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1. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1)x^2-2x+$ $m^2-m=0$ 有一根为 0,则 $m$ 的值是 （
A.0
B.1
C.0或1
D.0或-1
A
）A.0
B.1
C.0或1
D.0或-1
答案
1. A 解析:将 x=0 代入$(m-1)x^2-2x+m^2-m=0$ 得 $m^2-m=0$,解得 $m=0$ 或 $m=1.\because$ 原方程为一元二次方程,$\therefore m-1≠0$,即 $m≠1,\therefore m=0$,故选 A.
解析
【分析】
要解决本题，需结合一元二次方程的根的定义和一元二次方程的定义两步分析：首先利用方程的根满足方程，将x=0代入原方程得到关于m的方程，解出m的可能值；再根据一元二次方程的二次项系数不为0，筛选出符合条件的m值。
【解析】
1. 因为x=0是方程的根，将x=0代入$(m-1)x^2 -2x + m^2 -m =0$，可得：
$m^2 - m = 0$，因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$。
2. 由于原方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，因此：
$m -1 ≠0$，即$m≠1$。
3. 综合上述，m只能取0，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根
【点评】
本题考查一元二次方程的定义与根的应用，关键是牢记一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，这是易失分点，属于基础题型，需注意细节。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合一元二次方程的根的定义和一元二次方程的定义两步分析：首先利用方程的根满足方程，将x=0代入原方程得到关于m的方程，解出m的可能值；再根据一元二次方程的二次项系数不为0，筛选出符合条件的m值。
【解析】
1. 因为x=0是方程的根，将x=0代入$(m-1)x^2 -2x + m^2 -m =0$，可得：
$m^2 - m = 0$，因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$。
2. 由于原方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，因此：
$m -1 ≠0$，即$m≠1$。
3. 综合上述，m只能取0，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根
【点评】
本题考查一元二次方程的定义与根的应用，关键是牢记一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，这是易失分点，属于基础题型，需注意细节。
【难度系数】
0.5
2. (2026·泰州期中) 已知一元二次方程 $x^{2}+$ $bx+c=0$ 的两根为 $x_{1}=-1,x_{2}=3$,若方程 $x^{2}+$ $bx+c=p$($p$ 为常数)的两根均为正数,则 $p$ 的取值范围是（
A.$-4＜p＜-3$
B.$-4＜p ≤-3$
C.$-4 ≤ p＜-3$
D.$-4 ≤ p ≤-3$
C
）A.$-4＜p＜-3$
B.$-4＜p ≤-3$
C.$-4 ≤ p＜-3$
D.$-4 ≤ p ≤-3$
答案
2. C 解析:$\because$ 一元二次方程 $x^{2}+bx+c=0$ 的两根为 $x_{1}=-1$,$x_{2}=3,\therefore -1+3=-b,-1×3=c,\therefore b=-2,c=-3,\therefore$ 方程为$x^2-2x-3=0.\because x^2-2x-3-p=0$ 的两个根均为正数,设两个根为 $x_3,x_4,\therefore \begin{cases}x_3+x_4=2＞0,\\x_3·x_4=-3-p＞0,\\b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-3-p)≥0,\end{cases}$解不等式组,得$-4≤ p＜-3$,故选 C.
