10. 若$a^{2}-3ab + b^{2}=0$，且$a＞b＞0$，则$\frac{b + a}{b - a}$的值为()

A.$\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{5}$
D.$-\sqrt{5}$

10. D 解析：$\because a^{2}-3ab + b^{2}=0$，$\therefore a^{2}-2ab + b^{2}=ab$，$a^{2}+2ab + b^{2}=5ab$，$\therefore(b - a)^{2}=ab$，$(b + a)^{2}=5ab$，$\therefore b - a=\pm\sqrt{ab}$，$b + a=\pm\sqrt{5ab}$. $\because a＞b＞0$，$\therefore b - a=-\sqrt{ab}$，$b + a=\sqrt{5ab}$，$\therefore\frac{b + a}{b - a}=\frac{\sqrt{5ab}}{-\sqrt{ab}}=-\sqrt{5}$. 故选 D.

11. 已知$x = 9 - 2y$，则$3\sqrt{x - 2y}÷\sqrt{4x^{2}-16y^{2}}=$。

11. $\frac{1}{2}$ 解析：$\because x = 9 - 2y$，$\therefore x + 2y = 9$，$\therefore3\sqrt{x - 2y}÷\sqrt{4x^{2}-16y^{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x - 2y}{(x + 2y)(x - 2y)}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{x + 2y}}=\frac{3}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$.

$\because x = 9 - 2y$，$\therefore x + 2y = 9$，
$\therefore 3\sqrt{x - 2y}÷\sqrt{4x^{2}-16y^{2}}$
$=3\sqrt{x - 2y}÷\sqrt{4(x^{2}-4y^{2})}$
$=3\sqrt{x - 2y}÷[2\sqrt{(x + 2y)(x - 2y)}]$
$=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x - 2y}{(x + 2y)(x - 2y)}}$
$=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{x + 2y}}$
$=\frac{3}{2}×\sqrt{\frac{1}{9}}$
$=\frac{3}{2}×\frac{1}{3}$
$=\frac{1}{2}$

12. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 2$，$BC = 3$，若点$E$是边$CD$的中点，连接$AE$，过点$B$作$BF⊥ AE$于点$F$，则$AE· BF$的值为。

12. 6 解析：如图，连接 BE，在矩形 ABCD 中，$\because AB = 2$，$BC = 3$， $\therefore CD = AB = 2$，$AD = BC = 3$，$∠ C=∠ D = 90^{\circ}$. $\because E$ 是边 CD 的中点，$\therefore CE = DE=\frac{1}{2}CD = 1$，$\therefore AE=\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{10}$. $\because S_{△ ADE}+S_{△ BCE}+S_{△ ABE}=S_{矩形ABCD}$，$BF⊥ AE$，$\therefore\frac{1}{2}AD· DE+\frac{1}{2}BC· CE+\frac{1}{2}AE· BF = AB· BC$，即 $\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×\sqrt{10}BF = 2×3$，解得 $BF=\frac{6}{\sqrt{10}}$，$\therefore AE· BF=\sqrt{10}×\frac{6}{\sqrt{10}} = 6$.

13. 计算：
（1）$\frac{-\sqrt{45y^{2}}}{3\sqrt{5y}}(y＞0)$；
（2）$\sqrt{\frac{2}{45}}÷\frac{3}{2}\sqrt{1\frac{3}{5}}$；
（3）$\frac{1}{2}a\sqrt{ab^{2}}÷4a\sqrt{\frac{a}{b}}(a＞0,b＞0)$。

1. （1）
解：
先将$\sqrt{45y^{2}}$化简，$\sqrt{45y^{2}}=\sqrt{9y^{2}×5}=3y\sqrt{5}$（因为$y＞0$）。
则$\frac{-\sqrt{45y^{2}}}{3\sqrt{5y}}=\frac{-3y\sqrt{5}}{3\sqrt{5y}}$。
根据二次根式除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\frac{-3y\sqrt{5}}{3\sqrt{5y}}=-y\sqrt{\frac{5}{5y}}=-y\sqrt{\frac{1}{y}}$。
再化简$-y\sqrt{\frac{1}{y}}$，$-y\sqrt{\frac{1}{y}}=-\sqrt{y^{2}·\frac{1}{y}}=-\sqrt{y}$。
2. （2）
解：
先将带分数$1\frac{3}{5}$化为假分数$\frac{8}{5}$。
根据二次根式除法法则$\sqrt{\frac{a}{b}}÷\sqrt{\frac{c}{d}}=\sqrt{\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}}=\sqrt{\frac{a}{b}×\frac{d}{c}}(a≥0,b＞0,c＞0,d≥0)$，$\sqrt{\frac{2}{45}}÷\frac{3}{2}\sqrt{1\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{2}{45}}÷\frac{3}{2}\sqrt{\frac{8}{5}}$。
即$\sqrt{\frac{2}{45}}÷\frac{3}{2}\sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{45}÷\frac{8}{5}}$。
计算$\frac{2}{45}÷\frac{8}{5}=\frac{2}{45}×\frac{5}{8}=\frac{1}{36}$。
所以$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{36}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{6}=\frac{1}{9}$。
3. （3）
解：
根据二次根式除法法则$m\sqrt{a}÷ n\sqrt{b}=\frac{m}{n}\sqrt{a÷ b}(a≥0,b＞0,m,n$为实数，$n≠0)$，$\frac{1}{2}a\sqrt{ab^{2}}÷4a\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{1}{2}a÷4a×\sqrt{ab^{2}÷\frac{a}{b}}$。
先计算系数$\frac{1}{2}a÷4a=\frac{1}{2}×\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$。
再计算$ab^{2}÷\frac{a}{b}=ab^{2}×\frac{b}{a}=b^{3}$。
所以$\frac{1}{8}\sqrt{b^{3}}=\frac{1}{8}b\sqrt{b}$。
综上，（1）答案为$-\sqrt{y}$；（2）答案为$\frac{1}{9}$；（3）答案为$\frac{1}{8}b\sqrt{b}$。

