1. 已知矩形面积为20,一边长为x,邻边长为y.
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)当x=4时,求y的值；
(3)当y=2.5时,求x的值.

$1. (1)y=\frac{20}{x}(x＞0).$
(2) 当x=4时,y=5.
(3) 当y=2.5时,x=8.

【分析】
解题时首先利用矩形面积公式建立两个邻边长的等量关系，再根据要求逐步求解：
1. 第(1)问：由矩形面积=长×宽，可得x与y的乘积为定值20，变形后即可得到y关于x的函数解析式，同时结合边长为正数的实际意义，确定自变量x的取值范围；
2. 第(2)问：将x=4直接代入已求出的函数解析式，计算即可得到对应的y值；
3. 第(3)问：将y=2.5代入函数解析式，解关于x的方程即可得到x的值。
【解析】
(1) 已知矩形面积为20，根据矩形面积公式：矩形面积=相邻两边长的乘积，可得：
$x· y=20$
将式子变形为用含x的代数式表示y，且x为矩形边长，因此$x＞0$，故y关于x的函数解析式为：
$y=\frac{20}{x}(x＞0)$
(2) 将$x=4$代入$y=\frac{20}{x}$中，得：
$y=\frac{20}{4}=5$
(3) 将$y=2.5$代入$y=\frac{20}{x}$中，得：
$2.5=\frac{20}{x}$
解得$x=\frac{20}{2.5}=8$
【答案】
(1)$y=\frac{20}{x}(x＞0)$；(2)$5$；(3)$8$
【知识点】
矩形面积公式；反比例函数的实际应用；函数代入求值
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题核心是结合矩形面积公式确定两个变量的函数关系，计算时注意数值运算的准确性，同时不能忽略实际问题中自变量的取值范围要求。
【难度系数】
0.9

2. 如图,某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆围成一个一边AD靠墙、面积为$15\ \mathrm{m}^2$的矩形花园$ABCD$,其中墙长为$8\ \mathrm{m}$,现在可用的篱笆总长为$12\ \mathrm{m}$.
(1)若设$AB=y\ \mathrm{m}$,$BC=x\ \mathrm{m}$,请写出$y$关于$x$的函数解析式.
(2)若要使$12\ \mathrm{m}$的篱笆全部用完,能否围成面积为$18\ \mathrm{m}^2$的花园? 若能,请求出长和宽;若不能,请说明理由.
(3)假设围成矩形花园$ABCD$三边的材料总长不超过$12\ \mathrm{m}$,材料$BC$和$DC$的长都是整米数,求满足条件的所有围建方案.

2. (1)由题意,得 $xy=15$.
$\therefore \quad y=\frac{15}{x}$,
即 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=\frac{15}{x}$.
(2)能.
设 $AB=y\ \mathrm{m}$,则 $BC=(12-2y)\ \mathrm{m}$,
由题意,得 $y(12-2y)=18$.
解得 $y_1=y_2=3$.
$\therefore \quad AB=3\ \mathrm{m},BC=12-2×3=6(\mathrm{m})$,
即长为 $6\ \mathrm{m}$,宽为 $3\ \mathrm{m}$.
(3)$\because \quad y=\frac{15}{x}$,且 $x,y$ 都为正整数,$x≤ 8$,
$\therefore \quad x$ 可取 $1,3,5$,$y$ 对应的值为 $15,5,3$.
又 $x+2y≤ 12$,
$\therefore \quad x=5,y=3$.
$\therefore \quad$ 满足条件的所有围建方案为 $AB=3\ \mathrm{m}$,$BC=5\ \mathrm{m}$.

【分析】
(1) 已知矩形花园面积为$15\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积=长×宽的公式，代入$AB=y$、$BC=x$，变形后即可得到$y$关于$x$的函数解析式。
(2) 篱笆全部用完时，三边篱笆总长为$12\ \mathrm{m}$，即2倍$AB$的长度加$BC$的长度等于12，可据此用含$y$的式子表示$BC$的长度，再结合面积为$18\ \mathrm{m}^2$列一元二次方程求解，最后验证$BC$的长度是否不超过墙长$8\ \mathrm{m}$，即可判断方案是否可行。
(3) 首先根据$xy=15$，且$x$、$y$均为正整数、$x≤8$，先找出$x$的所有可能取值，再代入三边总长不超过$12\ \mathrm{m}$的限制条件$x+2y≤12$逐一筛选，最终得到符合条件的围建方案。
【解析】
(1) 由矩形面积公式可得：$xy=15$，
变形得 $y=\frac{15}{x}$，即$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{15}{x}$。
(2) 能，求解过程如下：
设$AB=y\ \mathrm{m}$，则$BC=(12-2y)\ \mathrm{m}$，
根据面积为$18\ \mathrm{m}^2$列方程：$y(12-2y)=18$，
整理得 $y^2-6y+9=0$，解得 $y_1=y_2=3$，
此时$BC=12-2×3=6(\mathrm{m})$，$6\mathrm{m}＜8\mathrm{m}$，符合墙长限制，即长为$6\ \mathrm{m}$，宽为$3\ \mathrm{m}$。
(3) $\because y=\frac{15}{x}$，且$x$、$y$均为正整数，$x≤8$，
$\therefore x$是15的正因数，$x$可取的值为1、3、5，对应$y$的值分别为15、5、3，
又$\because$三边材料总长不超过$12\ \mathrm{m}$，即$x+2y≤12$，
当$x=1$时，$1+2×15=31＞12$，不符合条件；
当$x=3$时，$3+2×5=13＞12$，不符合条件；
当$x=5$时，$5+2×3=11≤12$，符合条件，
$\therefore$满足条件的围建方案为$AB=3\mathrm{m}$，$BC=5\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=\frac{15}{x}$
(2) 能，长为$6\ \mathrm{m}$，宽为$3\ \mathrm{m}$
(3) 围建方案为$AB=3\mathrm{m}$，$BC=5\mathrm{m}$
【知识点】
反比例函数应用，一元二次方程应用，不等式筛选解
【点评】
本题结合实际围建场景考查代数知识的综合运用，解题时需注意结合实际限制条件（墙长、材料总长、边长为正整数）对计算结果进行验证筛选，避免得到不符合实际的答案。
【难度系数】
0.7

