1. (2025·无锡校级月考)下列二次根式中,属于最简二次根式的是 ()

A.$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
D.$\sqrt{0.5}$

1. A 解析：A.无法继续化简，属于最简二次根式；B.$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，原式不属于最简二次根式；C.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，原式不属于最简二次根式；D.$\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，原式不属于最简二次根式.故选A.

2. 给出下列四道算式:①$\dfrac{\sqrt{(-4)^{2}ab}}{\sqrt{4ab}}=-4$;②$\dfrac{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}{\sqrt{5^{2}-3^{2}}}=1\dfrac{1}{4}$;③$\dfrac{28x}{\sqrt{7x}}=4\sqrt{x}$;④$\dfrac{\sqrt{(b-a)^{2}}}{\sqrt{a-b}}=\sqrt{a-b}(a＞b)$.其中正确的算式是 ()

A.①③
B.②④
C.①④
D.②③

2. B 解析：①$\dfrac{\sqrt{(-4)^{2}ab}}{\sqrt{4ab}}=\sqrt{\dfrac{16ab}{4ab}}=2$，故①错误；②$\dfrac{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}{\sqrt{5^{2}-3^{2}}}=\sqrt{\dfrac{5^{2}}{4^{2}}}=1\dfrac{1}{4}$，故②正确；③$\dfrac{28x}{\sqrt{7x}}=\dfrac{28x·\sqrt{7x}}{\sqrt{7x}·\sqrt{7x}}=\dfrac{28x·\sqrt{7x}}{7x}=4\sqrt{7x}$，故③错误；④$\dfrac{\sqrt{(b - a)^{2}}}{\sqrt{a - b}}=\dfrac{a - b}{\sqrt{a - b}}=\sqrt{a - b}$，故④正确.故选B.

3. 一题多解 $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$,$\sqrt{\dfrac{2}{5}}$,$\dfrac{\sqrt{2}}{5}$的大小关系是 ()

A.$\dfrac{2}{\sqrt{5}}＜\sqrt{\dfrac{2}{5}}＜\dfrac{\sqrt{2}}{5}$
B.$\sqrt{\dfrac{2}{5}}＜\dfrac{2}{\sqrt{5}}＜\dfrac{\sqrt{2}}{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{5}＜\sqrt{\dfrac{2}{5}}＜\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{5}＜\dfrac{2}{\sqrt{5}}＜\sqrt{\dfrac{2}{5}}$

3. C 解析：$\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$，$\because\sqrt{2}＜\sqrt{10}＜2\sqrt{5}$，$\therefore\dfrac{\sqrt{2}}{5}＜\sqrt{\dfrac{2}{5}}＜\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
一题多解
$\sqrt{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，对于$\dfrac{2}{\sqrt{5}}$和$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，分母相同而分子不同，比较可得$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}＜\dfrac{2}{\sqrt{5}}$；对于$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$和$\dfrac{\sqrt{2}}{5}$，分子相同而分母不同，比较可得$\dfrac{\sqrt{2}}{5}＜\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，$\therefore\dfrac{\sqrt{2}}{5}＜\sqrt{\dfrac{2}{5}}＜\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.

4. 化简:(1)$\sqrt{\dfrac{16}{3}}=$;
(2)$\sqrt{1.5}=$;(3)$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{8}}=$.

4. （1）$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ 解析：原式$=\dfrac{\sqrt{16×3}}{3}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
（2）$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ 解析：原式$=\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{3×2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.
（3）$\dfrac{5\sqrt{6}}{4}$ 解析：原式$=\dfrac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{3×2}}{2×2}=\dfrac{5\sqrt{6}}{4}$.

5. 设长方形的面积是$S$,相邻两边的长分别是$a$,$b$.
(1)若$a=\sqrt{8}$,$b=\sqrt{12}$,则$S=$;
(2)若$S=16$,$a=\sqrt{6}$,则$b=$.

5. （1）$4\sqrt{6}$ 解析：$S = ab=\sqrt{8}×\sqrt{12}=2\sqrt{2}×2\sqrt{3}=4\sqrt{6}$.
（2）$\dfrac{8\sqrt{6}}{3}$ 解析：$b=\dfrac{S}{a}=\dfrac{16}{\sqrt{6}}=\dfrac{16\sqrt{6}}{6}=\dfrac{8\sqrt{6}}{3}$.

6. 把下列各式化成最简二次根式:
(1)$\sqrt{\dfrac{1}{12}}$;
(2)$\sqrt{1\dfrac{4}{5}}$;
(3)$\dfrac{2x}{\sqrt{3x}}(x＞0)$;
(4)$\sqrt{\dfrac{3b}{8a^{3}}}(a＞0,b＞0)$.

