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1.(新知回顾)有一个加工茶杯的车间，平均每个工人每小时可以加工杯身12个，或者加工杯盖15个.1个杯身配1个杯盖，车间共有90人，则安排多少人加工杯身，才能使每小时加工的杯身和杯盖正好配套？
解:设安排x人加工杯身，则加工杯盖的人数为
可列方程为
解得x=
解:设安排x人加工杯身，则加工杯盖的人数为
90−x
，每小时加工杯身12x
个，杯盖15(90−x)
个.可列方程为
12x=15(90−x)
，解得x=
50
.答案
1.90−x;12x;15(90−x);12x=15(90−x);50
解析
【分析】
本题属于配套问题，解题核心是抓住配套的等量关系：1个杯身配1个杯盖，即每小时生产的杯身总数量=杯盖总数量。首先设加工杯身的人数为x，结合总人数90人可表示出加工杯盖的人数；再根据“总产量=单人工作效率×人数”分别表示出每小时加工杯身、杯盖的数量；最后根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
设安排x人加工杯身，
因为车间共有90人，所以加工杯盖的人数为90−x；
因为平均每个工人每小时可以加工杯身12个，所以每小时加工杯身的数量为12x个；
因为平均每个工人每小时可以加工杯盖15个，所以每小时加工杯盖的数量为15(90−x)个；
因为1个杯身配1个杯盖，即杯身数量与杯盖数量相等，所以可列方程：12x=15(90−x)；
解方程：
$12x = 1350 − 15x$
$12x + 15x = 1350$
$27x = 1350$
$x = 50$
【答案】
$90−x$；$12x$；$15(90−x)$；$12x=15(90−x)$；$50$
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题；解一元一次方程
【点评】
本题是配套问题的基础题型，解题关键是明确配套比例，找到两种产品数量相等的核心等量关系，再结合工作总量的计算公式列方程求解即可，掌握该类题型的等量关系规律后很容易得分。
【难度系数】
0.8
本题属于配套问题，解题核心是抓住配套的等量关系：1个杯身配1个杯盖，即每小时生产的杯身总数量=杯盖总数量。首先设加工杯身的人数为x，结合总人数90人可表示出加工杯盖的人数；再根据“总产量=单人工作效率×人数”分别表示出每小时加工杯身、杯盖的数量；最后根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
设安排x人加工杯身，
因为车间共有90人，所以加工杯盖的人数为90−x；
因为平均每个工人每小时可以加工杯身12个，所以每小时加工杯身的数量为12x个；
因为平均每个工人每小时可以加工杯盖15个，所以每小时加工杯盖的数量为15(90−x)个；
因为1个杯身配1个杯盖，即杯身数量与杯盖数量相等，所以可列方程：12x=15(90−x)；
解方程：
$12x = 1350 − 15x$
$12x + 15x = 1350$
$27x = 1350$
$x = 50$
【答案】
$90−x$；$12x$；$15(90−x)$；$12x=15(90−x)$；$50$
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题；解一元一次方程
【点评】
本题是配套问题的基础题型，解题关键是明确配套比例，找到两种产品数量相等的核心等量关系，再结合工作总量的计算公式列方程求解即可，掌握该类题型的等量关系规律后很容易得分。
【难度系数】
0.8
2. 新情境 [2026 滁州期末] 神舟二十三号载人飞船于北京时间2026年5月24日在酒泉卫星发射中心成功发射.为助力校园科技节航天主题展览,某模型厂加急生产航天机甲模型.该模型采用标准装配设计,1个机甲主体需搭配2个机甲手臂.已知车间工人每人每天可精准生产机甲主体4个或机甲手臂12个,现有30名工人参与生产任务,怎样分配生产主体和手臂的工人数量,才能让每天产出的部件刚好配套,满足展览需求?
答案
2.解：设安排x名工人生产机甲主体，则安排(30−x)名工人生产机甲手臂，
由题意得12(30−x)=2×4x，解得x=18，
则30−x=12.
