变式训练
3.对代数式$a - b^2$的意义表述正确的是()

A.a 减去b的平方的差
B.a与b差的平方
C.a，b平方的差
D.a的平方与b的平方的差

3.A

【分析】
要判断代数式$a - b^2$的正确意义，首先要明确代数式的运算优先级：平方运算的优先级高于减法，因此$a - b^2$是先计算$b$的平方，再用$a$减去$b$的平方求差。解题时只需将每个选项的文字表述转化为对应的代数式，与题干代数式对比即可选出正确答案。
【解析】
首先明确题干代数式$a - b^2$的运算顺序：先算$b$的平方，再计算$a$与$b^2$的差。
逐一分析选项：
选项A：“$a$减去$b$的平方的差”，对应的代数式为$a - b^2$，与题干一致；
选项B：“$a$与$b$差的平方”，先算$a$减$b$再平方，对应的代数式为$(a-b)^2$，与题干不一致；
选项C：“$a$，$b$平方的差”，指$a$的平方与$b$的平方的差，对应的代数式为$a^2 - b^2$，与题干不一致；
选项D：“$a$的平方与$b$的平方的差”，对应的代数式为$a^2 - b^2$，与题干不一致。
因此正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
代数式的意义；代数式运算顺序
【点评】
本题考查代数式与文字语言的相互转化，解题核心是准确把握不同运算的优先级，理清先平方还是先减法的顺序，避免混淆不同表述对应的运算步骤。
【难度系数】
0.9

【例3】用代数式表示：
(1)比a与b的积的2倍小5的数.
(2)x,y两数的平方和减去它们积的2倍.
(3)某商店新进一批商品,每件商品的进价为a元,若要获利20%,则每件商品的零售价应为多少元?
解:

(1)$2ab-5$. (2)$x^2+y^2-2xy$.
(3)$(a+20\%a)$元.

【分析】
列代数式的核心是先明确题干描述的运算顺序，再按照“先读的先算，抓关键词确定运算类型”的思路求解：
1. 第(1)题：先找到运算的起点“a与b的积”，再计算积的2倍，最后求比这个结果小5的数，用减法；
2. 第(2)题：先明确“平方和”是两个数先分别平方再求和，再计算两数积的2倍，最后做减法；
3. 第(3)题：销售问题中，零售价=进价+利润，利润=进价×利润率，据此代入已知条件列式即可。
【解析】
(1) 先算a与b的积：$a×b=ab$，再算积的2倍：$2×ab=2ab$，比2ab小5的数为：$2ab-5$；
(2) 先算x、y的平方和：$x^2 + y^2$，再算两数积的2倍：$2xy$，相减可得：$x^2 + y^2 - 2xy$；
(3) 每件商品的利润为进价的20%，即利润为$20\%a$元，零售价=进价+利润，因此零售价为：$a + 20\%a$元。
【答案】
(1)$2ab-5$；(2)$x^2+y^2-2xy$；(3)$(a+20\%a)$元
【知识点】
列代数式，用字母表示数，利润率计算
【点评】
本题属于列代数式的基础题型，重点考查对文字描述中运算顺序的理解和常见数量关系的运用，解题时要注意区分易混概念，如“平方和”和“和的平方”，同时要牢记销售问题中进价、利润、利润率的关系，避免因运算顺序错误或数量关系混淆失分。
【难度系数】
0.8

4.用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是 ()

A.$2(a-b)^2$
B.$2a - b^2$
C.$(2a - b)^2$
D.$(a - 2b)^2$

4.C

【分析】
解决这道题要按照题干描述的运算顺序逐步拆解：首先先算“a的2倍”，再算这个结果与b的差，最后算这个差的平方，要注意平方是对前面的整体差进行运算，所以需要给差的部分加括号，避免运算顺序出错。
【解析】
第一步：计算“a的2倍”，根据乘法的意义可得$2a$；
第二步：计算“a的2倍与b的差”，即$2a - b$；
第三步：计算“差的平方”，给整体的差加括号后再平方，得到$(2a - b)^2$。
对比选项可知C选项符合结果。
【答案】
C
【知识点】
列代数式、代数式运算顺序
【点评】
本题是列代数式的基础题型，解题核心是准确拆解题干的运算层级，明确“平方”的运算对象是前面的差，需要用括号保证运算顺序正确，避免出现先算平方再算差的错误。
【难度系数】
0.9

