9. (2024·清江浦区期末) 如图, 在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36^{ \circ }$,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$.求证:$AD=BC$.

9.证明:
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°.
∵BD平分∠ABC交AC于点D,
∴∠ABD=∠DBC=36°,
∴∠A=∠ABD,
∴AD=BD.
∵∠C=72°,
∴∠BDC=72°,
∴∠C=∠BDC,
∴BC=BD,
∴AD=BC.

10. (2024·自贡)如图,在$△ ABC$中,$DE// BC,∠ EDF=∠ C.$
(1)求证:$∠ BDF=∠ A$;
(2)若$∠ A=45°$,$DF$平分$∠ BDE$,请直接写出$△ ABC$的形状.

10.解:(1)
∵DE//BC,
∴∠AED=∠C.
∵∠EDF=∠C,
∴∠EDF=∠AED,
∴DF//AC,
∴∠BDF=∠A.
(2)△ABC是等腰直角三角形,理由如下:
∵∠BDF=∠A,∠A=45°,
∴∠BDF=45°.
∵DF平分∠BDE,
∴∠BDE=2∠BDF=90°.
∵DE//BC,
∴∠B=180°-∠BDE=90°.
又
∵∠A=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形.

11. (2024·盱眙县期末) 如图,锐角$△ ABC$的两条高$BD$,$CE$相交于点$O$,且$OB=OC$.
(1)求证:$△ ABC$是等腰三角形;
(2)判断点$O$是否在$∠ BAC$的平分线上,并说明理由.

11.(1)证明:
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∵锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O,
∴∠BEC=∠CDB=90°.
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°,
∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠CBD,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)解:点O在∠BAC的平分线上.理由:如答图,连接AO.
在△AOB和△AOC中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ AO=AO, \\ OB=OC, \end{cases}$
∴△AOB≌△AOC(SSS),
∴∠BAO=∠CAO,
∴点O在∠BAC的平分线上.

[模型]作腰的平行线

[条件]$AB=AC,DE// AC$
[结论]$DB=DE$

证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C（等边对等角）。
∵ DE//AC，
∴ ∠DEB=∠C（两直线平行，同位角相等）。
∴ ∠B=∠DEB（等量代换）。
∴ DB=DE（等角对等边）。