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7. 将$4x^2 + 1$再加上一项，不能化成$(a+b)^2$形式的是（
A.$4x$
B.$-4x$
C.$4x^4$
D.$16x^4$
D
）A.$4x$
B.$-4x$
C.$4x^4$
D.$16x^4$
答案
D
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构特征：$(a±b)^2 = a^2±2ab+b^2$，即式子需满足“两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍”的结构。我们只需将每个选项的代数式依次加到$4x^2+1$上，判断所得式子是否符合完全平方公式的结构，不符合的即为所求答案。
【解析】
结合完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$逐项分析：
1. 选项A：加$4x$，得$4x^2+4x+1=(2x)^2+2×2x×1+1^2=(2x+1)^2$，符合要求，排除A；
2. 选项B：加$-4x$，得$4x^2-4x+1=(2x)^2-2×2x×1+1^2=(2x-1)^2$，符合要求，排除B；
3. 选项C：加$4x^4$，得$4x^4+4x^2+1=(2x^2)^2+2×2x^2×1+1^2=(2x^2+1)^2$，符合要求，排除C；
4. 选项D：加$16x^4$，得$16x^4+4x^2+1$，若要构成完全平方公式，中间项应为$\pm 2×4x^2×1=\pm8x^2$，与现有中间项$4x^2$不符，不能化成$(a+b)^2$的形式。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式的加减
3. 因式分解概念
【点评】
本题重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时需牢记完全平方公式“首平方，尾平方，积的2倍在中央”的特点，逐项验证即可得出答案，注意不要忽略差的平方的情况。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构特征：$(a±b)^2 = a^2±2ab+b^2$，即式子需满足“两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍”的结构。我们只需将每个选项的代数式依次加到$4x^2+1$上，判断所得式子是否符合完全平方公式的结构，不符合的即为所求答案。
【解析】
结合完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$逐项分析：
1. 选项A：加$4x$，得$4x^2+4x+1=(2x)^2+2×2x×1+1^2=(2x+1)^2$，符合要求，排除A；
2. 选项B：加$-4x$，得$4x^2-4x+1=(2x)^2-2×2x×1+1^2=(2x-1)^2$，符合要求，排除B；
3. 选项C：加$4x^4$，得$4x^4+4x^2+1=(2x^2)^2+2×2x^2×1+1^2=(2x^2+1)^2$，符合要求，排除C；
4. 选项D：加$16x^4$，得$16x^4+4x^2+1$，若要构成完全平方公式，中间项应为$\pm 2×4x^2×1=\pm8x^2$，与现有中间项$4x^2$不符，不能化成$(a+b)^2$的形式。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式的加减
3. 因式分解概念
【点评】
本题重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时需牢记完全平方公式“首平方，尾平方，积的2倍在中央”的特点，逐项验证即可得出答案，注意不要忽略差的平方的情况。
【难度系数】
0.7
8. 若$a^2 + 2a = 1$，则$2a^2 + 4a + 1 =$
3
。答案
3
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式和所求代数式的结构特征，发现所求代数式的前两项$2a^2+4a$是已知等式左边$a^2+2a$的2倍，因此可以利用提公因式法对所求代数式变形，将$a^2+2a$看作一个整体，代入已知数值计算即可，无需单独求解a的值，简化计算过程。
【解析】
解：已知$a^2 + 2a = 1$，
对所求代数式提取公因式变形可得：
$2a^2 + 4a + 1 = 2(a^2 + 2a) + 1$
将$a^2 + 2a = 1$代入上式：
原式$=2×1 + 1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；提公因式法因式分解
【点评】
本题是代数式求值的常见基础题型，核心是运用整体代入的思想，通过对所求代数式进行适当变形，结合已知条件直接计算，避免了求解未知数的繁琐，考查学生对代数式变形和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察已知等式和所求代数式的结构特征，发现所求代数式的前两项$2a^2+4a$是已知等式左边$a^2+2a$的2倍，因此可以利用提公因式法对所求代数式变形，将$a^2+2a$看作一个整体，代入已知数值计算即可，无需单独求解a的值，简化计算过程。
【解析】
解：已知$a^2 + 2a = 1$，
对所求代数式提取公因式变形可得：
$2a^2 + 4a + 1 = 2(a^2 + 2a) + 1$
将$a^2 + 2a = 1$代入上式：
原式$=2×1 + 1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；提公因式法因式分解
【点评】
本题是代数式求值的常见基础题型，核心是运用整体代入的思想，通过对所求代数式进行适当变形，结合已知条件直接计算，避免了求解未知数的繁琐，考查学生对代数式变形和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.85
