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19.（7分）在军事演习中，一核潜艇在海下时而上升，时而下降.核潜艇的初始位置在海平面下500 m，下面是核潜艇在某段时间内运动情况（把上升记为“+”，下降记为“-”，单位：m）：-280，-20，30，20，-50，60，-70.
（1）现在核潜艇处在什么位置？
（2）假如核潜艇每上升或下降1 m，核动力装置所提供的能量相当于20 L汽油燃烧所产生的能量，那么在这一时刻内核动力装置所提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？
（1）现在核潜艇处在什么位置？
（2）假如核潜艇每上升或下降1 m，核动力装置所提供的能量相当于20 L汽油燃烧所产生的能量，那么在这一时刻内核动力装置所提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？
答案
19. (1) 在海平面下 810 m 处 (2)10 600 L
解析
【分析】
（1）要确定核潜艇的当前位置，首先明确初始位置为海平面下500m，记为-500m（规定海平面为0，海平面下为负、上为正），题意中上升记为正、下降记为负，只需将初始位置与所有运动数据（带正负号）相加，根据结果的正负判断位置：结果为负说明在海平面下，结果为正则在海平面上。
（2）计算能量消耗时，上升和下降都需要消耗能量，因此要先求出核潜艇运动的总路程，总路程为所有运动数据的绝对值之和，再乘以每米对应的20L汽油量，即可得到总汽油当量。
【解析】
（1）记海平面高度为0m，初始位置为-500m，当前位置计算如下：
$\begin{aligned}&-500 + (-280) + (-20) + 30 + 20 + (-50) + 60 + (-70)\\=&-500 -280 -20 +30 +20 -50 +60 -70\\=&-500 + (-420) + 110\\=&-810(\mathrm{m})\end{aligned}$
负号表示位置在海平面下，即现在核潜艇处于海平面下810m处。
（2）先计算运动总路程：
$\begin{aligned}&|-280| + |-20| + |30| + |20| + |-50| + |60| + |-70|\\=&280+20+30+20+50+60+70\\=&530(\mathrm{m})\end{aligned}$
总汽油当量为：$530×20=10600(\mathrm{L})$
【答案】
（1）在海平面下 810 m 处；（2）10600 L
【知识点】
正负数的实际应用；有理数加减运算；绝对值的应用
【点评】
本题结合实际情境考查有理数相关知识的应用，解题核心是区分“位置计算”和“路程计算”的差异：位置计算需要带符号运算，路程计算需取绝对值求和，避免混淆两类计算规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）要确定核潜艇的当前位置，首先明确初始位置为海平面下500m，记为-500m（规定海平面为0，海平面下为负、上为正），题意中上升记为正、下降记为负，只需将初始位置与所有运动数据（带正负号）相加，根据结果的正负判断位置：结果为负说明在海平面下，结果为正则在海平面上。
（2）计算能量消耗时，上升和下降都需要消耗能量，因此要先求出核潜艇运动的总路程，总路程为所有运动数据的绝对值之和，再乘以每米对应的20L汽油量，即可得到总汽油当量。
【解析】
（1）记海平面高度为0m，初始位置为-500m，当前位置计算如下：
$\begin{aligned}&-500 + (-280) + (-20) + 30 + 20 + (-50) + 60 + (-70)\\=&-500 -280 -20 +30 +20 -50 +60 -70\\=&-500 + (-420) + 110\\=&-810(\mathrm{m})\end{aligned}$
负号表示位置在海平面下，即现在核潜艇处于海平面下810m处。
（2）先计算运动总路程：
$\begin{aligned}&|-280| + |-20| + |30| + |20| + |-50| + |60| + |-70|\\=&280+20+30+20+50+60+70\\=&530(\mathrm{m})\end{aligned}$
总汽油当量为：$530×20=10600(\mathrm{L})$
【答案】
（1）在海平面下 810 m 处；（2）10600 L
【知识点】
正负数的实际应用；有理数加减运算；绝对值的应用
【点评】
本题结合实际情境考查有理数相关知识的应用，解题核心是区分“位置计算”和“路程计算”的差异：位置计算需要带符号运算，路程计算需取绝对值求和，避免混淆两类计算规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
20. (8分) 某中学一学生公寓前有一块长为$\frac{3}{2}x$，宽为$x$的空地，学校向全校师生征集这块地的绿化设计方案并要求绿地面积不少于$\frac{5}{8}x^2$. 下图是学生小明的设计方案，阴影部分是绿地. 试问：小明的设计方案是否符合要求？为什么？
答案
20. 阴影部分的面积为$\dfrac{3x^2}{2} - \dfrac{x}{2} · \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2}π × (\dfrac{x}{4})^2 = \dfrac{36 - π}{32}x^2$.