答：安排18名工人生产机甲主体，12名工人生产机甲手臂，才能让每天产出的部件刚好配套.
由题意得12(30−x)=2×4x，解得x=18，
则30−x=12.
答：安排18名工人生产机甲主体，12名工人生产机甲手臂，才能让每天产出的部件刚好配套.
解析
【分析】
本题属于一元一次方程实际应用中的配套问题，解题核心是明确部件的配套比例：1个机甲主体需搭配2个机甲手臂，即每天生产的机甲手臂总数量=2×每天生产的机甲主体总数量，才能刚好配套。已知总共有30名工人，我们可以先设生产机甲主体的工人数为x，那么生产机甲手臂的工人数就是(30-x)，再结合每人每天的产量，用含x的式子分别表示出每天生产的主体总数和手臂总数，代入上述等量关系列方程求解，即可得到两类工人的分配数量。
【解析】
解：设安排x名工人生产机甲主体，则安排(30−x)名工人生产机甲手臂，
根据配套时手臂总数量是主体总数量2倍的关系，列方程得：
$12(30−x)=2×4x$
展开计算：$360-12x=8x$
移项合并同类项：$20x=360$
解得：$x=18$
则生产手臂的工人数量为$30−x=30-18=12$（名）
答：安排18名工人生产机甲主体，12名工人生产机甲手臂，才能让每天产出的部件刚好配套。
【答案】
安排18名工人生产机甲主体，12名工人生产机甲手臂，才能让每天产出的部件刚好配套。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 配套问题
【点评】
本题结合航天热点创设情境，考查配套类实际问题的求解，解题关键是准确梳理两类部件的配套数量关系，将实际问题转化为一元一次方程求解，贴近生活，能有效锻炼学生的数学应用意识。
【难度系数】
0.8
本题属于一元一次方程实际应用中的配套问题，解题核心是明确部件的配套比例：1个机甲主体需搭配2个机甲手臂，即每天生产的机甲手臂总数量=2×每天生产的机甲主体总数量，才能刚好配套。已知总共有30名工人，我们可以先设生产机甲主体的工人数为x，那么生产机甲手臂的工人数就是(30-x)，再结合每人每天的产量，用含x的式子分别表示出每天生产的主体总数和手臂总数，代入上述等量关系列方程求解，即可得到两类工人的分配数量。
【解析】
解：设安排x名工人生产机甲主体，则安排(30−x)名工人生产机甲手臂，
根据配套时手臂总数量是主体总数量2倍的关系，列方程得：
$12(30−x)=2×4x$
展开计算：$360-12x=8x$
移项合并同类项：$20x=360$
解得：$x=18$
则生产手臂的工人数量为$30−x=30-18=12$（名）
答：安排18名工人生产机甲主体，12名工人生产机甲手臂，才能让每天产出的部件刚好配套。
【答案】
安排18名工人生产机甲主体，12名工人生产机甲手臂，才能让每天产出的部件刚好配套。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 配套问题
【点评】
本题结合航天热点创设情境，考查配套类实际问题的求解，解题关键是准确梳理两类部件的配套数量关系，将实际问题转化为一元一次方程求解，贴近生活，能有效锻炼学生的数学应用意识。
【难度系数】
0.8
3.甲队原有工人68名，乙队原有工人44名，现有42名工人调入这两队，为了使乙队人数是甲队人数的$\frac{3}{4}$，应调往甲、乙两队各多少名工人？
答案
3.解：设调往甲队x名工人，则调往乙队(42−x)名工人，
根据题意，得$\frac{3}{4}(68+x)=44+(42−x)$，解得x=20.
42−x=22.
答：应调往甲队20名工人，调往乙队22名工人.
根据题意，得$\frac{3}{4}(68+x)=44+(42−x)$，解得x=20.
42−x=22.
答：应调往甲队20名工人，调往乙队22名工人.