解析
【分析】首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出b、c的值，确定方程的具体形式；再将方程转化为标准一元二次方程，设新方程的两根，根据“两根均为正数”的条件，结合韦达定理（两根之和、两根之积的符号）和根的判别式，列出关于p的不等式组，解不等式组即可得到p的取值范围。
【解析】解：
∵一元二次方程$x^2+bx+c=0$的两根为$x_1=-1$，$x_2=3$，
∴根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=-b$，两根之积$x_1x_2=c$，
即 $-1+3=-b$，$(-1)×3=c$，
解得 $b=-2$，$c=-3$，
∴原方程为$x^2-2x-3=0$。
方程$x^2+bx+c=p$可化为$x^2-2x-3-p=0$，
设该方程的两根为$x_3$、$x_4$，
∵两根均为正数，
∴需满足：
① 两根之和$x_3+x_4=2＞0$（恒成立，无需额外限制）；
② 两根之积$x_3·x_4=-3-p＞0$；
③ 方程有两个实根，故判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×(-3-p)≥0$。
解不等式②：$-3-p＞0$ → $p＜-3$；
解不等式③：$4+12+4p≥0$ → $16+4p≥0$ → $p≥-4$；
综合两个不等式的解，得$-4≤p＜-3$，故选C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式组
【点评】本题考查一元二次方程根的性质，核心是运用韦达定理和判别式分析根的情况，解题关键是准确列出关于p的不等式组，注意判别式的取值要求，属于中等难度的基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】解：
∵一元二次方程$x^2+bx+c=0$的两根为$x_1=-1$，$x_2=3$，
∴根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=-b$，两根之积$x_1x_2=c$，
即 $-1+3=-b$，$(-1)×3=c$，
解得 $b=-2$，$c=-3$，
∴原方程为$x^2-2x-3=0$。
方程$x^2+bx+c=p$可化为$x^2-2x-3-p=0$，
设该方程的两根为$x_3$、$x_4$，
∵两根均为正数，
∴需满足：
① 两根之和$x_3+x_4=2＞0$（恒成立，无需额外限制）；
② 两根之积$x_3·x_4=-3-p＞0$；
③ 方程有两个实根，故判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×(-3-p)≥0$。
解不等式②：$-3-p＞0$ → $p＜-3$；
解不等式③：$4+12+4p≥0$ → $16+4p≥0$ → $p≥-4$；
综合两个不等式的解，得$-4≤p＜-3$，故选C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式组
【点评】本题考查一元二次方程根的性质，核心是运用韦达定理和判别式分析根的情况，解题关键是准确列出关于p的不等式组，注意判别式的取值要求，属于中等难度的基础题型。
【难度系数】0.6
3. (2026·镇江期末) 通过学习,我们知道:若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+px+q=0$有两个实数根$x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}=-p$,$x_{1}· x_{2}=q$.已知$a^{2}+3a-$$7=0$,$b^{4}-3b^{2}-7=0$,且$a+b^{2}≠0$,则代数式$\dfrac{ab^{2}-b^{2}-4}{3a}$的值等于
$-\dfrac{1}{3}$
.答案
3. $-\dfrac{1}{3}$ 解析:$a^2+3a-7=0$ 和 $b^4-3b^2-7=0$,设 $c=b^2$,则 $c^2-3c-7=0$.令 $d=-c=-b^2$,代入得 $d^2+3d-7=0$,与 $a^2+3a-7=0$形式相同,故 $a$ 和 $-b^2$ 是方程 $x^2+3x-7=0$ 的两个根.根据根与系数的关系,得 $a+(-b^2)=-3$,$a·(-b^2)=-7$,即 $a-b^2=-3$,$ab^2=7.\because \dfrac{ab^2-b^2-4}{3a}=\dfrac{b^2(a-1)-4}{3a}$,由 $a-b^2=-3$,得 $b^2=a+3$,代入分子得$(a-1)(a+3)-4=a^2+2a-3-4=a^2+2a-7$,$\therefore$ 原代数式$=\dfrac{a^2+2a-7}{3a}$,由 $a^2+3a-7=0$,得 $a^2=-3a+7$,代入分子得$(-3a+7)+2a-7=-a$,$\therefore$ 原代数式$=\dfrac{-a}{3a}=-\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