因为$\dfrac{5}{8}x^2 = \dfrac{20}{32}x^2$,$36 - π ＞ 20$,所以$\dfrac{36 - π}{32}x^2 ＞ \dfrac{5}{8}x^2$.
故小明的设计方案符合要求.
因为$\dfrac{5}{8}x^2 = \dfrac{20}{32}x^2$,$36 - π ＞ 20$,所以$\dfrac{36 - π}{32}x^2 ＞ \dfrac{5}{8}x^2$.
故小明的设计方案符合要求.
解析
【分析】
要判断小明的设计是否符合要求，需先计算出阴影绿地的面积，再和要求的最低绿地面积$\frac{5}{8}x^2$比较大小。阴影部分为不规则图形，采用“整体减空白”的思路计算：整体是长为$\frac{3x}{2}$、宽为$x$的大长方形，空白部分包含中间的小长方形和右侧的半圆，分别计算各部分面积后作差得到绿地面积，最后通分比较两者大小即可。
【解析】
解：按以下步骤计算：
1. 计算大长方形面积：
$S_{\mathrm{大}}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}=\frac{3x}{2}× x=\frac{3x^2}{2}$
2. 计算中间空白小长方形面积：
小长方形长为$\frac{3x}{4}$，宽为$\frac{x}{2}$，因此$S_{\mathrm{小}}=\frac{3x}{4}×\frac{x}{2}=\frac{3x^2}{8}$
3. 计算右侧空白半圆面积：
半圆直径为$\frac{x}{2}$，因此半径$r=\frac{x}{4}$，半圆面积为$\frac{1}{2}π r^2$，代入得：
$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}π×(\frac{x}{4})^2=\frac{π x^2}{32}$
4. 计算阴影绿地面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{大}}-S_{\mathrm{小}}-S_{\mathrm{半圆}}=\frac{3x^2}{2}-\frac{3x^2}{8}-\frac{π x^2}{32}$
通分后计算得：$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{48x^2}{32}-\frac{12x^2}{32}-\frac{π x^2}{32}=\frac{36-π}{32}x^2$
5. 比较绿地面积和要求的最低面积：
将$\frac{5}{8}x^2$通分得$\frac{20}{32}x^2$，因为$36-π＞20$，所以$\frac{36-π}{32}x^2＞\frac{20}{32}x^2=\frac{5}{8}x^2$，符合设计要求。
【答案】
小明的设计方案符合要求。
【知识点】
长方形面积计算、半圆面积计算、代数式大小比较
【点评】
本题结合实际设计场景考查不规则图形面积的求解和代数式大小比较，解题核心是掌握“整体减空白”的阴影面积计算方法，计算时需注意区分半圆的直径和半径，避免因参数取值错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
要判断小明的设计是否符合要求，需先计算出阴影绿地的面积，再和要求的最低绿地面积$\frac{5}{8}x^2$比较大小。阴影部分为不规则图形，采用“整体减空白”的思路计算：整体是长为$\frac{3x}{2}$、宽为$x$的大长方形，空白部分包含中间的小长方形和右侧的半圆，分别计算各部分面积后作差得到绿地面积，最后通分比较两者大小即可。
【解析】
解：按以下步骤计算：
1. 计算大长方形面积：
$S_{\mathrm{大}}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}=\frac{3x}{2}× x=\frac{3x^2}{2}$
2. 计算中间空白小长方形面积：
小长方形长为$\frac{3x}{4}$，宽为$\frac{x}{2}$，因此$S_{\mathrm{小}}=\frac{3x}{4}×\frac{x}{2}=\frac{3x^2}{8}$
3. 计算右侧空白半圆面积：
半圆直径为$\frac{x}{2}$，因此半径$r=\frac{x}{4}$，半圆面积为$\frac{1}{2}π r^2$，代入得：
$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}π×(\frac{x}{4})^2=\frac{π x^2}{32}$
4. 计算阴影绿地面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{大}}-S_{\mathrm{小}}-S_{\mathrm{半圆}}=\frac{3x^2}{2}-\frac{3x^2}{8}-\frac{π x^2}{32}$
通分后计算得：$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{48x^2}{32}-\frac{12x^2}{32}-\frac{π x^2}{32}=\frac{36-π}{32}x^2$
5. 比较绿地面积和要求的最低面积：
将$\frac{5}{8}x^2$通分得$\frac{20}{32}x^2$，因为$36-π＞20$，所以$\frac{36-π}{32}x^2＞\frac{20}{32}x^2=\frac{5}{8}x^2$，符合设计要求。
【答案】
小明的设计方案符合要求。
【知识点】
长方形面积计算、半圆面积计算、代数式大小比较
【点评】
本题结合实际设计场景考查不规则图形面积的求解和代数式大小比较，解题核心是掌握“整体减空白”的阴影面积计算方法，计算时需注意区分半圆的直径和半径，避免因参数取值错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
21.(8分)如图,在一张大正方形纸片上剪去四个大小形状一样的正方形,然后将其中一个正方形再按同样的方法剪成四个小正方形,再将其中一个小正方形剪成四个小正方形,如此循环进行下去.
