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9.如图，在新修建的小区中有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB//CD。在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一座小凉亭E，M，F，且BE=CF，点M是BC的中点。在凉亭M与F之间有一个池塘，不能直接到达。要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度，这样做合适吗？请说明理由。
答案
9. 解:合适，理由如下：
因为$AB// CD$，
所以$∠ B=∠ C$。
因为点M是BC的中点，
所以$MB=MC$。
在$△ MEB$与$△ MFC$中，
$\begin{cases}BE=CF, \\∠ B=∠ C, \\MB=MC,\end{cases}$
所以$△ MEB≌△ MFC(\mathrm{SAS})$。
所以$ME=MF$，
所以要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度。
因为$AB// CD$，
所以$∠ B=∠ C$。
因为点M是BC的中点，
所以$MB=MC$。
在$△ MEB$与$△ MFC$中，
$\begin{cases}BE=CF, \\∠ B=∠ C, \\MB=MC,\end{cases}$
所以$△ MEB≌△ MFC(\mathrm{SAS})$。
所以$ME=MF$，
所以要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度。
解析
【分析】
要判断仅测量ME的长度就能得到MF的距离，本质是证明ME和MF两条线段相等。首先由AB平行CD，可得到一组内错角相等；点M是BC中点，可得到一组边相等；题目已知BE=CF，刚好满足全等三角形SAS的判定条件，可证明△MEB和△MFC全等，再根据全等三角形对应边相等即可得到ME=MF，因此该方法是合适的。
【解析】
合适，理由如下：
因为$AB// CD$，
所以$∠ B=∠ C$。
因为点M是BC的中点，
所以$MB=MC$。
在$△ MEB$与$△ MFC$中，
$\begin{cases}BE=CF, \\∠ B=∠ C, \\MB=MC,\end{cases}$
所以$△ MEB≌△ MFC(\mathrm{SAS})$。
所以$ME=MF$，
所以要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度。
【答案】
合适，测出ME的长度就等于M与F之间的距离。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等在实际测量中的应用，解题的核心是通过构造全等三角形，将无法直接测量的线段转化为方便测量的线段，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.8
要判断仅测量ME的长度就能得到MF的距离，本质是证明ME和MF两条线段相等。首先由AB平行CD，可得到一组内错角相等；点M是BC中点，可得到一组边相等；题目已知BE=CF，刚好满足全等三角形SAS的判定条件，可证明△MEB和△MFC全等，再根据全等三角形对应边相等即可得到ME=MF，因此该方法是合适的。
【解析】
合适，理由如下：
因为$AB// CD$，
所以$∠ B=∠ C$。
因为点M是BC的中点，
所以$MB=MC$。
在$△ MEB$与$△ MFC$中，
$\begin{cases}BE=CF, \\∠ B=∠ C, \\MB=MC,\end{cases}$
所以$△ MEB≌△ MFC(\mathrm{SAS})$。
所以$ME=MF$，
所以要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度。
【答案】
合适，测出ME的长度就等于M与F之间的距离。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等在实际测量中的应用，解题的核心是通过构造全等三角形，将无法直接测量的线段转化为方便测量的线段，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.8
10.如图，课间小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两堆砖块之间。
(1)△ADC与△CEB全等吗？请说明理由；
(2)已知DE=35 cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相同)。
(1)△ADC与△CEB全等吗？请说明理由；
(2)已知DE=35 cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相同)。
答案
10. 解:(1)$△ ADC≌△ CEB$。
由题意得$AC=BC,∠ ACB=90°,AD⊥ DE,BE⊥ DE$，
所以$∠ ADC=∠ CEB=90°$，
所以$∠ ACD+∠ BCE=90°$，
$∠ ACD+∠ DAC=90°$，
所以$∠ BCE=∠ DAC$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB, \\∠ DAC=∠ BCE, \\AC=BC,\end{cases}$
所以$△ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$。
(2)因为一块砖的厚度为$a$，
所以$AD=4a,BE=3a$。
由(1)得$△ ADC≌△ CEB$，
所以$DC=BE=3a,AD=CE=4a$，
所以$DC+CE=BE+AD=7a=35\ \mathrm{cm}$，
所以$a=5\ \mathrm{cm}$。
由题意得$AC=BC,∠ ACB=90°,AD⊥ DE,BE⊥ DE$，
所以$∠ ADC=∠ CEB=90°$，