首先观察已知的两个方程，将$b^2$设为新变量$c$，可将$b^4 -3b^2 -7=0$转化为与$a^2 +3a -7=0$形式一致的一元二次方程；结合条件$a+b^2≠0$，可知$a$和$-b^2$是该一元二次方程的两个不同实根，利用韦达定理得到两根的和与积；再通过代入降次的方法，将所求代数式中的高次项用一次项替换，最终化简得出结果。
【解析】
设$c = b^2$，则$b^4 -3b^2 -7=0$可化为$c^2 -3c -7=0$，两边同乘$-1$得：$(-c)^2 +3(-c) -7=0$。
已知$a^2 +3a -7=0$，且$a+b^2≠0$（即$a≠-b^2$），因此$a$和$-b^2$是一元二次方程$x^2 +3x -7=0$的两个不同实根。
根据韦达定理，两根之和$a + (-b^2) = -3$，两根之积$a·(-b^2) = -7$，即：
$a - b^2 = -3$，$ab^2 =7$。
对所求代数式$\dfrac{ab^2 -b^2 -4}{3a}$进行变形：
由$a - b^2 = -3$得$b^2 = a +3$，代入分子：
$ab^2 -b^2 -4 = b^2(a -1) -4 = (a+3)(a-1) -4 = a^2 +2a -3 -4 = a^2 +2a -7$。
又因为$a^2 +3a -7=0$，所以$a^2 = -3a +7$，代入分子：
$a^2 +2a -7 = (-3a +7) +2a -7 = -a$。
因此原代数式为：
$\dfrac{-a}{3a}$，由于$a≠0$（若$a=0$，则$a^2 +3a -7=-7≠0$，矛盾），约去$a$得：$-\dfrac{1}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题综合考查换元思想、韦达定理的应用及代数式化简，核心是通过换元将两个方程转化为同一方程，利用根的关系简化计算，再结合方程根的性质降次，对代数变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
首先观察已知的两个方程，将$b^2$设为新变量$c$，可将$b^4 -3b^2 -7=0$转化为与$a^2 +3a -7=0$形式一致的一元二次方程；结合条件$a+b^2≠0$，可知$a$和$-b^2$是该一元二次方程的两个不同实根，利用韦达定理得到两根的和与积；再通过代入降次的方法，将所求代数式中的高次项用一次项替换，最终化简得出结果。
【解析】
设$c = b^2$，则$b^4 -3b^2 -7=0$可化为$c^2 -3c -7=0$，两边同乘$-1$得：$(-c)^2 +3(-c) -7=0$。
已知$a^2 +3a -7=0$，且$a+b^2≠0$（即$a≠-b^2$），因此$a$和$-b^2$是一元二次方程$x^2 +3x -7=0$的两个不同实根。
根据韦达定理，两根之和$a + (-b^2) = -3$，两根之积$a·(-b^2) = -7$，即：
$a - b^2 = -3$，$ab^2 =7$。
对所求代数式$\dfrac{ab^2 -b^2 -4}{3a}$进行变形：
由$a - b^2 = -3$得$b^2 = a +3$，代入分子：
$ab^2 -b^2 -4 = b^2(a -1) -4 = (a+3)(a-1) -4 = a^2 +2a -3 -4 = a^2 +2a -7$。
又因为$a^2 +3a -7=0$，所以$a^2 = -3a +7$，代入分子：
$a^2 +2a -7 = (-3a +7) +2a -7 = -a$。
因此原代数式为：
$\dfrac{-a}{3a}$，由于$a≠0$（若$a=0$，则$a^2 +3a -7=-7≠0$，矛盾），约去$a$得：$-\dfrac{1}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题综合考查换元思想、韦达定理的应用及代数式化简，核心是通过换元将两个方程转化为同一方程，利用根的关系简化计算，再结合方程根的性质降次，对代数变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
4. (2026·常州期末)解下列方程：
(1) $x(x-4)+2(x-4)=0$；
(2) $(2x+1)(x-3)=-6$.
(1) $x(x-4)+2(x-4)=0$；
(2) $(2x+1)(x-3)=-6$.
答案
4. (1)$x(x-4)+2(x-4)=0$,$\therefore (x-4)(x+2)=0$,$\therefore x-4=0$ 或$x+2=0$,$\therefore x_1=4,x_2=-2$.
(2)方程$(2x+1)(x-3)=-6$ 化为一般式为 $2x^2-5x+3=0$,$\therefore (2x-3)(x-1)=0$,$\therefore 2x-3=0$ 或 $x-1=0$,$\therefore x_1=\dfrac{3}{2},x_2=1$.
(2)方程$(2x+1)(x-3)=-6$ 化为一般式为 $2x^2-5x+3=0$,$\therefore (2x-3)(x-1)=0$,$\therefore 2x-3=0$ 或 $x-1=0$,$\therefore x_1=\dfrac{3}{2},x_2=1$.
