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1. 若关于$x$的二次函数$y=kx^2 -kx -1$与$x$轴有唯一交点，则$k$的值为（
A.1
B.0或4
C.$-4$
D.4
C
）A.1
B.0或4
C.$-4$
D.4
答案
1. C
解析
【分析】
首先，题目明确给出函数是二次函数，因此首先要满足二次项系数不为0，即$k≠ 0$；其次，二次函数图象与$x$轴有唯一交点，说明对应的一元二次方程$kx^2 -kx -1=0$有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式$\Delta=0$，代入系数计算出$k$的取值后，再结合$k≠0$的条件筛选出符合要求的$k$值即可。
【解析】
$\because$ 函数$y=kx^2 -kx -1$是二次函数
$\therefore$ 二次项系数$k≠ 0$
$\because$ 二次函数与$x$轴有唯一交点
$\therefore$ 对应的一元二次方程$kx^2 -kx -1=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=k$，$b=-k$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = (-k)^2 - 4× k× (-1) = k^2 +4k = 0$
解方程$k^2+4k=0$，因式分解得$k(k+4)=0$，解得$k=0$或$k=-4$
结合$k≠0$的前提，舍去$k=0$，因此$k=-4$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是易错题，很多同学容易忽略“二次函数”的前提条件，默认$k$可以取0，从而错选B，解题时要先抓住题干给出的函数类型限定，再结合交点个数与判别式的关系求解即可。
【难度系数】
0.6
首先，题目明确给出函数是二次函数，因此首先要满足二次项系数不为0，即$k≠ 0$；其次，二次函数图象与$x$轴有唯一交点，说明对应的一元二次方程$kx^2 -kx -1=0$有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式$\Delta=0$，代入系数计算出$k$的取值后，再结合$k≠0$的条件筛选出符合要求的$k$值即可。
【解析】
$\because$ 函数$y=kx^2 -kx -1$是二次函数
$\therefore$ 二次项系数$k≠ 0$
$\because$ 二次函数与$x$轴有唯一交点
$\therefore$ 对应的一元二次方程$kx^2 -kx -1=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=k$，$b=-k$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = (-k)^2 - 4× k× (-1) = k^2 +4k = 0$
解方程$k^2+4k=0$，因式分解得$k(k+4)=0$，解得$k=0$或$k=-4$
结合$k≠0$的前提，舍去$k=0$，因此$k=-4$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是易错题，很多同学容易忽略“二次函数”的前提条件，默认$k$可以取0，从而错选B，解题时要先抓住题干给出的函数类型限定，再结合交点个数与判别式的关系求解即可。
【难度系数】
0.6
2. 已知二次函数$y=x^2 -4x +m$（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程$x^2 -4x +m=0$的两个实数根是（
A.1，-1
B.1，2
C.1，0
D.1，3
D
）A.1，-1
B.1，2
C.1，0
D.1，3
答案
2. D
解析
【分析】
本题有两种常用解题思路：① 先利用二次函数与x轴交点的性质：交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，已知一个根为1，将交点坐标代入二次函数解析式求出参数m，再解一元二次方程得到两个根；② 利用一元二次方程根与系数的关系，直接通过两根之和求出另一个根，这种方法解题更快捷，两种方法都符合九年级知识要求。
【解析】
方法一：
∵ 二次函数$y=x^2 -4x +m$的图象与x轴交于点$(1,0)$
∴ 将$x=1,y=0$代入解析式得：$1^2 -4×1 + m=0$
解得$m=3$
∴ 一元二次方程为$x^2 -4x +3=0$
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$
解得$x_1=1,x_2=3$
方法二：
∵ 二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根
∴ 方程$x^2 -4x +m=0$的一个根为$x=1$
设另一个根为$x_2$，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4$
∴ $1+x_2=4$，解得$x_2=3$
即方程的两个实数根为1和3
【答案】
D
【知识点】
二次函数与x轴交点的意义；一元二次方程根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，考查二次函数和一元二次方程的内在联系，两种解题方法都可使用，其中根与系数的关系法能减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题有两种常用解题思路：① 先利用二次函数与x轴交点的性质：交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，已知一个根为1，将交点坐标代入二次函数解析式求出参数m，再解一元二次方程得到两个根；② 利用一元二次方程根与系数的关系，直接通过两根之和求出另一个根，这种方法解题更快捷，两种方法都符合九年级知识要求。
【解析】
方法一：
∵ 二次函数$y=x^2 -4x +m$的图象与x轴交于点$(1,0)$
∴ 将$x=1,y=0$代入解析式得：$1^2 -4×1 + m=0$
解得$m=3$