解析
【分析】
这是一道人员调配类的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先明确调配总人数为42名，可先设调往甲队的人数为x名，那么调往乙队的人数就是(42-x)名；接下来分别表示调配后两队的人数：甲队原有68人，调入x人后总人数为(68+x)名，乙队原有44人，调入(42-x)人后总人数为[44+(42-x)]名；最后根据题目给出的等量关系“乙队人数是甲队人数的$\frac{3}{4}$”，即甲队人数×$\frac{3}{4}$=乙队人数，列方程求解即可得到调往甲队的人数，再进一步计算调往乙队的人数。
【解析】
解：设调往甲队x名工人，则调往乙队(42−x)名工人，
根据题意，得$\frac{3}{4}(68+x)=44+(42−x)$
去括号得：$51+\frac{3}{4}x=86-x$
移项得：$\frac{3}{4}x+x=86-51$
合并同类项得：$\frac{7}{4}x=35$
系数化为1得：$x=20$
则调往乙队的人数为：$42-x=42-20=22$（名）
答：应调往甲队20名工人，调往乙队22名工人。
【答案】
应调往甲队20名工人，调往乙队22名工人。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 调配问题
【点评】
本题属于典型的调配类基础应用题，解题核心是准确梳理调配前后两个主体的数量变化，找准等量关系设未知数建立方程求解，计算过程细心即可避免失分。
【难度系数】
0.7
这是一道人员调配类的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先明确调配总人数为42名，可先设调往甲队的人数为x名，那么调往乙队的人数就是(42-x)名；接下来分别表示调配后两队的人数：甲队原有68人，调入x人后总人数为(68+x)名，乙队原有44人，调入(42-x)人后总人数为[44+(42-x)]名；最后根据题目给出的等量关系“乙队人数是甲队人数的$\frac{3}{4}$”，即甲队人数×$\frac{3}{4}$=乙队人数，列方程求解即可得到调往甲队的人数，再进一步计算调往乙队的人数。
【解析】
解：设调往甲队x名工人，则调往乙队(42−x)名工人，
根据题意，得$\frac{3}{4}(68+x)=44+(42−x)$
去括号得：$51+\frac{3}{4}x=86-x$
移项得：$\frac{3}{4}x+x=86-51$
合并同类项得：$\frac{7}{4}x=35$
系数化为1得：$x=20$
则调往乙队的人数为：$42-x=42-20=22$（名）
答：应调往甲队20名工人，调往乙队22名工人。
【答案】
应调往甲队20名工人，调往乙队22名工人。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 调配问题
【点评】
本题属于典型的调配类基础应用题，解题核心是准确梳理调配前后两个主体的数量变化，找准等量关系设未知数建立方程求解，计算过程细心即可避免失分。
【难度系数】
0.7
4.(新知回顾) 某公司计划建设一座光伏发电站，由甲工程队单独施工需要3周，由乙工程队单独施工需要6周，则甲工程队每周完成总工程的
$\frac{1}{3}$
，乙工程队每周完成总工程的$\frac{1}{6}$
.若设甲、乙两工程队合作施工x周完成总工程，则可列方程为$\frac{x}{3}+\frac{x}{6}=1$
，解得x=2
.答案
4.$\frac{1}{3}$;$\frac{1}{6}$;$\frac{x}{3}+\frac{x}{6}=1$;2
解析
【分析】
解决工程类问题时，我们通常将总工作量看作单位“1”，核心公式为：工作效率=工作总量÷工作时间，合作完成时，各部分工作量之和等于总工作量。首先根据两队单独施工的时间分别计算各自的工作效率，再根据合作时总工作量为1列出一元一次方程，最后求解方程即可得到合作所需时间。
【解析】
1. 计算甲、乙的周工作效率：
把总工程看作单位“1”，甲单独施工需3周完成，则甲每周完成总工程的$1÷3=\frac{1}{3}$；
乙单独施工需6周完成，则乙每周完成总工程的$1÷6=\frac{1}{6}$。
2. 列合作施工的方程：
设两队合作$x$周完成总工程，$x$周内甲完成的工作量为$\frac{1}{3}x$，乙完成的工作量为$\frac{1}{6}x$，总工作量为1，因此可列方程：
$\frac{x}{3}+\frac{x}{6}=1$
3. 解方程：
对左边通分得$\frac{2x}{6}+\frac{x}{6}=1$，合并同类项得$\frac{3x}{6}=1$，化简得$\frac{x}{2}=1$，解得$x=2$。