5.某同学参加了7.5 km健康跑项目，他从起点开始以平均x km/h的速度跑了10 min，此时他离健康跑终点的路程为km.(用含x的代数式表示)

5.$(7.5-\dfrac{1}{6}x)$

【分析】
要解这道题，首先明确数量关系：离终点的路程=总路程-已经跑过的路程。首先需要统一单位，题目中速度单位是km/h，给出的跑步时间是10min，所以先把分钟换算为小时，再根据“路程=速度×时间”算出已跑路程，最后用总路程减去已跑路程即可得到结果。
【解析】
1. 单位换算：因为1小时=60分钟，所以10min = $\dfrac{10}{60}$h = $\dfrac{1}{6}$h。
2. 计算已跑路程：根据路程公式“路程=速度×时间”，已知速度为x km/h，跑步时间为$\dfrac{1}{6}$h，因此已跑路程为$x×\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{6}x$ km。
3. 计算离终点的路程：总路程为7.5km，所以离终点的路程为总路程减去已跑路程，即$7.5-\dfrac{1}{6}x$ km。
【答案】
$(7.5-\dfrac{1}{6}x)$
【知识点】
列代数式，行程问题，单位换算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是利用行程问题的基本数量关系列式，解题时需注意先统一单位，避免因单位不统一出现列式错误。
【难度系数】
0.8

【例4】观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n个数是.
2.图形的“规律探究”
从“形”和“数”两个角度入手，通过逐一看图，观察、分析、归纳图形与“编号”或“序号”之间的变化规律，从而推出一般性的结论，再验证所总结规律的正确性。

$\dfrac{2^n-1}{2^n}$

【分析】
解决这类数字规律探究题，我们可以分步骤思考：第一步，将给出的数列前几项和序号n（n=1,2,3…）一一对应；第二步，分别拆分分子、分母，寻找各自和序号n的对应关系：先观察分母，发现第1项分母是2=2¹，第2项分母是4=2²，第3项分母是8=2³，可推出第n项的分母是2的n次方；再观察分子，发现每一项的分子都比对应项的分母小1，因此第n项的分子就是分母减1，即2ⁿ-1；第三步，将分子分母的规律组合，得到第n个数的表达式，最后代入小的n值验证规律是否正确即可。
【解析】
首先列出数列的前几项与序号的对应关系：
当n=1时，第1个数为$\frac{1}{2}=\frac{2^1 -1}{2^1}$；
当n=2时，第2个数为$\frac{3}{4}=\frac{2^2 -1}{2^2}$；
当n=3时，第3个数为$\frac{7}{8}=\frac{2^3 -1}{2^3}$；
当n=4时，第4个数为$\frac{15}{16}=\frac{2^4 -1}{2^4}$；
……
观察可得：
第n项的分母为$2^n$，第n项的分子为$2^n -1$，
因此第n个数为$\frac{2^n -1}{2^n}$。
【答案】
$\dfrac{2^n-1}{2^n}$
【知识点】
数字规律探究，列代数式，有理数乘方
【点评】
本题是典型的数字规律类题型，解题核心是将数字拆分为分子、分母两部分，分别寻找和序号的对应关系，总结出规律后可代入前几个序号验证，能有效避免规律总结错误。
【难度系数】
0.7

【例5】由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的一组图形如图所示，按此规律排列下去，第n个图形中有个实心圆。

$(2n+2)$

【分析】
解决这类图形规律探究题，我们可以按照以下思路思考：第一步先统计前几个图形中实心圆的数量，得到一组数字；第二步将这组数字和对应的图形序号进行对比，观察数字随序号变化的规律，本题中可以发现后一个图形的实心圆数量总比前一个多2；第三步结合第一个图形的实心圆数量，推导第n个图形的通用表达式即可。
【解析】
我们先分别数出前3个图形的实心圆个数：
第1个图形：实心圆共有4个，可写为$2×1 + 2$；
第2个图形：实心圆共有6个，可写为$2×2 + 2$；
第3个图形：实心圆共有8个，可写为$2×3 + 2$；
观察上述式子可得规律：第k个图形的实心圆个数为$2k+2$，因此第n个图形中实心圆的个数为$2n+2$。
【答案】
$(2n+2)$
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，解题的核心是先从特殊的前几个图形入手，总结出数量和序号的对应变化规律，再推广到一般情况列出代数式即可，掌握从特殊到一般的探究方法能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.75