（1）
解：$\sqrt{\frac{1}{12}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$
（2）
解：$\sqrt{1\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$
（3）
解：$\frac{2x}{\sqrt{3x}}=\frac{2x\sqrt{3x}}{3x}=\frac{2\sqrt{3x}}{3}$
（4）
解：$\sqrt{\frac{3b}{8a^{3}}}=\frac{\sqrt{3b}}{2a\sqrt{2a}}=\frac{\sqrt{6ab}}{4a^{2}}$
综上，答案依次为：（1）$\frac{\sqrt{3}}{6}$；（2）$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；（3）$\frac{2\sqrt{3x}}{3}$；（4）$\frac{\sqrt{6ab}}{4a^{2}}$。

7. 计算:
(1)$\sqrt{1\dfrac{1}{3}}÷\sqrt{2\dfrac{1}{3}}÷\sqrt{1\dfrac{2}{5}}$;
(2)$\sqrt{\dfrac{b}{a}}÷\sqrt{ab}·\sqrt{\dfrac{a^{3}}{b}}(a＞0,b＞0)$;
(3)$\sqrt{18}÷(\sqrt{84}×\sqrt{\dfrac{2}{7}})$;
(4)$8x^{2}\sqrt{xy}÷\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{x^{3}}{y}}·(-\sqrt{\dfrac{y^{2}}{x}})(x＞0,y＞0)$.

（1）
首先将带分数化为假分数：
$\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}$，$\sqrt{2\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{7}{3}}$，$\sqrt{1\frac{2}{5}}=\sqrt{\frac{7}{5}}$。
根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b ＞ 0)$，则$\sqrt{\frac{4}{3}}÷\sqrt{\frac{7}{3}}÷\sqrt{\frac{7}{5}}=\sqrt{\frac{4}{3}÷\frac{7}{3}÷\frac{7}{5}}$。
先计算$\frac{4}{3}÷\frac{7}{3}=\frac{4}{3}×\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$，再计算$\frac{4}{7}÷\frac{7}{5}=\frac{4}{7}×\frac{5}{7}=\frac{20}{49}$。
所以$\sqrt{\frac{4}{3}÷\frac{7}{3}÷\frac{7}{5}}=\sqrt{\frac{20}{49}}=\frac{2\sqrt{5}}{7}$。
（2）
根据二次根式乘除法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}·\sqrt{c}=\sqrt{\frac{a}{b}· c}(a≥0,b ＞ 0,c≥0)$：
$\sqrt{\frac{b}{a}}÷\sqrt{ab}·\sqrt{\frac{a^{3}}{b}}=\sqrt{\frac{b}{a}÷ ab·\frac{a^{3}}{b}}$。
先计算$\frac{b}{a}÷ ab=\frac{b}{a}×\frac{1}{ab}=\frac{1}{a^{2}}$，再计算$\frac{1}{a^{2}}·\frac{a^{3}}{b}=\frac{a}{b}$。
所以$\sqrt{\frac{b}{a}÷ ab·\frac{a^{3}}{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$。
（3）
先根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算括号内：
$\sqrt{84}×\sqrt{\frac{2}{7}}=\sqrt{84×\frac{2}{7}}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
再根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b ＞ 0)$，$\sqrt{18}÷2\sqrt{6}=\frac{\sqrt{18}}{2\sqrt{6}}$。
化简$\frac{\sqrt{18}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{9×2}}{2\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2×3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
（4）
根据二次根式乘除法则$m\sqrt{a}÷ n\sqrt{b}· p\sqrt{c}=\frac{mp}{n}\sqrt{\frac{a}{b}· c}(a≥0,b ＞ 0,c≥0)$：
$8x^{2}\sqrt{xy}÷\frac{1}{3}\sqrt{\frac{x^{3}}{y}}·(-\sqrt{\frac{y^{2}}{x}})=-8x^{2}×3\sqrt{xy÷\frac{x^{3}}{y}·\frac{y^{2}}{x}}$。
先计算$xy÷\frac{x^{3}}{y}=xy×\frac{y}{x^{3}}=\frac{y^{2}}{x^{2}}$，再计算$\frac{y^{2}}{x^{2}}·\frac{y^{2}}{x}=\frac{y^{4}}{x^{3}}$。
所以$-24x^{2}\sqrt{\frac{y^{4}}{x^{3}}}=-24x^{2}·\frac{y^{2}}{x\sqrt{x}}=-24x^{2}·\frac{y^{2}\sqrt{x}}{x· x}=-24y^{2}\sqrt{x}$。
综上，答案依次为：（1）$\frac{2\sqrt{5}}{7}$；（2）$\frac{\sqrt{ab}}{b}$；（3）$\frac{\sqrt{3}}{2}$；（4）$-24y^{2}\sqrt{x}$。

8. 计算$\sqrt{\dfrac{a}{b}}÷\sqrt{ab}·\sqrt{\dfrac{1}{ab}}(a＜0,b＜0)$的结果是 ()

A.$\dfrac{1}{b}\sqrt{ab}$
B.$-\dfrac{1}{b}\sqrt{ab}$
C.$\dfrac{1}{ab^{2}}\sqrt{ab}$
D.$-\dfrac{1}{ab^{2}}\sqrt{ab}$

8. D 解析：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}÷\sqrt{ab}·\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}×\dfrac{1}{ab}×\dfrac{1}{ab}}=\sqrt{\dfrac{1}{ab^{3}}}=\sqrt{\dfrac{ab}{a^{2}b^{4}}}=-\dfrac{1}{ab^{2}}\sqrt{ab}$.故选D.