图①是第七届国际数学教育大会(简称 ICME-7)的会徽,会徽的主体图案是由图②所示的一连串直角三角形演化而成的,其中 $OA_1=A_1A_2=A_2A_3=···=A_7A_8=1$, 所以 $OA_2=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$, $OA_3=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$, $OA_4=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2,···$.把$△ OA_1A_2$的面积记为 $S_1=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$, $△ OA_2A_3$ 的面积记为 $S_2=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $△ OA_3A_4$ 的面积记为 $S_3=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2},···$.如果把图②中的直角三角形继续作下去,请解答下列问题.

(1) 请直接写出:$OA_n=\_\_\_\_\_\_$, $S_n=\_\_\_\_\_\_$.(n 为正整数)
(2) 求 $S_1^2+S_2^2+S_3^2+···+S_{88}^2$ 的值.

(1) $\sqrt{n}$，$\dfrac{\sqrt{n}}{2}$ (2) 979

一个数自乘得其平方,反之,何数平方等于某已知数?
寻觅开平方的运算方法,早就引起了人们的兴趣.在古巴比伦的泥板书、古埃及的纸草书、印度的《绳法经》和中国的《九章算术》中,均对其进行了探讨.古巴比伦的泥板书距今已有 4 000 余年,故二次根式的研究可谓历史久远.
在《九章算术》第四卷“少广”篇中,应用了开平方计算,并给出了较完整的开平方法.
开方术曰:置积为实(被开方数).借一算步之,超一等.议所得,以一乘(乘一次)所借一算为法,而以除(减).除已,倍法为定法.其复除,折法而下.复置借算步之如初.以复议一乘之,所得副,以加定法,以除.以所得副从定法,复除折下如前.若开之不尽者为不可开,当以面命之.若实有分者,通分内子为定实,乃开之,讫,开其母报除.若母不可开者,又以母乘定实,乃开之,讫,令如母而一.
比如:今有积五万五千二百二十五步.问为方几何? 答曰:二百三十五步.
分析:首先估计出边长介于 200 和 300 之间,接着依次估计十位数字和个位数字,若恰好除尽则结束,否则可以继续估计小数.但是用什么方式才能提高估计每位数字的效率呢?
原理就是完全平方公式.设平方根为 $200+a$,则 $55225=40000+400a+a^2$,改写为 $a(400+a)=15225$,这就是估算 $a$ 的思路.
尝试发现 $30×(400+30)＜15225＜40×(400+40)$,因此确定十位数字为3.依次尝试下去即可.
在学习探究二次根式与完全平方公式时,发现有以下情况,请用“＞”“＜”或“=”填空,并继续探索:
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\_\_\_\_\_\_2\sqrt{\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$;
$4+5\_\_\_\_\_\_2\sqrt{4×5}$;
$6+13\_\_\_\_\_\_2\sqrt{6×13}$;
$\frac{1}{5}+7\_\_\_\_\_\_2\sqrt{\frac{1}{5}×7}$.
由上述式子,猜测 $a+b$ 与 $2\sqrt{ab}$ 之间的关系,并说明理由.

＞ ＞ ＞ ＞ $a+b≥2\sqrt{ab}$,理由略