所以$∠ ACD+∠ BCE=90°$，
$∠ ACD+∠ DAC=90°$，
所以$∠ BCE=∠ DAC$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB, \\∠ DAC=∠ BCE, \\AC=BC,\end{cases}$
所以$△ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$。
(2)因为一块砖的厚度为$a$，
所以$AD=4a,BE=3a$。
由(1)得$△ ADC≌△ CEB$，
所以$DC=BE=3a,AD=CE=4a$，
所以$DC+CE=BE+AD=7a=35\ \mathrm{cm}$，
所以$a=5\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 要判断△ADC和△CEB是否全等，先梳理已知条件：等腰直角三角板可得$AC=BC$、$∠ ACB=90°$，两堆砖块都垂直于地面可得$AD⊥ DE$、$BE⊥ DE$，即两个三角形都有直角。再推导角的关系：$∠ ACB=90°$可得$∠ ACD+∠ BCE=90°$，Rt△ADC中$∠ ACD+∠ DAC=90°$，根据同角的余角相等即可得到一组锐角相等，满足AAS全等判定条件，可证明两三角形全等。
(2) 求砖块厚度$a$时，先根据砖块数量得$AD=4a$、$BE=3a$；再利用(1)的全等结论，对应边相等可得$DC=BE$、$CE=AD$，则$DE=DC+CE$，代入$DE=35\ \mathrm{cm}$即可列方程求出$a$。
【解析】
(1) $△ ADC≌△ CEB$，理由如下：
由题意得$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，$AD⊥ DE$，$BE⊥ DE$，
所以$∠ ADC=∠ CEB=90°$，
所以$∠ ACD+∠ BCE=90°$，$∠ ACD+∠ DAC=90°$，
所以$∠ BCE=∠ DAC$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ DAC=∠ BCE \\AC=BC\end{cases}$
所以$△ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$。
(2) 已知每块砖的厚度为$a$，由图可得$AD=4a$，$BE=3a$。
由(1)知$△ ADC≌△ CEB$，根据全等三角形对应边相等，可得：
$DC=BE=3a$，$AD=CE=4a$，
所以$DE=DC+CE=3a+4a=7a$，
又已知$DE=35\ \mathrm{cm}$，所以$7a=35$，
解得$a=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $△ ADC≌△ CEB$，理由见解析；
(2) 砖块的厚度$a$为$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
1. 全等三角形的AAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 余角的性质
【点评】
本题结合生活场景考查全等三角形的应用，解题核心是挖掘图形中隐含的边角相等关系，通过全等三角形实现线段的等量转化，将实际问题转化为几何计算问题，能锻炼数学建模的思维能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断△ADC和△CEB是否全等，先梳理已知条件：等腰直角三角板可得$AC=BC$、$∠ ACB=90°$，两堆砖块都垂直于地面可得$AD⊥ DE$、$BE⊥ DE$，即两个三角形都有直角。再推导角的关系：$∠ ACB=90°$可得$∠ ACD+∠ BCE=90°$，Rt△ADC中$∠ ACD+∠ DAC=90°$，根据同角的余角相等即可得到一组锐角相等，满足AAS全等判定条件，可证明两三角形全等。
(2) 求砖块厚度$a$时，先根据砖块数量得$AD=4a$、$BE=3a$；再利用(1)的全等结论，对应边相等可得$DC=BE$、$CE=AD$，则$DE=DC+CE$，代入$DE=35\ \mathrm{cm}$即可列方程求出$a$。
【解析】
(1) $△ ADC≌△ CEB$，理由如下：
由题意得$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，$AD⊥ DE$，$BE⊥ DE$，
所以$∠ ADC=∠ CEB=90°$，
所以$∠ ACD+∠ BCE=90°$，$∠ ACD+∠ DAC=90°$，
所以$∠ BCE=∠ DAC$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ DAC=∠ BCE \\AC=BC\end{cases}$
所以$△ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$。
(2) 已知每块砖的厚度为$a$，由图可得$AD=4a$，$BE=3a$。
由(1)知$△ ADC≌△ CEB$，根据全等三角形对应边相等，可得：
$DC=BE=3a$，$AD=CE=4a$，
所以$DE=DC+CE=3a+4a=7a$，
又已知$DE=35\ \mathrm{cm}$，所以$7a=35$，
解得$a=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $△ ADC≌△ CEB$，理由见解析；
(2) 砖块的厚度$a$为$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
1. 全等三角形的AAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 余角的性质
【点评】
本题结合生活场景考查全等三角形的应用，解题核心是挖掘图形中隐含的边角相等关系，通过全等三角形实现线段的等量转化，将实际问题转化为几何计算问题，能锻炼数学建模的思维能力。
【难度系数】
0.7
