1. 若$(ax+b)(x+2)=x^2-4$，则$a^b=\_\_\_\_\_\_$。

1

先将等式左边的多项式展开：
$(ax+b)(x+2)=ax^2 + 2ax + bx + 2b = ax^2 + (2a+b)x + 2b$
已知等式右边为$x^2 -4$，根据多项式相等时对应同类项的系数相等，可得：
1. 二次项系数：$a=1$
2. 常数项：$2b=-4$，解得$b=-2$
验证一次项系数：$2a + b = 2×1 + (-2)=0$，和右边$x^2-4$的一次项系数为0，结果吻合。
将$a=1$，$b=-2$代入$a^b$，得$a^b=1^{-2}=\frac{1}{1^2}=1$。

2. 如果$(x+m)$与$(x+3)$的乘积中不含$x$的一次项，则$m$的值为（）。

A.$-3$
B.$3$
C.$0$
D.$1$

A

先根据多项式乘多项式的运算法则展开式子：
$(x+m)(x+3)=x^2 + 3x + mx + 3m = x^2 + (3+m)x + 3m$
已知乘积中不含$x$的一次项，即一次项的系数为0，可得$3+m=0$，解得$m=-3$。

3. 若$a,b$都是正数，且$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{2}{a+b}$，则$\dfrac{ab}{a^2 - b^2} =$。

$-\dfrac{1}{2}$

首先对已知等式左边通分：$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$，因此已知等式可改写为$\frac{b-a}{ab}=\frac{2}{a+b}$。交叉相乘得：$(b-a)(a+b)=2ab$，利用平方差公式展开左边得$b^2 - a^2 = 2ab$，变形可得$a^2 - b^2 = -2ab$。将$a^2 - b^2=-2ab$代入所求式子$\frac{ab}{a^2 - b^2}$，因为a、b都是正数，$ab≠0$，约分可得$\frac{ab}{-2ab}=-\frac{1}{2}$。

4. 雷达可用于飞机导航,也可用来监测飞机的飞行。假设某时刻雷达向飞机发射电磁波,电磁波遇到飞机后反射回来,又被雷达接收,两个过程共用了$5.24×10^{-5}$秒。已知电磁波的传播速度为$3.0×10^{8}$米/秒,则该时刻飞机与雷达站的距离是()。

A.$7.86×10^{3}$米
B.$7.86×10^{4}$米
C.$1.572×10^{3}$米
D.$1.572×10^{4}$米

A

电磁波从雷达发射到被接收，往返传播的总路程是雷达与飞机距离的2倍。根据路程公式s=vt，先计算总路程：s总$=3.0×10^8 m/s ×5.24×10^-5 s=1.572×10^4 m$，因此飞机与雷达的距离s=s总$/2=1.572×10^4 m ÷2=7.86×10^3 m$。

5. 把多项式$m^2(a-2)+m(2-a)$分解因式等于()。

A.$(a-2)(m^2+m)$
B.$(a-2)(m^2-m)$
C.$m(a-2)(m-1)$
D.$m(a-2)(m+1)$

C

先将多项式中的$2-a$变形为$-(a-2)$，原式化为$m^2(a-2)-m(a-2)$，首先提取公因式$(a-2)$，得到$(a-2)(m^2 - m)$，再对$m^2 - m$提取公因式$m$，最终分解结果为$m(a-2)(m-1)$。

6. 先化简,再求值:$(1+\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{1}{x^2-1}-(x-2)$,其中$x=\sqrt{2}$。

化简结果为$x^2+2$，值为4

我们按照分式运算法则逐步化简原式，再代入数值计算：
1. 计算括号内的加法：
$1+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x}{x-1}$
2. 对$x^2-1$因式分解，同时将除法转化为乘法：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此$\dfrac{x}{x-1}÷\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{x}{x-1}·(x+1)(x-1)$
3. 约去公因式$x-1$，计算得：
$x(x+1)=x^2+x$
4. 继续化简剩余部分：
$x^2+x-(x-2)=x^2+x-x+2=x^2+2$
5. 代入$x=\sqrt{2}$求值：
将$x=\sqrt{2}$代入$x^2+2$，得$(\sqrt{2})^2+2=2+2=4$

7. （1）已知$x(x-1)-(x^2-y)=-3$，求$x^2+y^2-2xy$的值。
（2）已知$a+b=2$，$ab=-2$，求$\frac{1}{2}a^3b+a^2b^2+\frac{1}{2}ab^3$的值。

（1）$\boldsymbol{9}$；（2）$\boldsymbol{-4}$

（1）先对已知等式化简：
对$x(x-1)-(x^2-y)=-3$去括号，得$x^2 - x - x^2 + y = -3$，合并同类项后可得$y - x = -3$，即$x - y = 3$。
待求式$x^2+y^2-2xy$由完全平方公式可变形为$(x-y)^2$，将$x-y=3$代入，得原式$=3^2=9$。
（2）先对待求式因式分解：
提取公因式$\frac{1}{2}ab$，可得$\frac{1}{2}a^3b+a^2b^2+\frac{1}{2}ab^3=\frac{1}{2}ab(a^2+2ab+b^2)$，括号内的部分由完全平方公式变形为$(a+b)^2$，即原式$=\frac{1}{2}ab(a+b)^2$。
将$a+b=2$，$ab=-2$代入变形后的式子，得：
原式$=\frac{1}{2} × (-2) × 2^2 = -4$。

8. 某地政府为促进消费,拉动内需,改善民生,启动"家电下乡"活动,农民购买入选的产品,政府按原价购买总额的13%给予补贴返还。某村委会组织部分农民到商场购买入选的同一型号的冰箱、电视机两种家电,已知购买冰箱的数量是电视机的2倍,且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额为15000元。根据"家电下乡"优惠政策,每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元,求冰箱、电视机各购买了多少台?
(1) 设购买电视机x台,依题意填写下列表格:

(2) 列出方程(组)并解答。

(1) 表格填写结果：冰箱行依次为$2x$、$5200$、$\frac{2600}{x}$；电视机行依次为$1950$、$\frac{1950}{x}$；
(2) 购买电视机10台，购买冰箱20台。

(1) 填写表格：
冰箱行：已知冰箱购买数量是电视机的2倍，电视机购买$x$台，因此冰箱购买数量为$2x$台；冰箱补贴返还总金额为原价总额×返还比例，即$40000×13\%=5200$元；每台冰箱补贴返还金额为总补贴除以冰箱数量，即$\frac{5200}{2x}=\frac{2600}{x}$元。
电视机行：电视机补贴返还总金额为$15000×13\%=1950$元；每台电视机补贴返还金额为总补贴除以电视机数量，即$\frac{1950}{x}$元。
(2) 根据等量关系“每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元”列分式方程：
$\frac{40000×13\%}{2x} - \frac{15000×13\%}{x} = 65$
化简方程：
$\frac{2600}{x} - \frac{1950}{x} = 65$
$\frac{650}{x}=65$
解得$x=10$。
检验：把$x=10$代入原方程分母，$2x=20≠0$，$x=10≠0$，故$x=10$是原方程的解，且符合实际意义。
则冰箱购买数量为$2x=2×10=20$台。