(1)填表:
(2)如果剪了100次,共剪出多少个正方形?
(3)如果剪n次,共剪出多少个正方形?
(4)如果要剪出100个正方形,那么需要剪多少次?
(1)填表:
(2)如果剪了100次,共剪出多少个正方形?
(3)如果剪n次,共剪出多少个正方形?
(4)如果要剪出100个正方形,那么需要剪多少次?
答案
21. (1)16 (2)301 个正方形 (3)$(3n + 1)$个正方形 (4)需要剪 33 次
解析
【分析】
解决这道题的核心是找到剪的次数和正方形总个数的变化规律：每次将1个正方形剪成4个小正方形时，正方形总数会增加3个（减去1个被剪的，新增4个，净增加3个）。我们可以先从少次操作的数量入手总结规律，再用规律解决所有问题：首先推导剪n次时的总个数代数式，再分别代入数值求值、列方程求解即可。
【解析】
我们先列举前几次操作后的正方形个数，找规律：
剪0次（初始状态）：正方形总个数 = 1
剪1次：总个数 = $1 + 3×1 = 4$
剪2次：总个数 = $1 + 3×2 = 7$
剪3次：总个数 = $1 + 3×3 = 10$
由此可得通用规律：剪n次后，正方形总个数为$3n + 1$。
(1) 若填表对应剪5次的情况，代入得：$3×5 + 1 = 16$，即填16。
(2) 剪100次时，把$n=100$代入$3n+1$：
$3×100 + 1 = 301$（个）
(3) 由上述规律可得，剪n次共剪出$(3n + 1)$个正方形。
(4) 设需要剪x次，列方程：
$3x + 1 = 100$
移项得：$3x = 100 - 1 = 99$
解得：$x = 33$
【答案】
(1)16；(2)301个正方形；(3)$(3n + 1)$个正方形；(4)需要剪33次
【知识点】
图形规律探究，代数式求值，一元一次方程应用
【点评】
本题是规律探究类的典型题目，重点考察学生从重复操作中提取不变变化量的能力，解题的关键是发现每次操作后正方形总数增加3的核心规律，再结合代数式和方程的相关知识即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是找到剪的次数和正方形总个数的变化规律：每次将1个正方形剪成4个小正方形时，正方形总数会增加3个（减去1个被剪的，新增4个，净增加3个）。我们可以先从少次操作的数量入手总结规律，再用规律解决所有问题：首先推导剪n次时的总个数代数式，再分别代入数值求值、列方程求解即可。
【解析】
我们先列举前几次操作后的正方形个数，找规律：
剪0次（初始状态）：正方形总个数 = 1
剪1次：总个数 = $1 + 3×1 = 4$
剪2次：总个数 = $1 + 3×2 = 7$
剪3次：总个数 = $1 + 3×3 = 10$
由此可得通用规律：剪n次后，正方形总个数为$3n + 1$。
(1) 若填表对应剪5次的情况，代入得：$3×5 + 1 = 16$，即填16。
(2) 剪100次时，把$n=100$代入$3n+1$：
$3×100 + 1 = 301$（个）
(3) 由上述规律可得，剪n次共剪出$(3n + 1)$个正方形。
(4) 设需要剪x次，列方程：
$3x + 1 = 100$
移项得：$3x = 100 - 1 = 99$
解得：$x = 33$
【答案】
(1)16；(2)301个正方形；(3)$(3n + 1)$个正方形；(4)需要剪33次
【知识点】
图形规律探究，代数式求值，一元一次方程应用
【点评】
本题是规律探究类的典型题目，重点考察学生从重复操作中提取不变变化量的能力，解题的关键是发现每次操作后正方形总数增加3的核心规律，再结合代数式和方程的相关知识即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
