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12. (★★)如图，P是∠AOB内的一点，且点P关于射线OA，OB的对称点为P₁，P₂，连接P₁P₂，交OA于点M，交OB于点N.
(1)根据题意，把图形补充完整；
(2)若P₁P₂=5 cm，求△PMN的周长.
(1)根据题意，把图形补充完整；
(2)若P₁P₂=5 cm，求△PMN的周长.
答案
解：
(1) 补全图形：①作点P关于射线OA的对称点$P_1$，作点P关于射线OB的对称点$P_2$；②连接$P_1P_2$，分别交OA于点M，交OB于点N，所得图形即为补充完整的图形。
(2) ∵ 点P、$P_1$关于射线OA对称，
∴ OA是线段$PP_1$的垂直平分线，
∴ $PM = P_1M$。
∵ 点P、$P_2$关于射线OB对称，
∴ OB是线段$PP_2$的垂直平分线，
∴ $PN = P_2N$。
∴ $△ PMN$的周长为：
$PM + MN + PN = P_1M + MN + P_2N = P_1P_2$。
∵ $P_1P_2 = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $△ PMN$的周长为$5\ \mathrm{cm}$。
(1) 补全图形：①作点P关于射线OA的对称点$P_1$，作点P关于射线OB的对称点$P_2$；②连接$P_1P_2$，分别交OA于点M，交OB于点N，所得图形即为补充完整的图形。
(2) ∵ 点P、$P_1$关于射线OA对称，
∴ OA是线段$PP_1$的垂直平分线，
∴ $PM = P_1M$。
∵ 点P、$P_2$关于射线OB对称，
∴ OB是线段$PP_2$的垂直平分线，
∴ $PN = P_2N$。
∴ $△ PMN$的周长为：
$PM + MN + PN = P_1M + MN + P_2N = P_1P_2$。
∵ $P_1P_2 = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $△ PMN$的周长为$5\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 补全图形需依据轴对称点的作图方法：分别过点P作OA、OB的垂线，在垂线延长线上截取与P到垂足距离相等的线段，即可得到对称点P₁、P₂，再连接P₁P₂，与OA、OB的交点即为M、N。
(2) 求解△PMN周长时，首先联想到轴对称的性质：对称轴是对应点连线的垂直平分线，而垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此可将PM、PN分别转化为P₁M、P₂N，进而把△PMN的周长转化为已知长度的P₁P₂，即可求出结果。
【解析】
(1) 补全图形操作：①作点P关于射线OA的对称点$P_1$，作点P关于射线OB的对称点$P_2$；②连接$P_1P_2$，分别交OA于点M，交OB于点N，即可得到完整图形。
(2)
∵ 点P、$P_1$关于射线OA对称，
∴ OA是线段$PP_1$的垂直平分线，
∴ $PM = P_1M$。
∵ 点P、$P_2$关于射线OB对称，
∴ OB是线段$PP_2$的垂直平分线，
∴ $PN = P_2N$。
∴ $△ PMN$的周长为：
$PM + MN + PN = P_1M + MN + P_2N = P_1P_2$。
∵ $P_1P_2 = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $△ PMN$的周长为$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 按上述步骤补全图形；
(2) $\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于轴对称性质的典型基础题，核心考查通过轴对称构造相等线段，将未知周长转化为已知线段长度的转化思想，掌握轴对称与线段垂直平分线的关联性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 补全图形需依据轴对称点的作图方法：分别过点P作OA、OB的垂线，在垂线延长线上截取与P到垂足距离相等的线段，即可得到对称点P₁、P₂，再连接P₁P₂，与OA、OB的交点即为M、N。
(2) 求解△PMN周长时，首先联想到轴对称的性质：对称轴是对应点连线的垂直平分线，而垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此可将PM、PN分别转化为P₁M、P₂N，进而把△PMN的周长转化为已知长度的P₁P₂，即可求出结果。
【解析】
(1) 补全图形操作：①作点P关于射线OA的对称点$P_1$，作点P关于射线OB的对称点$P_2$；②连接$P_1P_2$，分别交OA于点M，交OB于点N，即可得到完整图形。
(2)
∵ 点P、$P_1$关于射线OA对称，
∴ OA是线段$PP_1$的垂直平分线，