解析
【分析】
解一元二次方程时，优先观察方程是否可通过因式分解简化计算，本题两题均适用因式分解法：第(1)题直接提取公因式转化为一次式乘积为0的形式；第(2)题需先整理为一元二次方程一般式，再用十字相乘法因式分解，进而求解。
【解析】
(1) 对原方程提取公因式$(x-4)$，得：
$(x-4)(x+2)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-4=0$ 或 $x+2=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=-2$；
(2) 先将原方程展开并整理为一元二次方程一般式：
左边展开$(2x+1)(x-3)=2x^2 -6x +x -3=2x^2 -5x -3$，移项得：
$2x^2 -5x -3 +6=0$，即$2x^2 -5x +3=0$
对一般式用十字相乘法因式分解得：
$(2x-3)(x-1)=0$
因此可得：$2x-3=0$ 或 $x-1=0$
解得：$x_1=\dfrac{3}{2}$，$x_2=1$；
【答案】
(1) $x_1=4$，$x_2=-2$；(2) $x_1=\dfrac{3}{2}$，$x_2=1$；
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的一般式；
【点评】
本题为一元二次方程的基础求解题，通过因式分解法简化计算，步骤清晰，侧重考查学生对因式分解法解一元二次方程的掌握，属于常规基础题型；
【难度系数】
0.8
解一元二次方程时，优先观察方程是否可通过因式分解简化计算，本题两题均适用因式分解法：第(1)题直接提取公因式转化为一次式乘积为0的形式；第(2)题需先整理为一元二次方程一般式，再用十字相乘法因式分解，进而求解。
【解析】
(1) 对原方程提取公因式$(x-4)$，得：
$(x-4)(x+2)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-4=0$ 或 $x+2=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=-2$；
(2) 先将原方程展开并整理为一元二次方程一般式：
左边展开$(2x+1)(x-3)=2x^2 -6x +x -3=2x^2 -5x -3$，移项得：
$2x^2 -5x -3 +6=0$，即$2x^2 -5x +3=0$
对一般式用十字相乘法因式分解得：
$(2x-3)(x-1)=0$
因此可得：$2x-3=0$ 或 $x-1=0$
解得：$x_1=\dfrac{3}{2}$，$x_2=1$；
【答案】
(1) $x_1=4$，$x_2=-2$；(2) $x_1=\dfrac{3}{2}$，$x_2=1$；
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的一般式；
【点评】
本题为一元二次方程的基础求解题，通过因式分解法简化计算，步骤清晰，侧重考查学生对因式分解法解一元二次方程的掌握，属于常规基础题型；
【难度系数】
0.8
5. 解方程：
(1) (凉山州中考)$\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{2}{x^2-1}.$
(2) (2024·上海中考)$\begin{cases} x^2-3xy-4y^2=0,\\ x+2y=6.\\ \end{cases}$
(1) (凉山州中考)$\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{2}{x^2-1}.$
(2) (2024·上海中考)$\begin{cases} x^2-3xy-4y^2=0,\\ x+2y=6.\\ \end{cases}$
答案
5. (1)$\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{2}{x^2-1}$,方程两边同乘$(x+1)(x-1)$,得 $x(x-1)=2$,整理,得 $x^2-x-2=0$,$\therefore (x+1)(x-2)=0$,解得 $x_1=-1,x_2=2$,检验:当 $x=-1$ 时,$(x+1)(x-1)=0$,$\therefore x=-1$ 是增根;当$x=2$时,$(x+1)(x-1)=3≠0$,$\therefore$ 原方程的解为 $x=2$.