∴ 一元二次方程为$x^2 -4x +3=0$
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$
解得$x_1=1,x_2=3$
方法二：
∵ 二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根
∴ 方程$x^2 -4x +m=0$的一个根为$x=1$
设另一个根为$x_2$，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4$
∴ $1+x_2=4$，解得$x_2=3$
即方程的两个实数根为1和3
【答案】
D
【知识点】
二次函数与x轴交点的意义；一元二次方程根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，考查二次函数和一元二次方程的内在联系，两种解题方法都可使用，其中根与系数的关系法能减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3. 已知二次函数$y=-x^2+2x+m$的部分图象如图所示，则关于$x$的一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的根为
-1或3
。答案
3. -1或3
解析
【分析】
要解这道题，首先明确：关于x的一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的根，就是对应二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象与x轴交点的横坐标。解题步骤如下：1. 从图象中先找到已知的一个与x轴交点的横坐标；2. 求出二次函数的对称轴；3. 利用二次函数图象关于对称轴对称的性质，计算出另一个与x轴交点的横坐标，两个横坐标就是方程的根。
【解析】
一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的根是二次函数$y=-x^2+2x+m$图象与x轴交点的横坐标。
① 由图象可知，二次函数与x轴的一个交点横坐标为$-1$；
② 计算二次函数的对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=2$，得对称轴为直线$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，也可直接从图象的虚线得到对称轴为直线$x=1$；
③ 设另一个交点的横坐标为$x$，根据二次函数对称性，两个交点关于对称轴对称，因此两个交点横坐标的平均数等于对称轴横坐标：
$\frac{-1+x}{2}=1$
解得：$x=3$
因此方程$-x^2+2x+m=0$的根为$x=-1$或$x=3$。
【答案】
-1或3
【知识点】
二次函数与一元二次方程；二次函数对称性；对称轴计算
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，解题核心是理解一元二次方程的根与对应二次函数和x轴交点横坐标的对应关系，结合二次函数的对称性即可快速求解，是该章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先明确：关于x的一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的根，就是对应二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象与x轴交点的横坐标。解题步骤如下：1. 从图象中先找到已知的一个与x轴交点的横坐标；2. 求出二次函数的对称轴；3. 利用二次函数图象关于对称轴对称的性质，计算出另一个与x轴交点的横坐标，两个横坐标就是方程的根。
【解析】
一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的根是二次函数$y=-x^2+2x+m$图象与x轴交点的横坐标。
① 由图象可知，二次函数与x轴的一个交点横坐标为$-1$；
② 计算二次函数的对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=2$，得对称轴为直线$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，也可直接从图象的虚线得到对称轴为直线$x=1$；
③ 设另一个交点的横坐标为$x$，根据二次函数对称性，两个交点关于对称轴对称，因此两个交点横坐标的平均数等于对称轴横坐标：
$\frac{-1+x}{2}=1$
解得：$x=3$
因此方程$-x^2+2x+m=0$的根为$x=-1$或$x=3$。
【答案】
-1或3
【知识点】
二次函数与一元二次方程；二次函数对称性；对称轴计算
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，解题核心是理解一元二次方程的根与对应二次函数和x轴交点横坐标的对应关系，结合二次函数的对称性即可快速求解，是该章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 小刚在探索一元二次方程$x^2 +12x -15=0$的根的近似值时做了计算，如下表. 观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个根的整数部分是
1
.答案
4. 1
解析
【分析】
要确定一元二次方程根的整数部分，首先明确方程的根对应二次函数$y=x^2+12x-15$的函数值为0时的$x$取值。观察表格中函数值的正负变化：当函数值从小于0变为大于0时，对应的$x$区间内必然存在使函数值为0的根，由此确定根的取值范围，即可得到整数部分。
【解析】
一元二次方程$x^2+12x-15=0$的根是使代数式$x^2+12x-15$的值为0的$x$的取值。
由表格数据可知：
当$x=1$时，$x^2+12x-15=-2＜0$；
当$x=1.5$时，$x^2+12x-15=5.25＞0$。
由于二次函数$y=x^2+12x-15$在$x＞0$时随$x$增大而增大，因此方程的一个根的取值范围为$1＜x＜1.5$，故该根的整数部分是1。
【答案】
1