∴ $PM = P_1M$。
∵ 点P、$P_2$关于射线OB对称，
∴ OB是线段$PP_2$的垂直平分线，
∴ $PN = P_2N$。
∴ $△ PMN$的周长为：
$PM + MN + PN = P_1M + MN + P_2N = P_1P_2$。
∵ $P_1P_2 = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $△ PMN$的周长为$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 按上述步骤补全图形；
(2) $\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于轴对称性质的典型基础题，核心考查通过轴对称构造相等线段，将未知周长转化为已知线段长度的转化思想，掌握轴对称与线段垂直平分线的关联性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
13. (★★★)如图,已知 P 为$∠ABC$内一点,利用直尺和圆规确定一条过点 P 的直线,使其分别交 AB,BC 于点 E,F,且$BE=BF$.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
答案
解：
作法：
1. 作∠ABC的角平分线BD；
2. 过点P作直线EF垂直于BD，使EF分别交AB于点E，交BC于点F。
直线EF即为所求作的直线，满足BE=BF，按要求保留全部作图痕迹即可。
作法：
1. 作∠ABC的角平分线BD；
2. 过点P作直线EF垂直于BD，使EF分别交AB于点E，交BC于点F。
直线EF即为所求作的直线，满足BE=BF，按要求保留全部作图痕迹即可。
解析
【分析】
我们需要构造过点P的直线EF使得BE=BF，可从等腰三角形的性质倒推作图思路：若BE=BF，则△BEF是以B为顶点的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，∠ABC的角平分线就是△BEF底边EF上的高。因此我们可以先作出∠ABC的角平分线，再过点P作这条角平分线的垂线，垂线与AB、BC的交点即为E、F，即可满足题目的要求。
【解析】
步骤1：用尺规作∠ABC的角平分线BD；
步骤2：过点P作直线EF⊥BD，其中直线EF与AB交于点E，与BC交于点F。
验证：设EF与BD的交点为O，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO=∠FBO，
∵EF⊥BD，
∴∠BOE=∠BOF=90°，
又
∵BO是公共边，
∴△BOE≌△BOF（ASA），
∴BE=BF，且EF过点P，符合要求，按规定保留作图痕迹即可。
【答案】
作法：
1. 作∠ABC的角平分线BD；
2. 过点P作直线EF垂直于BD，使EF分别交AB于点E，交BC于点F。
直线EF即为所求作的直线，满足BE=BF，按要求保留全部作图痕迹即可。
【知识点】
角平分线尺规作图，等腰三角形性质，全等三角形判定
【点评】
本题是尺规作图与几何性质结合的综合题，需要从结论出发逆向推导作图的思路，既考查了基本尺规作图的操作能力，也考查了对等腰三角形、全等三角形相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
我们需要构造过点P的直线EF使得BE=BF，可从等腰三角形的性质倒推作图思路：若BE=BF，则△BEF是以B为顶点的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，∠ABC的角平分线就是△BEF底边EF上的高。因此我们可以先作出∠ABC的角平分线，再过点P作这条角平分线的垂线，垂线与AB、BC的交点即为E、F，即可满足题目的要求。
【解析】
步骤1：用尺规作∠ABC的角平分线BD；
步骤2：过点P作直线EF⊥BD，其中直线EF与AB交于点E，与BC交于点F。
验证：设EF与BD的交点为O，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO=∠FBO，
∵EF⊥BD，
∴∠BOE=∠BOF=90°，
又
∵BO是公共边，
∴△BOE≌△BOF（ASA），
∴BE=BF，且EF过点P，符合要求，按规定保留作图痕迹即可。
【答案】
作法：
1. 作∠ABC的角平分线BD；
2. 过点P作直线EF垂直于BD，使EF分别交AB于点E，交BC于点F。
直线EF即为所求作的直线，满足BE=BF，按要求保留全部作图痕迹即可。
【知识点】
角平分线尺规作图，等腰三角形性质，全等三角形判定
【点评】
本题是尺规作图与几何性质结合的综合题，需要从结论出发逆向推导作图的思路，既考查了基本尺规作图的操作能力，也考查了对等腰三角形、全等三角形相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
14. (★★★)请按要求解决下列问题.
