的距离和方向。
【解析】
1. 二次函数的图象都是抛物线；对于顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，将$x=h$代入函数得$y=0$，因此顶点坐标为$(h,0)$。
2. 结合开口方向和对称轴分析增减性与最值：
(1) 若$a＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$x=h$，因此$x＞h$（对称轴右侧）时$y$随$x$的增大而增大，$x＜h$（对称轴左侧）时$y$随$x$的增大而减小；顶点为图象最低点，因此$x=h$时$y$取最小值0。
(2) 若$a＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=h$，因此$x＞h$（对称轴右侧）时$y$随$x$的增大而减小，$x＜h$（对称轴左侧）时$y$随$x$的增大而增大；顶点为图象最高点，因此$x=h$时$y$取最大值0。
3. 抛物线平移只改变顶点位置，$y=ax^2$顶点为$(0,0)$，$y=a(x-h)^2$顶点为$(h,0)$，因此沿x轴平移$|h|$个单位；根据“左加右减”的平移规律，$h＞0$时顶点右移，即抛物线向右平移；$h＜0$时顶点左移，即抛物线向左平移。
【答案】
1.抛物线；$x=h$；$(h,0)$
2.(1)增大；减小；小；0
(2)减小；增大；大；0
3.$|h|$；右；左
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数图象平移规律
【点评】
本题是基础概念题，全面覆盖了二次函数$y=a(x-h)^2$的图象、性质和平移规律，这些内容是学习更复杂二次函数的核心基础，需要熟练掌握，尤其要注意区分$h$的正负和平移方向的对应关系，以及开口方向对增减性、最值的影响。
【难度系数】
0.9

知识点1 二次函数$y=a(x-h)^2$的图象和性质
1.(新知回顾)填表.
二次函数$y=3(x+4)^2$的图象
| 开口方向 | |
| 对称轴 | 直线 |
| 顶点坐标 | |
| 增减性 | 当$x$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x$时，$y$随$x$的增大而增大 |
| 最值 | 当$x=$时，$y$取最值，是 |

2. [2026北京期中]二次函数$y=\frac{1}{3}(x-2)^2$的大致图象是（）

1.向上；$x=-4$；$(-4,0)$；$＜-4$；$＞-4$；$-4$；小；0
2.D

【分析】
解决这类二次函数顶点式的问题，首先要牢记$y=a(x-h)^2$的性质规律：1. 参数$a$决定开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；2. 对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$；3. 开口向上时，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大，顶点处取最小值；开口向下时增减性相反，顶点处取最大值。
第1题先将所给函数化为标准顶点式形式，确定$a$和$h$的取值，对应性质填空即可；第2题先通过$a$的正负判断开口方向，再通过$h$确定对称轴和顶点位置，匹配对应图象即可。
【解析】
1. 二次函数$y=3(x+4)^2$可变形为$y=3[x-(-4)]^2$：
$a=3＞0$，因此开口方向向上；
对称轴为直线$x=-4$，顶点坐标为$(-4,0)$；
因开口向上，故当$x＜-4$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞-4$时，$y$随$x$的增大而增大；
顶点处取最小值，即当$x=-4$时，$y$取最小值，为$0$。
2. 二次函数$y=\frac{1}{3}(x-2)^2$中：
$a=\frac{1}{3}＞0$，因此图象开口向上，先排除开口向下的选项；
$h=2$，因此对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$，即顶点位于$x$轴正半轴，符合特征的只有选项D。
【答案】
1.向上；$x=-4$；$(-4,0)$；$＜-4$；$＞-4$；$-4$；小；0
2.D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象识别
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基础性质，属于常规基础题，熟练掌握顶点式中参数$a$、$h$对应的图象特征是解题的关键，也是后续学习更复杂二次函数的核心基础。
【难度系数】
0.8

3. [2026苏州期末]对于二次函数$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$的图象，下列说法错误的是（）

A.开口向下
B.对称轴是直线$x=-1$
C.当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小
D.顶点坐标是$(0,-1)$

3.D

【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，解题时先将给定函数整理为标准顶点式，明确参数$a$、$h$的取值，再依次结合开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标的相关性质判断每个选项的正误，最终选出错误选项即可。
【解析】
将二次函数$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$化为标准顶点式$y=a(x-h)^2$的形式，可得$y=-\dfrac{1}{2}[x-(-1)]^2$，其中$a=-\dfrac{1}{2}$，$h=-1$。
选项A：$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，A说法正确，不符合题意；
选项B：二次函数$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，因此本题对称轴是直线$x=-1$，B说法正确，不符合题意；
选项C：抛物线开口向下，在对称轴右侧（即$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而减小，C说法正确，不符合题意；
选项D：二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，因此本题顶点坐标是$(-1,0)$，不是$(0,-1)$，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二次函数顶点式中各参数意义的掌握，熟练记忆顶点式对应的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4. [2026六安期末]已知抛物线$y=a(x+3)^2$（$a＜0$）经过点（$-5,y_1$），（$1,y_2$），则$y_1$$y_2$（填“＞”“=”或“＜”）。

4.＞

【分析】
解决本题的思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基本性质，明确其对称轴、开口方向对函数值的影响；接着确定本题抛物线的对称轴和开口方向；再分别计算两个点到对称轴的水平距离；最后根据开口向下时“离对称轴越近，函数值越大”的规律，比较两个$y$值的大小。
【解析】
1. 确定抛物线的对称轴：抛物线$y=a(x+3)^2$可变形为$y=a(x-(-3))^2$，因此其对称轴为直线$x=-3$。
2. 判断开口方向：已知$a＜0$，所以该抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大。
3. 计算两点到对称轴的距离：
点$(-5,y_1)$到直线$x=-3$的距离为$\vert -5 - (-3) \vert=2$；
点$(1,y_2)$到直线$x=-3$的距离为$\vert 1 - (-3) \vert=4$。
4. 比较函数值大小：因为$2＜4$，即点$(-5,y_1)$离对称轴更近，所以$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数值比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数顶点式的性质，熟练掌握开口方向、对称轴和函数值的对应关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5.已知二次函数$y=(x-1)^2$，函数值$y$和自变量$x$的部分对应值如下表所示：

(1)$m=$，$n=$，顶点坐标为.
(2)在图中画出二次函数的图象.