(2)$\begin{cases} x^2-3xy-4y^2=0,\quad ①\\ x+2y=6,\quad ②\\ \end{cases}$ 由②得 $x=6-2y$,代入①中得$(6-2y)^2-3(6-2y)y-4y^2=0$,即$(36-24y+4y^2)-18y+6y^2-4y^2=0$,$6y^2-42y+36=0$,$6(y^2-7y+6)=0$,解得 $y=1$ 或 $y=6$,当$y=1$时,$x=6-2×1=4$;当$y=6$时,$x=6-2×6=-6$,$\therefore$ 方程组的解为$\begin{cases} x=4,\\ y=1 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-6,\\ y=6. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x^2-3xy-4y^2=0,\quad ①\\ x+2y=6,\quad ②\\ \end{cases}$ 由②得 $x=6-2y$,代入①中得$(6-2y)^2-3(6-2y)y-4y^2=0$,即$(36-24y+4y^2)-18y+6y^2-4y^2=0$,$6y^2-42y+36=0$,$6(y^2-7y+6)=0$,解得 $y=1$ 或 $y=6$,当$y=1$时,$x=6-2×1=4$;当$y=6$时,$x=6-2×6=-6$,$\therefore$ 方程组的解为$\begin{cases} x=4,\\ y=1 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-6,\\ y=6. \end{cases}$
解析
【分析】
第(1)问是分式方程，解题思路：先确定最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程后，必须代入最简公分母检验，排除使分母为0的增根，得到原方程的解；第(2)问是二元二次方程组，解题思路：利用代入消元法，从一次方程$x+2y=6$中用含$y$的式子表示$x$，代入二次方程转化为一元二次方程，解出$y$的值后再求出对应的$x$值，得到方程组的解。
【解析】
(1) 方程$\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{2}{x^2-1}$，因为$x^2-1=(x+1)(x-1)$，所以最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得：
$x(x-1)=2$，
整理得：$x^2 - x - 2 = 0$，
因式分解得：$(x+1)(x-2)=0$，
解得：$x_1=-1$，$x_2=2$，
检验：当$x=-1$时，$(x+1)(x-1)=0$，故$x=-1$是增根，舍去；当$x=2$时，$(x+1)(x-1)=3≠0$，
所以原方程的解为$x=2$。
(2) 方程组$\begin{cases} x^2-3xy-4y^2=0&①\\ x+2y=6&②\\ \end{cases}$，
由②得：$x=6-2y$ ③，
把③代入①得：$(6-2y)^2 - 3(6-2y)y - 4y^2 = 0$，
展开并整理：$36 -24y +4y^2 -18y +6y^2 -4y^2 =0$，
合并同类项得：$6y^2 -42y +36=0$，
两边同除以6得：$y^2 -7y +6=0$，
因式分解得：$(y-1)(y-6)=0$，
解得：$y_1=1$，$y_2=6$，
当$y=1$时，代入③得：$x=6-2×1=4$；
当$y=6$时，代入③得：$x=6-2×6=-6$，
所以方程组的解为$\begin{cases} x=4\\ y=1\\ \end{cases}$或$\begin{cases} x=-6\\ y=6\\ \end{cases}$。
【答案】
(1)$x=2$；(2)$\begin{cases} x=4\\ y=1\\ \end{cases}$或$\begin{cases} x=-6\\ y=6\\ \end{cases}$
【知识点】
分式方程的解法，二元二次方程组的解法，一元二次方程的解法
【点评】
本题是中考基础题型，第(1)问分式方程需注意去分母转化为整式方程后必须检验增根，这是易错点；第(2)问二元二次方程组采用代入消元法，计算时需注意展开合并同类项的准确性，整体难度适中，属于学生应掌握的基础内容。
【难度系数】
0.6
第(1)问是分式方程，解题思路：先确定最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程后，必须代入最简公分母检验，排除使分母为0的增根，得到原方程的解；第(2)问是二元二次方程组，解题思路：利用代入消元法，从一次方程$x+2y=6$中用含$y$的式子表示$x$，代入二次方程转化为一元二次方程，解出$y$的值后再求出对应的$x$值，得到方程组的解。
【解析】