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值变化估算一元二次方程的近似根，解题核心是找到函数值正负切换对应的自变量区间，进而确定根的取值范围，是对函数与方程对应关系的基础考查。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程根的整数部分，首先明确方程的根对应二次函数$y=x^2+12x-15$的函数值为0时的$x$取值。观察表格中函数值的正负变化：当函数值从小于0变为大于0时，对应的$x$区间内必然存在使函数值为0的根，由此确定根的取值范围，即可得到整数部分。
【解析】
一元二次方程$x^2+12x-15=0$的根是使代数式$x^2+12x-15$的值为0的$x$的取值。
由表格数据可知：
当$x=1$时，$x^2+12x-15=-2＜0$；
当$x=1.5$时，$x^2+12x-15=5.25＞0$。
由于二次函数$y=x^2+12x-15$在$x＞0$时随$x$增大而增大，因此方程的一个根的取值范围为$1＜x＜1.5$，故该根的整数部分是1。
【答案】
1
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值变化估算一元二次方程的近似根，解题核心是找到函数值正负切换对应的自变量区间，进而确定根的取值范围，是对函数与方程对应关系的基础考查。
【难度系数】
0.8
5. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象如图所示，当$y＜0$时，$x$的取值范围是
$x＜-2或x＞6$
。答案
5. $x＜-2或x＞6$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：首先，二次函数的图像关于对称轴对称，已知对称轴和其中一个与x轴的交点，就可以求出另一个与x轴的交点；其次，$y＜0$对应的是二次函数图像在x轴下方的部分，结合两个交点的坐标，就能直接写出对应的x的取值范围。
【解析】
1. 观察图像可得，二次函数的对称轴为直线$x=2$，与x轴的一个交点坐标为$(6,0)$。
2. 设二次函数与x轴的另一个交点横坐标为$x$，根据二次函数的对称性，对称轴是两个交点横坐标的中点，因此有：
$\frac{x+6}{2}=2$
解得$x=2×2 -6=-2$，即另一个交点坐标为$(-2,0)$。
3. 由图像可知抛物线开口向下，当$y＜0$时，函数图像位于x轴下方，对应x的取值范围为$x＜-2$或$x＞6$。
【答案】
$x＜-2或x＞6$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图像性质
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题的关键是利用二次函数的对称性求出未知的x轴交点坐标，再结合图像直接判断函数值对应的自变量范围，避免了复杂的解析式计算。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以分两步思考：首先，二次函数的图像关于对称轴对称，已知对称轴和其中一个与x轴的交点，就可以求出另一个与x轴的交点；其次，$y＜0$对应的是二次函数图像在x轴下方的部分，结合两个交点的坐标，就能直接写出对应的x的取值范围。
【解析】
1. 观察图像可得，二次函数的对称轴为直线$x=2$，与x轴的一个交点坐标为$(6,0)$。
2. 设二次函数与x轴的另一个交点横坐标为$x$，根据二次函数的对称性，对称轴是两个交点横坐标的中点，因此有：
$\frac{x+6}{2}=2$
解得$x=2×2 -6=-2$，即另一个交点坐标为$(-2,0)$。
3. 由图像可知抛物线开口向下，当$y＜0$时，函数图像位于x轴下方，对应x的取值范围为$x＜-2$或$x＞6$。
【答案】
$x＜-2或x＞6$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图像性质
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题的关键是利用二次函数的对称性求出未知的x轴交点坐标，再结合图像直接判断函数值对应的自变量范围，避免了复杂的解析式计算。
【难度系数】
0.7
6. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + 6 $ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A，点B的横坐标是一元二次方程 $ x^2 - 4x - 12 = 0 $ 的两个根。
（1）求点A，点B的坐标；
（2）求该二次函数的解析式、对称轴及顶点坐标。
（1）求点A，点B的坐标；
（2）求该二次函数的解析式、对称轴及顶点坐标。
答案
6. 解（1）因为 $x^2 - 4x - 12 = 0$，所以$x_1=-2$，$x_2=6$。因为点A在点B的左侧，所以$A(-2, 0)$，$B(6, 0)$。
（2）由条件可知$\begin{cases}4a - 2b + 6 = 0,\\36a + 6b + 6 = 0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=2.\end{cases}$所以 $y = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 6$。
因为 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+6=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+8$，
所以抛物线的对称轴为 $x=2$，顶点坐标为 $(2, 8)$。
（2）由条件可知$\begin{cases}4a - 2b + 6 = 0,\\36a + 6b + 6 = 0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=2.\end{cases}$所以 $y = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 6$。
