25. (本小题满分14分)
△ABC是等边三角形，点D是AC边上的动点，∠CBD=α(0°＜α＜30°)，把△ABD沿BD对折，得到△A'BD.
(1)填空：如图1，若α=15°，则∠CBA'=°.
(2)如图2，点P在BD的延长线上，且∠DAP=∠DBC=α.
①试探究AP，BP，CP之间是否存在一定的数量关系，并说明理由.
②若BP=10，CP=m. 求CA'的长(用含m的式子表示).

25. (1)30
①$BP=AP+CP$. 理由如下：如图2，连接CP，在BP上取一点$P'$，使$BP'=AP$. $\because△ ABC$是等边三角形，$\therefore∠ ACB=60°$，$BC=AC$. $\because∠1=∠2=α$，$\therefore△ BP'C≌△ APC(\mathrm{SAS})$，$\therefore CP'=CP$，$∠ BCP'=∠ ACP$，$\therefore∠ PCP'=∠ ACP+∠ ACP'=∠ BCP'+∠ ACP'=∠ ACB=60°$. $\because CP'=CP$，$\therefore△ CPP'$是等边三角形，$\therefore∠ CPB=60°$，$PP'=CP$. $\therefore BP=BP'+PP'=AP+CP$.
②如图1，由①知$∠ BPC=60°$，$\therefore∠ BCP=180°-∠ BPC-∠ PBC=180°-60°-α=120°-α$. 又$\because∠ CBA'=∠ ABD-∠ CBD=60°-α-α=60°-2α$. $\because BA=BA'$，$BA=BC$，$\therefore BA'=BC$，$\therefore∠ BCA'=\frac{1}{2}(180°-∠ CBA')=\frac{1}{2}[180°-(60°-2α)]=60°+α$. $\therefore∠ BCP+∠ BCA'=120°-α+60°+α=180°$，$\therefore$点$A'$，$C$，$P$在同一条直线上. 即$PA'=PC+CA'$. $\because BA=BA'$，$∠ ADB=∠ A'DB$，$\therefore180°-∠ ADB=180°-∠ A'DB$，$\therefore∠ ADP=∠ A'DP$. $\because DP=DP$，$\therefore△ ADP≌△ A'DP(\mathrm{SAS})$，$\therefore A'P=AP$. 由①知$BP=AP+CP$，$\because BP=10$，$CP=m$，$\therefore AP=BP-CP=10-m$，$\therefore A'P=10-m$，$\therefore CA'=A'P-CP=10-m-m=10-2m$.