(1) 方程$\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{2}{x^2-1}$，因为$x^2-1=(x+1)(x-1)$，所以最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得：
$x(x-1)=2$，
整理得：$x^2 - x - 2 = 0$，
因式分解得：$(x+1)(x-2)=0$，
解得：$x_1=-1$，$x_2=2$，
检验：当$x=-1$时，$(x+1)(x-1)=0$，故$x=-1$是增根，舍去；当$x=2$时，$(x+1)(x-1)=3≠0$，
所以原方程的解为$x=2$。
(2) 方程组$\begin{cases} x^2-3xy-4y^2=0&①\\ x+2y=6&②\\ \end{cases}$，
由②得：$x=6-2y$ ③，
把③代入①得：$(6-2y)^2 - 3(6-2y)y - 4y^2 = 0$，
展开并整理：$36 -24y +4y^2 -18y +6y^2 -4y^2 =0$，
合并同类项得：$6y^2 -42y +36=0$，
两边同除以6得：$y^2 -7y +6=0$，
因式分解得：$(y-1)(y-6)=0$，
解得：$y_1=1$，$y_2=6$，
当$y=1$时，代入③得：$x=6-2×1=4$；
当$y=6$时，代入③得：$x=6-2×6=-6$，
所以方程组的解为$\begin{cases} x=4\\ y=1\\ \end{cases}$或$\begin{cases} x=-6\\ y=6\\ \end{cases}$。
【答案】
(1)$x=2$；(2)$\begin{cases} x=4\\ y=1\\ \end{cases}$或$\begin{cases} x=-6\\ y=6\\ \end{cases}$
【知识点】
分式方程的解法，二元二次方程组的解法，一元二次方程的解法
【点评】
本题是中考基础题型，第(1)问分式方程需注意去分母转化为整式方程后必须检验增根，这是易错点；第(2)问二元二次方程组采用代入消元法，计算时需注意展开合并同类项的准确性，整体难度适中，属于学生应掌握的基础内容。
【难度系数】
0.6
6. (2025·无锡期中)我们已经学习了一元二次方程的多种解法,其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解.按照同样的思路,我们可以将更高次的方程“降次”,转化为二次方程或一次方程进行求解.
①换元法求解四次方程:$x^{4}-5x^{2}+4=0.$
设$x^{2}=y$,则原方程可变为$y^{2}-5y+4=0$,解得$y_{1}=1,y_{2}=4$,当$y=1$时,即$x^{2}=1,\therefore x=\pm1$;当$y=4$时,即$x^{2}=4,\therefore x=\pm2$,$\therefore$ 原方程有四个根:$x_{1}=1$,$x_{2}=-1$,$x_{3}=2$,$x_{4}=-2$.
②因式分解法求解三次方程:$x^{3}-5x+2=0$,将其变形为$x^{3}-(4+1)x+2=0$,$\therefore x^{3}-4x-x+2=0$,$\therefore (x^{3}-4x)-(x-2)=0$,$\therefore x(x+2)(x-2)-(x-2)=0$,$\therefore (x-2)(x^{2}+2x-1)=0$,$\therefore x-2=0$ 或$x^{2}+2x-1=0$,$\therefore$ 原方程有三个根:$x_{1}=2$,$x_{2}=-1+\sqrt{2}$,$x_{3}=-1-\sqrt{2}$.
(1)仿照以上方法解方程:
①$x^{4}+x^{2}-12=0$;
②$x^{3}-17x+4=0$.
(2)已知:$x^{2}-x-1=0$,且$x＞0$,则$x^{4}-2x^{3}+3x$ 的值为
①换元法求解四次方程:$x^{4}-5x^{2}+4=0.$
设$x^{2}=y$,则原方程可变为$y^{2}-5y+4=0$,解得$y_{1}=1,y_{2}=4$,当$y=1$时,即$x^{2}=1,\therefore x=\pm1$;当$y=4$时,即$x^{2}=4,\therefore x=\pm2$,$\therefore$ 原方程有四个根:$x_{1}=1$,$x_{2}=-1$,$x_{3}=2$,$x_{4}=-2$.
②因式分解法求解三次方程:$x^{3}-5x+2=0$,将其变形为$x^{3}-(4+1)x+2=0$,$\therefore x^{3}-4x-x+2=0$,$\therefore (x^{3}-4x)-(x-2)=0$,$\therefore x(x+2)(x-2)-(x-2)=0$,$\therefore (x-2)(x^{2}+2x-1)=0$,$\therefore x-2=0$ 或$x^{2}+2x-1=0$,$\therefore$ 原方程有三个根:$x_{1}=2$,$x_{2}=-1+\sqrt{2}$,$x_{3}=-1-\sqrt{2}$.