(1)如图①,AB=AC. 这两条线段一定关于某条直线对称吗?如果是,请画出对称轴a(尺规作图,保留作图痕迹);如果不是,请说明理由.
(2)如图②,已知线段AB和点C.求作线段CD(不要求尺规作图),使它与AB成轴对称,且A与C是对称点,标明对称轴b,并简述画图过程.
(3)如图③,任意位置的两条线段AB,CD,AB=CD.你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗?如果能,请描述操作方法;如果不能,请说明理由.
(1)如图①,AB=AC. 这两条线段一定关于某条直线对称吗?如果是,请画出对称轴a(尺规作图,保留作图痕迹);如果不是,请说明理由.
(2)如图②,已知线段AB和点C.求作线段CD(不要求尺规作图),使它与AB成轴对称,且A与C是对称点,标明对称轴b,并简述画图过程.
(3)如图③,任意位置的两条线段AB,CD,AB=CD.你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗?如果能,请描述操作方法;如果不能,请说明理由.
答案
解：
(1) 这两条线段一定关于某条直线对称。
作图：连接BC，分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，该直线即为所求的对称轴a。
(2) 画图过程：
① 连接点A和点C，作线段AC的垂直平分线，该直线即为对称轴b；
② 过点B作直线b的垂线，垂足为O，在垂线上点O的另一侧截取$OD=OB$，得到点B关于直线b的对称点D；
③ 连接CD，所得线段CD即为所求，此时CD与AB关于直线b成轴对称，且A与C是对称点。
(3) 能，操作方法：
① 选取合适的直线作为对称轴，对线段AB作轴对称变换，使变换后得到的线段的端点A与点C重合，此时变换后的线段与CD有公共端点C，且两条线段长度相等；
② 以这两条共端点等长线段的夹角的角平分线为对称轴，对第一次变换得到的线段再次作轴对称变换，即可使两条线段完全重合。
(1) 这两条线段一定关于某条直线对称。
作图：连接BC，分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，该直线即为所求的对称轴a。
(2) 画图过程：
① 连接点A和点C，作线段AC的垂直平分线，该直线即为对称轴b；
② 过点B作直线b的垂线，垂足为O，在垂线上点O的另一侧截取$OD=OB$，得到点B关于直线b的对称点D；
③ 连接CD，所得线段CD即为所求，此时CD与AB关于直线b成轴对称，且A与C是对称点。
(3) 能，操作方法：
① 选取合适的直线作为对称轴，对线段AB作轴对称变换，使变换后得到的线段的端点A与点C重合，此时变换后的线段与CD有公共端点C，且两条线段长度相等；
② 以这两条共端点等长线段的夹角的角平分线为对称轴，对第一次变换得到的线段再次作轴对称变换，即可使两条线段完全重合。
解析
【分析】
(1) 两条共端点且长度相等的线段一定是轴对称图形，对称轴是连接两个非公共端点的线段的垂直平分线。本题中AB=AC，公共端点为A，因此只需尺规作出线段BC的垂直平分线，即可得到对称轴a。
(2) 轴对称的核心性质是对称点的连线被对称轴垂直平分，已知A和C是对称点，因此先作线段AC的垂直平分线得到对称轴b，再找到点B关于对称轴b的对称点D，连接CD即可得到与AB成轴对称的线段。
(3) 要让两条等长的任意位置线段通过轴对称重合，可分两步完成：首先通过一次轴对称变换，将其中一条线段的一个端点与另一条线段的对应端点重合，得到两条共端点的等长线段；再以这两条线段夹角的角平分线为对称轴作第二次轴对称，即可让两条线段完全重合。