因为 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+6=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+8$，
所以抛物线的对称轴为 $x=2$，顶点坐标为 $(2, 8)$。
解析
【分析】
（1）要得到A、B两点的坐标，已知两点在x轴上，纵坐标均为0，横坐标是方程$x^2 - 4x - 12 = 0$的两个根，因此先求解该一元二次方程，再根据“点A在点B左侧”的条件，将较小的根作为A的横坐标，较大的根作为B的横坐标，即可得到两点坐标。
（2）要求二次函数的解析式，已知A、B两点在函数图像上，将两点坐标代入$y = ax^2 + bx + 6$，即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值就能确定解析式；再通过配方法将一般式转化为顶点式，就能直接读出对称轴和顶点坐标。
【解析】
（1）解一元二次方程$x^2 - 4x - 12 = 0$，因式分解得：$(x+2)(x-6)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=6$。
因为点A在点B左侧，且A、B都在x轴上（纵坐标为0），所以$A(-2, 0)$，$B(6, 0)$。
（2）将$A(-2,0)$、$B(6,0)$代入二次函数$y = ax^2 + bx + 6$，可得方程组：
$\begin{cases}4a - 2b + 6 = 0 \\36a + 6b + 6 = 0\end{cases}$
将第一个方程两边乘3得$12a -6b +18=0$，与第二个方程相加得$48a +24=0$，解得$a=-\frac{1}{2}$，将$a=-\frac{1}{2}$代入第一个方程，解得$b=2$。
所以二次函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 6$。
将解析式配方化为顶点式：
$y=-\frac{1}{2}x^2 +2x +6 = -\frac{1}{2}(x^2 -4x) +6 = -\frac{1}{2}(x^2 -4x +4 -4) +6 = -\frac{1}{2}(x-2)^2 +8$
由此可得抛物线的对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2, 8)$。
【答案】
（1）$A(-2, 0)$，$B(6, 0)$；
（2）二次函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+6$，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2, 8)$。
【知识点】
一元二次方程的求解；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的顶点式及性质
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的常规基础题，考查了函数图像交点与方程根的对应关系，同时涉及方程组求解、配方法化简二次函数解析式等基础技能，是巩固二次函数相关基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
（1）要得到A、B两点的坐标，已知两点在x轴上，纵坐标均为0，横坐标是方程$x^2 - 4x - 12 = 0$的两个根，因此先求解该一元二次方程，再根据“点A在点B左侧”的条件，将较小的根作为A的横坐标，较大的根作为B的横坐标，即可得到两点坐标。
（2）要求二次函数的解析式，已知A、B两点在函数图像上，将两点坐标代入$y = ax^2 + bx + 6$，即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值就能确定解析式；再通过配方法将一般式转化为顶点式，就能直接读出对称轴和顶点坐标。
【解析】
（1）解一元二次方程$x^2 - 4x - 12 = 0$，因式分解得：$(x+2)(x-6)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=6$。
因为点A在点B左侧，且A、B都在x轴上（纵坐标为0），所以$A(-2, 0)$，$B(6, 0)$。
（2）将$A(-2,0)$、$B(6,0)$代入二次函数$y = ax^2 + bx + 6$，可得方程组：
$\begin{cases}4a - 2b + 6 = 0 \\36a + 6b + 6 = 0\end{cases}$
将第一个方程两边乘3得$12a -6b +18=0$，与第二个方程相加得$48a +24=0$，解得$a=-\frac{1}{2}$，将$a=-\frac{1}{2}$代入第一个方程，解得$b=2$。
所以二次函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 6$。
将解析式配方化为顶点式：
$y=-\frac{1}{2}x^2 +2x +6 = -\frac{1}{2}(x^2 -4x) +6 = -\frac{1}{2}(x^2 -4x +4 -4) +6 = -\frac{1}{2}(x-2)^2 +8$
由此可得抛物线的对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2, 8)$。
【答案】
（1）$A(-2, 0)$，$B(6, 0)$；
（2）二次函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+6$，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2, 8)$。
【知识点】
一元二次方程的求解；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的顶点式及性质
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的常规基础题，考查了函数图像交点与方程根的对应关系，同时涉及方程组求解、配方法化简二次函数解析式等基础技能，是巩固二次函数相关基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