14. （1）已知$y=\frac{\sqrt{(x - 1)^{2}}}{x - 1}+3$，若$x＜1$，求$y·\sqrt{3y}÷\sqrt{\frac{1}{y^{4}}}·\sqrt{\frac{1}{y}}$的值；

14. (1) $\because x＜1$，$\therefore y=\frac{|x - 1|}{x - 1}+3=\frac{-(x - 1)}{x - 1}+3 = 2$. 原式 $=y·\sqrt{3y}·\sqrt{y^{4}}·\sqrt{\frac{1}{y}}=\sqrt{3}y^{3}$. 当 $y = 2$ 时，原式 $=8\sqrt{3}$.

（2）已知$y=\sqrt{2x - 5}+\sqrt{10 - 4x}+1$，$x$，$y$均为实数，求$x\sqrt{2x}÷\sqrt{\frac{x}{y}}$的值；

(2) 由题意，得 $\begin{cases}2x - 5≥0,\\10 - 4x≥0,\end{cases}$ 解得 $x=\frac{5}{2}$，$\therefore y = 1$. $\because x\sqrt{2x}÷\sqrt{\frac{x}{y}}=x\sqrt{2x÷\frac{x}{y}}=x\sqrt{2y}$，$\therefore$ 当 $x=\frac{5}{2}$，$y = 1$ 时，原式 $=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

（3）已知$\sqrt{\frac{9 - x}{x - 6}}=\frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{x - 6}}$，且$x$为偶数，求$(1 + x)·\sqrt{\frac{1 - 2x + x^{2}}{x^{2}-1}}$的值。

(3) 由题意，得 $\begin{cases}9 - x≥0,\\x - 6＞0,\end{cases}$ 解得 $6＜x≤9$. $\because x$ 为偶数，$\therefore x = 8$，$\therefore(1 + x)·\sqrt{\frac{1 - 2x + x^{2}}{x^{2}-1}}=(1 + x)·\sqrt{\frac{(x - 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}}=\sqrt{\frac{(x + 1)^{2}(x - 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}}=\sqrt{(x + 1)(x - 1)}=\sqrt{9×7}=3\sqrt{7}$.

15. 原创题 阅读下列材料，回答问题。
我们知道一次函数$y = kx + b(k≠0,k,b$是常数)的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成$Ax + By + C = 0(A^{2}+B^{2}≠0,A,B,C$是常数)的形式，点$P(x_{0},y_{0})$到直线$Ax + By + C = 0$的距离可用公式$d=\frac{Ax_{0}+By_{0}+C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$计算。
根据以上材料解答下列问题：
（1）求点$Q(-1,3)$到直线$y = 2x - 5$的距离；
（2）直线$x+\sqrt{6}y = 5$沿$y$轴向上平移$7$个单位长度得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离。

15. (1) $y = 2x - 5$ 可变形为 $2x - y - 5 = 0$，即 $A = 2$，$B = - 1$，$C = - 5$，$\therefore$ 点 $Q(-1,3)$ 到直线 $2x - y - 5 = 0$ 的距离 $d=\frac{|2×(-1)+(-1)×3 - 5|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$，$\therefore$ 点 $Q(-1,3)$ 到直线 $y = 2x - 5$ 的距离为 $2\sqrt{5}$.
(2) 将 $y = 0$ 代入 $x+\sqrt{6}y = 5$ 得 $x = 5$，$\therefore$ 点 $(5,0)$ 在直线 $x+\sqrt{6}y = 5$ 上，将点 $(5,0)$ 沿 $y$ 轴向上平移 7 个单位长度得点 $(5,7)$，$\therefore$ 点 $(5,7)$ 在平移后的直线上，$\because x+\sqrt{6}y = 5$ 可变形为 $x+\sqrt{6}y - 5 = 0$，$\therefore$ 点 $(5,7)$ 到直线 $x+\sqrt{6}y - 5 = 0$ 的距离为 $d=\frac{|1×5+\sqrt{6}×7 - 5|}{\sqrt{1^{2}+(\sqrt{6})^{2}}}=\frac{7\sqrt{6}}{\sqrt{7}}=\sqrt{42}$. $\because$ 两直线平行，$\therefore$ 这两条平行直线之间的距离为 $\sqrt{42}$.