24. 如图，在四边形ABCD中，$AB=CD=3$，$AD=BC=4$，$∠ A=90°$，E是边AD的中点. P是边AB上的动点(点P不与点A重合)，连结EP，将线段EP绕点E逆时针旋转$90°$得到线段EQ，连结PQ、BQ.
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)点Q到边AD的距离是否为定值；请说明理由；
(3)当点Q到边CD的距离是$\frac{1}{2}$时，线段BP的长为.

24. (1)四边形 $ABCD$ 是矩形，理由略.
(2)点 $Q$ 到边 $AD$ 的距离是定值；理由如下：
如图，$E$ 是边 $AD$ 的中点，过点 $Q$ 作 $QF⊥ AD$ 于点 $F$，

$\therefore AE = DE = \frac{1}{2}AD = 2.$
$\because$ 将线段 $EP$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $90°$ 得到线段 $EQ$，
$\therefore EP = EQ,\ ∠ PEQ = 90°.$
$\therefore ∠ AEP + ∠ QEF = 90°.$
$\because ∠ A = 90°,\ \therefore ∠ AEP + ∠ APE = 90°,\ \therefore ∠ APE = ∠ QEF.$
在 $△ APE$ 和 $△ FEQ$ 中，
$\begin{cases} ∠ A = ∠ QFE = 90°, \\ ∠ APE = ∠ FEQ, \\ EP = EQ, \end{cases}$
$\therefore △ APE≌ △ FEQ(\mathrm{AAS}).$
$\therefore QF = AE = 2,$
$\therefore$ 点 $Q$ 到边 $AD$ 的距离是定值 2.
(3)$\frac{3}{2}$或$\frac{1}{2}.$