【答案】
$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{6}$；$\frac{x}{3}+\frac{x}{6}=1$；2
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用，工作量计算公式
【点评】
本题是工程问题的基础题型，重点考查对工程问题基本思路的掌握，熟练运用“总工作量为单位1”的设定和工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解决工程类问题时，我们通常将总工作量看作单位“1”，核心公式为：工作效率=工作总量÷工作时间，合作完成时，各部分工作量之和等于总工作量。首先根据两队单独施工的时间分别计算各自的工作效率，再根据合作时总工作量为1列出一元一次方程，最后求解方程即可得到合作所需时间。
【解析】
1. 计算甲、乙的周工作效率：
把总工程看作单位“1”，甲单独施工需3周完成，则甲每周完成总工程的$1÷3=\frac{1}{3}$；
乙单独施工需6周完成，则乙每周完成总工程的$1÷6=\frac{1}{6}$。
2. 列合作施工的方程：
设两队合作$x$周完成总工程，$x$周内甲完成的工作量为$\frac{1}{3}x$，乙完成的工作量为$\frac{1}{6}x$，总工作量为1，因此可列方程：
$\frac{x}{3}+\frac{x}{6}=1$
3. 解方程：
对左边通分得$\frac{2x}{6}+\frac{x}{6}=1$，合并同类项得$\frac{3x}{6}=1$，化简得$\frac{x}{2}=1$，解得$x=2$。
【答案】
$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{6}$；$\frac{x}{3}+\frac{x}{6}=1$；2
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用，工作量计算公式
【点评】
本题是工程问题的基础题型，重点考查对工程问题基本思路的掌握，熟练运用“总工作量为单位1”的设定和工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
5.甲、乙两个工程队共同承接了某项工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成.若甲队先做5天，剩下部分由两队一起做，则完成该工程还需要(
A.2天
B.3天
C.4天
D.8天
B
)A.2天
B.3天
C.4天
D.8天
答案
5.B
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时通常把总工作量看作单位“1”，首先根据两队单独完成的时间计算各自的工作效率，工作效率=总工作量÷单独完成时间。本题可以通过列一元一次方程求解，核心等量关系为：甲队先做5天的工作量 + 两队合作完成的工作量 = 总工作量1，代入数据解方程即可得到还需要的施工时间。
【解析】
将这项工程的总工作量看作单位“1”。
1. 计算两队工作效率：
甲队单独施工10天完成，甲队的工作效率为$\frac{1}{10}$每天；
乙队单独施工15天完成，乙队的工作效率为$\frac{1}{15}$每天。
2. 设完成该工程还需要$x$天，根据等量关系列方程：
$5×\frac{1}{10} + x×(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}) = 1$
3. 解方程：
化简得：$\frac{1}{2} + x×\frac{5}{30} = 1$
即：$\frac{1}{2} + \frac{x}{6} = 1$
移项得：$\frac{x}{6} = \frac{1}{2}$
解得：$x=3$
【答案】
B
【知识点】
1. 工程问题
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于工程类基础题型，解题关键是掌握将总工作量设为单位“1”的思路，熟练运用“工作量=工作效率×工作时间”的基本关系寻找等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程问题，解题时通常把总工作量看作单位“1”，首先根据两队单独完成的时间计算各自的工作效率，工作效率=总工作量÷单独完成时间。本题可以通过列一元一次方程求解，核心等量关系为：甲队先做5天的工作量 + 两队合作完成的工作量 = 总工作量1，代入数据解方程即可得到还需要的施工时间。
【解析】
将这项工程的总工作量看作单位“1”。