(3)当$x$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x$时，$y$随$x$的增大而增大.

5.解：(1)1；4；(1,0) (2)图略. (3)$＜1$；$＞1$

【分析】
解题思路如下：1. 对于第一问，求m、n的值只需将对应自变量x的值代入二次函数解析式计算即可；求顶点坐标可直接根据顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点为$(h,0)$得出。2. 第二问画函数图象采用描点法，先描出表格给出的对应点，再用平滑曲线顺次连接即可。3. 第三问判断增减性，先确定二次函数的开口方向和对称轴：该函数$a=1＞0$开口向上，对称轴为直线$x=1$，根据开口向上的二次函数增减性规律即可求解。
【解析】
(1) 将对应x值代入$y=(x-1)^2$计算：
对应x取值代入可得$m=(0-1)^2=1$，$n=(3-1)^2=4$；
二次函数$y=(x-1)^2$为顶点式，顶点坐标为$(1,0)$。
(2) 画图象步骤：①建立平面直角坐标系；②将表格中给出的$(x,y)$对应点在坐标系中描出；③用平滑的曲线顺次连接所有描出的点，即可得到该二次函数的图象。
(3) 二次函数$y=(x-1)^2$中$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此：
当$x＜1$时，y随x的增大而减小；当$x＞1$时，y随x的增大而增大。
【答案】
(1)1；4；$(1,0)$ (2)图略 (3)$＜1$；$＞1$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象画法；二次函数增减性
【点评】
本题考查二次函数$y=a(x-h)^2$的基础性质，题型常规，侧重对基础知识的考查，熟练掌握顶点式的相关特征及增减性规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9

6.(新知回顾)将抛物线$y=-x^2$向左平移5个单位长度得到的抛物线对应的函数解析式为；将抛物线$y=-x^2$向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数解析式为，简记为“左右”。

6.$y=-(x+5)^2$；$y=-(x-3)^2$；加；减

【分析】
解决抛物线平移问题首先要明确：抛物线平移时仅改变位置，形状、开口方向、开口大小均不变，即二次项系数$a$不变。我们可以通过顶点位置的变化推导新解析式，也可以直接用平移规律求解：左右平移是对自变量$x$进行操作，向左平移时$x$加平移的单位长度，向右平移时$x$减平移的单位长度，即“左加右减”。
【解析】
1. 原抛物线$y=-x^2$的二次项系数$a=-1$，顶点坐标为$(0,0)$。
2. 向左平移5个单位长度后，顶点横坐标变为$0-5=-5$，纵坐标不变，新顶点为$(-5,0)$，代入二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$（$(h,0)$为顶点坐标），得解析式为$y=-(x+5)^2$。
3. 向右平移3个单位长度后，顶点横坐标变为$0+3=3$，纵坐标不变，新顶点为$(3,0)$，代入顶点式得解析式为$y=-(x-3)^2$。
4. 结合上述结果可总结规律：左右平移时对$x$的操作简记为“左加右减”。
【答案】
$y=-(x+5)^2$；$y=-(x-3)^2$；加；减
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对“左加右减”平移规则的理解和应用，注意左右平移仅针对自变量$x$本身进行加减操作，不要与上下平移规则混淆，熟练掌握该规律可快速解决同类平移问题。
【难度系数】
0.9

7.抛物线 $y=\frac{1}{2}(x-4)^2$ 可以看成由抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 向平移个单位长度得到的。

7.右；4

【分析】
解题时首先观察两个二次函数的二次项系数，二者均为$\frac{1}{2}$，说明图象形状、开口方向完全一致，仅存在位置的平移关系。判断平移方向和距离可通过两种思路：①利用平移口诀“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对常数项）”，对比两个函数中x的变化即可判断；②分别求出两个抛物线的顶点坐标，顶点的平移规律就是抛物线整体的平移规律。
【解析】
当二次项系数$a$相同时，抛物线的平移仅由顶点位置变化决定，平移规律为“左加右减，上加下减”，其中“左加右减”是针对自变量$x$的变化。
1. 原抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，可写成顶点式$y=\frac{1}{2}(x-0)^2$；
2. 平移后的抛物线$y=\frac{1}{2}(x-4)^2$的顶点坐标为$(4,0)$；
3. 顶点从$(0,0)$移动到$(4,0)$，是沿x轴向右平移了4个单位长度，因此抛物线整体向右平移4个单位。
也可直接通过自变量变化判断：原函数中$x$变为$x-4$，符合“右减”的规律，即向右平移4个单位。
【答案】
右；4
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，既可以通过对比顶点坐标判断平移情况，也可以直接用平移口诀快速解题，需注意“左加右减”是针对自变量x本身的变换，不要混淆左右平移的方向。
【难度系数】
0.9