3. 由物体漂浮条件可得公式:$\rho Sh=m$,其中$\rho$表示液体的密度,$S$表示密度计的横截面积(底面积),$h$表示密度计浸入液体的深度,$m$表示密度计自身的质量.已知一个简易密度计质量为$10\ \mathrm{g}$,底面积为$2\ \mathrm{cm}^2$,悬浮在液体中:
(1)求浸入深度$h$(单位:$\mathrm{cm}$)与液体密度$\rho$(单位:$\mathrm{g/cm}^3$)的函数关系式;
(2)当$\rho=1.25\ \mathrm{g/cm}^3$时,求浸入深度$h$.

3. (1)由 $\rho Sh=m$,得 $\rho × 2× h=10$,即 $h=\frac{5}{\rho}$.
(2)当 $\rho=1.25\ \mathrm{g/cm}^3$ 时,$h=4\ \mathrm{cm}$.

【分析】
本题分为两小问，解题思路清晰：(1)题干已给出漂浮条件公式$\rho Sh=m$，要求$h$与$\rho$的函数关系式，只需将已知的密度计质量$m$、底面积$S$代入公式，通过等式变形将$h$用含$\rho$的代数式表示即可，同时注意液体密度$\rho$的取值符合实际意义。(2)第二问为求函数值，将给定的$\rho$数值代入第一问得到的函数关系式中计算，即可得到对应的$h$，本题给出的物理量单位已经统一，无需额外换算。
【解析】
(1) 已知密度计质量$m=10\ \mathrm{g}$，底面积$S=2\ \mathrm{cm}^2$，将数值代入公式$\rho Sh=m$，可得：
$\rho × 2 × h = 10$
因液体密度$\rho＞0$，等式两边同时除以$2\rho$，整理得：
$h=\frac{5}{\rho}$
(2) 当$\rho=1.25\ \mathrm{g/cm}^3$时，将其代入$h=\frac{5}{\rho}$中计算：
$h=\frac{5}{1.25}=4\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1)$h=\frac{5}{\rho}$；(2)$4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 函数关系式建立 2. 反比例函数应用 3. 代入求值
【点评】
本题结合物理密度计的实际场景考查函数基础应用，解题核心是利用题干给出的公式代入已知量变形得到函数关系，再代入求值，属于基础应用型题目，解题时注意确认单位是否统一即可。
【难度系数】
0.9

4. 密度计常用来测量液体的密度. 如图①是一款自制的木棒密度计,将木棒依次放入一系列密度已知的液体中,每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时,在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值$\rho$,并测量木棒浸入液体的深度$h$,再利用收集的数据画出$\rho$与$h$的关系图象,如图②所示. 根据图象判断,下列说法正确的是 ()


A.密度$\rho$越大,深度$h$越大
B.若$h_1 ＜ h_3 ＜ h_2$,则$\rho_1 ＜ \rho_3 ＜ \rho_2$
C.密度$\rho$均匀增加时,深度$h$的变化量相同
D.密度计的刻度线越往上,对应的密度越小

4. D

【分析】
解题时首先利用密度计漂浮的特点可知其受到的浮力始终等于自身重力，大小不变，再结合阿基米德原理推导出液体密度$\rho$与浸入深度$h$的关系式，可得二者为反比例关系，最后结合反比例函数的性质逐一判断各选项即可。
【解析】
密度计竖直漂浮在液体中，根据漂浮条件，浮力等于自身重力，即$F_{浮}=G$，密度计重力$G$恒定，因此每次漂浮时浮力大小不变。
根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，其中密度计浸入液体的体积$V_{排}=Sh$（$S$为木棒横截面积，是定值），代入浮力公式得：
$\rho g S h = G$
整理得$\rho = \frac{G}{gS · h}$，由此可知$\rho$与$h$成反比例关系，浸入深度$h$越大，对应液体密度$\rho$越小。
对各选项逐一判断：
A. 由$\rho$与$h$成反比可知，密度$\rho$越大，深度$h$越小，A错误；
B. 若$h_1 ＜ h_3 ＜ h_2$，因$h$越小$\rho$越大，故$\rho_1 ＞ \rho_3 ＞ \rho_2$，B错误；
C. $\rho$与$h$为反比例关系，不是线性关系，因此$\rho$均匀增加时，深度$h$的变化量不相同，C错误；
D. 密度计刻度线越往上，说明浸入液体的深度$h$越大，对应液体密度越小，D正确。
【答案】
D
【知识点】
漂浮条件、阿基米德原理、反比例函数的性质
【点评】
本题将浮力知识与反比例函数知识结合考查，需要先推导变量间的函数关系，再结合函数性质分析结论，能很好地考查跨知识点的应用能力。
【难度系数】
0.65