1. 计算两队工作效率：
甲队单独施工10天完成，甲队的工作效率为$\frac{1}{10}$每天；
乙队单独施工15天完成，乙队的工作效率为$\frac{1}{15}$每天。
2. 设完成该工程还需要$x$天，根据等量关系列方程：
$5×\frac{1}{10} + x×(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}) = 1$
3. 解方程：
化简得：$\frac{1}{2} + x×\frac{5}{30} = 1$
即：$\frac{1}{2} + \frac{x}{6} = 1$
移项得：$\frac{x}{6} = \frac{1}{2}$
解得：$x=3$
【答案】
B
【知识点】
1. 工程问题
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于工程类基础题型，解题关键是掌握将总工作量设为单位“1”的思路，熟练运用“工作量=工作效率×工作时间”的基本关系寻找等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.8
6. 立德树人·敬老助老为了让老年人能享受到高品质的生活服务，某市持续推动适老改造项目，计划安装一批无障碍通道扶手.现有甲、乙两个安装组，甲组每天安装6套，乙组每天比甲组多安装3套，甲组单独安装这些扶手比乙组单独安装多用12天，需要安装的无障碍通道扶手共有多少套？
答案
6.解：设需要安装的无障碍通道扶手共有x套，
由题意得$\frac{x}{6}−\frac{x}{6+3}=12$，解得x=216.
答：需要安装的无障碍通道扶手共有216套.
由题意得$\frac{x}{6}−\frac{x}{6+3}=12$，解得x=216.
答：需要安装的无障碍通道扶手共有216套.
解析
【分析】
本题属于工程类实际应用问题，解题核心是利用“工作时间=工作总量÷工作效率”的关系找到等量关系。首先明确未知量是需要安装的扶手总套数，可设为x；再分别计算甲、乙两组单独完成安装的工作时间：甲组效率为每天6套，单独安装时间为$\frac{x}{6}$天，乙组每天比甲组多装3套，效率为每天9套，单独安装时间为$\frac{x}{6+3}$天；最后根据“甲组单独安装比乙组单独安装多用12天”这一条件，可列出关于x的一元一次方程，求解即可得到总套数。
【解析】
解：设需要安装的无障碍通道扶手共有x套，
由题意得：$\frac{x}{6}−\frac{x}{6+3}=12$
整理得$\frac{x}{6} - \frac{x}{9} =12$，通分后计算得$\frac{3x - 2x}{18}=12$，即$\frac{x}{18}=12$
解得$x=216$
答：需要安装的无障碍通道扶手共有216套。
【答案】
216套
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题数量关系
【点评】
本题结合敬老助老的现实场景命题，引导学生关注社会热点，主要考查运用一元一次方程解决实际问题的能力，解题的关键是准确梳理题干信息，找准两组安装的时间差这一等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.8
本题属于工程类实际应用问题，解题核心是利用“工作时间=工作总量÷工作效率”的关系找到等量关系。首先明确未知量是需要安装的扶手总套数，可设为x；再分别计算甲、乙两组单独完成安装的工作时间：甲组效率为每天6套，单独安装时间为$\frac{x}{6}$天，乙组每天比甲组多装3套，效率为每天9套，单独安装时间为$\frac{x}{6+3}$天；最后根据“甲组单独安装比乙组单独安装多用12天”这一条件，可列出关于x的一元一次方程，求解即可得到总套数。
【解析】
解：设需要安装的无障碍通道扶手共有x套，
由题意得：$\frac{x}{6}−\frac{x}{6+3}=12$
整理得$\frac{x}{6} - \frac{x}{9} =12$，通分后计算得$\frac{3x - 2x}{18}=12$，即$\frac{x}{18}=12$
解得$x=216$
答：需要安装的无障碍通道扶手共有216套。
【答案】
216套
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题数量关系
【点评】
本题结合敬老助老的现实场景命题，引导学生关注社会热点，主要考查运用一元一次方程解决实际问题的能力，解题的关键是准确梳理题干信息，找准两组安装的时间差这一等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.8