(1)仿照以上方法解方程:
①$x^{4}+x^{2}-12=0$;
②$x^{3}-17x+4=0$.
(2)已知:$x^{2}-x-1=0$,且$x＞0$,则$x^{4}-2x^{3}+3x$ 的值为
$1+\sqrt{5}$
.答案
6. (1)①设 $x^2=y$,则原方程可变为 $y^2+y-12=0$,解得 $y_1=3$,$y_2=-4$,当$y=3$时,即$x^2=3$,$\therefore x=\pm\sqrt{3}$;当$y=-4$时,即$x^2=-4$,$\therefore$ 方程无解.综上可得原方程有两个根:$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$.
②将$x^3-17x+4=0$变形为$x^3-(16+1)x+4=0$,$\therefore x^3-16x-x+4=0$,$\therefore (x^3-16x)-(x-4)=0$,$\therefore x(x+4)(x-4)-(x-4)=0$,$\therefore (x-4)(x^2+4x-1)=0$,$\therefore x-4=0$ 或 $x^2+4x-1=0$,$\therefore$ 原方程有三个根:$x_1=4,x_2=-2+\sqrt{5},x_3=-2-\sqrt{5}$.
(2)$1+\sqrt{5}$ 解析:$\because x^2-x-1=0$,$\therefore x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$.$\because x＞0$,$\therefore x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.$\because x^2-x-1=0$,$\therefore x^2=x+1$,则 $x^4-2x^3+3x=x^2(x^2-2x)+3x=(x+1)(x+1-2x)+3x=1-x^2+3x=1-x-1+3x=2x$,将 $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$代入上式可得 $2x=2×\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\sqrt{5}$.
②将$x^3-17x+4=0$变形为$x^3-(16+1)x+4=0$,$\therefore x^3-16x-x+4=0$,$\therefore (x^3-16x)-(x-4)=0$,$\therefore x(x+4)(x-4)-(x-4)=0$,$\therefore (x-4)(x^2+4x-1)=0$,$\therefore x-4=0$ 或 $x^2+4x-1=0$,$\therefore$ 原方程有三个根:$x_1=4,x_2=-2+\sqrt{5},x_3=-2-\sqrt{5}$.
(2)$1+\sqrt{5}$ 解析:$\because x^2-x-1=0$,$\therefore x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$.$\because x＞0$,$\therefore x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.$\because x^2-x-1=0$,$\therefore x^2=x+1$,则 $x^4-2x^3+3x=x^2(x^2-2x)+3x=(x+1)(x+1-2x)+3x=1-x^2+3x=1-x-1+3x=2x$,将 $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$代入上式可得 $2x=2×\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\sqrt{5}$.
解析
【分析】
本题核心考查“降次”思想的应用，针对高次方程，通过换元法或因式分解法将其转化为低次方程（一次或二次）求解；对于代数式求值，利用已知方程对高次项进行降次替换，简化计算。具体思路：（1）①四次方程用换元法设$x^2=y$，转化为二次方程求解；②三次方程用分组因式分解，提取公因式转化为一次和二次方程求解；（2）利用已知一元二次方程，将所求代数式的高次项逐步替换为低次项，再代入计算。
【解析】
(1) ①设$x^2=y$，则原方程变为$y^2 + y -12=0$，
解此二次方程：$y=\frac{-1\pm\sqrt{1+48}}{2}=\frac{-1\pm7}{2}$，得$y_1=3$，$y_2=-4$。
当$y=3$时，$x^2=3$，解得$x=\pm\sqrt{3}$；
当$y=-4$时，$x^2=-4$，无实根。
故原方程的根为$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$。
②将$x^3 -17x +4=0$变形为$x^3 -16x -x +4=0$，