【解析】
(1) 这两条线段一定关于某条直线对称。
作图步骤：连接BC，分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，该直线即为所求的对称轴a。
(2) 画图过程：
① 连接点A和点C，作线段AC的垂直平分线，该直线即为对称轴b；
② 过点B作直线b的垂线，垂足为O，在垂线上点O的另一侧截取$OD=OB$，得到点B关于直线b的对称点D；
③ 连接CD，所得线段CD即为所求，此时CD与AB关于直线b成轴对称，且A与C是对称点。
(3) 能，操作方法：
① 选取合适的直线作为对称轴，对线段AB作轴对称变换，使变换后得到的线段的端点A与点C重合，此时变换后的线段与CD有公共端点C，且两条线段长度相等；
② 以这两条共端点等长线段的夹角的角平分线为对称轴，对第一次变换得到的线段再次作轴对称变换，即可使两条线段完全重合。
【答案】
(1) 是，对称轴a为线段BC的垂直平分线，作图见解析；
(2) 线段CD及对称轴b作图见解析，画图过程见解析；
(3) 能，操作方法见解析。
【知识点】
轴对称的性质、垂直平分线作图、轴对称变换
【点评】
本题围绕轴对称相关知识展开，既考查了基础的尺规作图能力，也考查了轴对称性质的灵活应用，要求学生能结合性质梳理操作逻辑，对动手能力和逻辑推理能力均有一定考查。
【难度系数】
0.6
(1) 两条共端点且长度相等的线段一定是轴对称图形，对称轴是连接两个非公共端点的线段的垂直平分线。本题中AB=AC，公共端点为A，因此只需尺规作出线段BC的垂直平分线，即可得到对称轴a。
(2) 轴对称的核心性质是对称点的连线被对称轴垂直平分，已知A和C是对称点，因此先作线段AC的垂直平分线得到对称轴b，再找到点B关于对称轴b的对称点D，连接CD即可得到与AB成轴对称的线段。
(3) 要让两条等长的任意位置线段通过轴对称重合，可分两步完成：首先通过一次轴对称变换，将其中一条线段的一个端点与另一条线段的对应端点重合，得到两条共端点的等长线段；再以这两条线段夹角的角平分线为对称轴作第二次轴对称，即可让两条线段完全重合。
【解析】
(1) 这两条线段一定关于某条直线对称。
作图步骤：连接BC，分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，该直线即为所求的对称轴a。
(2) 画图过程：
① 连接点A和点C，作线段AC的垂直平分线，该直线即为对称轴b；
② 过点B作直线b的垂线，垂足为O，在垂线上点O的另一侧截取$OD=OB$，得到点B关于直线b的对称点D；
③ 连接CD，所得线段CD即为所求，此时CD与AB关于直线b成轴对称，且A与C是对称点。
(3) 能，操作方法：
① 选取合适的直线作为对称轴，对线段AB作轴对称变换，使变换后得到的线段的端点A与点C重合，此时变换后的线段与CD有公共端点C，且两条线段长度相等；
② 以这两条共端点等长线段的夹角的角平分线为对称轴，对第一次变换得到的线段再次作轴对称变换，即可使两条线段完全重合。
【答案】
(1) 是，对称轴a为线段BC的垂直平分线，作图见解析；
(2) 线段CD及对称轴b作图见解析，画图过程见解析；
(3) 能，操作方法见解析。
【知识点】
轴对称的性质、垂直平分线作图、轴对称变换
【点评】
本题围绕轴对称相关知识展开，既考查了基础的尺规作图能力，也考查了轴对称性质的灵活应用，要求学生能结合性质梳理操作逻辑，对动手能力和逻辑推理能力均有一定考查。
【难度系数】
0.6