分组得$(x^3 -16x)-(x-4)=0$，
提取公因式：$x(x^2 -16)-(x-4)=0$，即$x(x+4)(x-4)-(x-4)=0$，
再提取公因式$(x-4)$得$(x-4)(x^2 +4x -1)=0$，
则$x-4=0$或$x^2 +4x -1=0$。
解$x-4=0$得$x=4$；
解$x^2 +4x -1=0$，由求根公式得$x=\frac{-4\pm\sqrt{16+4}}{2}=-2\pm\sqrt{5}$。
故原方程的根为$x_1=4,x_2=-2+\sqrt{5},x_3=-2-\sqrt{5}$。
(2) 已知$x^2 -x -1=0$，则$x^2=x+1$，且$x＞0$，解方程得$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（舍去负根）。
对$x^4 -2x^3 +3x$降次化简：
$x^4=(x^2)^2=(x+1)^2=x^2+2x+1=(x+1)+2x+1=3x+2$，
$2x^3=2x· x^2=2x(x+1)=2x^2+2x=2(x+1)+2x=4x+2$，
则原式$=(3x+2)-(4x+2)+3x=2x$，
代入$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，得$2x=1+\sqrt{5}$。
【答案】
(1) ①$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$；②$x_1=4,x_2=-2+\sqrt{5},x_3=-2-\sqrt{5}$；(2)$1+\sqrt{5}$
【知识点】高次方程的解法（换元法、因式分解法）、代数式的降次求值
【点评】
本题围绕“降次”核心思想，综合考查高次方程的求解方法和代数式的化简求值，需要学生熟练掌握换元法、因式分解等代数变形技巧，以及利用已知方程进行降次替换的能力，对代数运算的灵活性要求较高。
【难度系数】
0.6
本题核心考查“降次”思想的应用，针对高次方程，通过换元法或因式分解法将其转化为低次方程（一次或二次）求解；对于代数式求值，利用已知方程对高次项进行降次替换，简化计算。具体思路：（1）①四次方程用换元法设$x^2=y$，转化为二次方程求解；②三次方程用分组因式分解，提取公因式转化为一次和二次方程求解；（2）利用已知一元二次方程，将所求代数式的高次项逐步替换为低次项，再代入计算。
【解析】
(1) ①设$x^2=y$，则原方程变为$y^2 + y -12=0$，
解此二次方程：$y=\frac{-1\pm\sqrt{1+48}}{2}=\frac{-1\pm7}{2}$，得$y_1=3$，$y_2=-4$。
当$y=3$时，$x^2=3$，解得$x=\pm\sqrt{3}$；
当$y=-4$时，$x^2=-4$，无实根。
故原方程的根为$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$。
②将$x^3 -17x +4=0$变形为$x^3 -16x -x +4=0$，
分组得$(x^3 -16x)-(x-4)=0$，
提取公因式：$x(x^2 -16)-(x-4)=0$，即$x(x+4)(x-4)-(x-4)=0$，
再提取公因式$(x-4)$得$(x-4)(x^2 +4x -1)=0$，
则$x-4=0$或$x^2 +4x -1=0$。
解$x-4=0$得$x=4$；
解$x^2 +4x -1=0$，由求根公式得$x=\frac{-4\pm\sqrt{16+4}}{2}=-2\pm\sqrt{5}$。
故原方程的根为$x_1=4,x_2=-2+\sqrt{5},x_3=-2-\sqrt{5}$。
(2) 已知$x^2 -x -1=0$，则$x^2=x+1$，且$x＞0$，解方程得$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（舍去负根）。
对$x^4 -2x^3 +3x$降次化简：
$x^4=(x^2)^2=(x+1)^2=x^2+2x+1=(x+1)+2x+1=3x+2$，
$2x^3=2x· x^2=2x(x+1)=2x^2+2x=2(x+1)+2x=4x+2$，
则原式$=(3x+2)-(4x+2)+3x=2x$，
代入$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，得$2x=1+\sqrt{5}$。
【答案】
(1) ①$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$；②$x_1=4,x_2=-2+\sqrt{5},x_3=-2-\sqrt{5}$；(2)$1+\sqrt{5}$
【知识点】高次方程的解法（换元法、因式分解法）、代数式的降次求值
【点评】
本题围绕“降次”核心思想，综合考查高次方程的求解方法和代数式的化简求值，需要学生熟练掌握换元法、因式分解等代数变形技巧，以及利用已知方程进行降次替换的能力，对代数运算的灵活性要求较高。
【难度系数】
0.6