9. 将$24×25×26×27+1$表示成一个自然数的平方，这个自然数是
649
；若从一个正整数$a$开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即$a×(a+1)×(a+2)×(a+3)+1=A^2$，其中$a$为正整数，则这个自然数$A=$$a^2+3a+1$
。答案
649；$a^2+3a+1$
解析
【分析】
本题是连续四个整数乘积加1的平方形式探究，解题思路如下：首先观察四个连续整数的结构，采用首尾分组、中间两两分组的方式相乘，得到的两个乘积刚好相差2，再将乘积加1后可转化为完全平方公式的形式，进而求出对应的自然数。第一问代入具体数值计算即可，第二问通过字母运算推导通用表达式。
【解析】
第一空求解：
1. 分组计算：将24与27配对、25与26配对计算乘积：
$24 × 27 = 648$，$25 × 26 = 650$
原式转化为：$648 × 650 + 1$
2. 变形为完全平方形式：把650改写为$648+2$，代入得：
$648 × (648+2) + 1 = 648^2 + 2 × 648 + 1$
3. 逆用完全平方公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$：
上式$=(648+1)^2 = 649^2$，因此这个自然数是649。
第二空求解：
1. 对$a(a+1)(a+2)(a+3)$分组：$[a(a+3)] × [(a+1)(a+2)]$
2. 分别展开两组整式：
$a(a+3) = a^2 + 3a$，$(a+1)(a+2) = a^2 + 3a + 2$
3. 换元简化：设$t = a^2 + 3a$，则原式变为：
$t(t+2) + 1 = t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2$
4. 代回$t$得：$(a^2 + 3a + 1)^2$，因此$A = a^2 + 3a + 1$。
【答案】
649；$a^2+3a+1$
【知识点】
完全平方公式，整式乘法，因式分解应用
【点评】
本题重点考察整式乘法和乘法公式的灵活运用能力，解题的核心是找到合理的分组方式，将四个连续数的乘积转化为差为2的两个整式的乘积，进而构造完全平方公式，掌握这类分组技巧可以快速解决同类型的规律探究问题。
【难度系数】
0.7
本题是连续四个整数乘积加1的平方形式探究，解题思路如下：首先观察四个连续整数的结构，采用首尾分组、中间两两分组的方式相乘，得到的两个乘积刚好相差2，再将乘积加1后可转化为完全平方公式的形式，进而求出对应的自然数。第一问代入具体数值计算即可，第二问通过字母运算推导通用表达式。
【解析】
第一空求解：
1. 分组计算：将24与27配对、25与26配对计算乘积：
$24 × 27 = 648$，$25 × 26 = 650$
原式转化为：$648 × 650 + 1$
2. 变形为完全平方形式：把650改写为$648+2$，代入得：
$648 × (648+2) + 1 = 648^2 + 2 × 648 + 1$
3. 逆用完全平方公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$：
上式$=(648+1)^2 = 649^2$，因此这个自然数是649。
第二空求解：
1. 对$a(a+1)(a+2)(a+3)$分组：$[a(a+3)] × [(a+1)(a+2)]$
2. 分别展开两组整式：
$a(a+3) = a^2 + 3a$，$(a+1)(a+2) = a^2 + 3a + 2$
3. 换元简化：设$t = a^2 + 3a$，则原式变为：
$t(t+2) + 1 = t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2$
4. 代回$t$得：$(a^2 + 3a + 1)^2$，因此$A = a^2 + 3a + 1$。
【答案】
649；$a^2+3a+1$
【知识点】
完全平方公式，整式乘法，因式分解应用
【点评】
本题重点考察整式乘法和乘法公式的灵活运用能力，解题的核心是找到合理的分组方式，将四个连续数的乘积转化为差为2的两个整式的乘积，进而构造完全平方公式，掌握这类分组技巧可以快速解决同类型的规律探究问题。
【难度系数】
0.7
10. 若一个整数能表示成$a^2+b^2$（$a$，$b$为整数）的形式，则称这个数为“完美数”. 例如，$5=2^2+1^2$，所以5是一个“完美数”.
（1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数”：
（2）已知$M$是一个“完美数”，且$M=x^2+4xy+5y^2-12y+k$（$x$，$y$是两个任意整数，$k$是常数），则$k$的值为
（1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数”：
13
.（2）已知$M$是一个“完美数”，且$M=x^2+4xy+5y^2-12y+k$（$x$，$y$是两个任意整数，$k$是常数），则$k$的值为
36
.答案
(1) 13 (2) 36
解析
【分析】
（1）首先明确“完美数”的定义：能表示为两个整数平方和的整数。我们先列出小于20的整数平方：$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，$4^2=16$，再找两个平方数的和满足大于10且小于20的即可。
（2）要确定k的值，需要把给定的M的表达式通过配方转化为两个完全平方式相加的形式，符合完美数的结构。先对含x的项配方，把$5y^2$拆成$4y^2+y^2$，先凑出关于x的完全平方，再让剩余含y的部分也构成完全平方，根据完全平方公式的常数项要求就能求出k的值。
【解析】
（1）根据完美数的定义，计算得$2^2+3^2=4+9=13$，13满足大于10且小于20的要求，符合条件（也可填$17=1^2+4^2$，答案不唯一）。
（2）对M的表达式进行配方：
$\begin{aligned}M&=x^2+4xy+5y^2-12y+k\\&=x^2+4xy+4y^2 + y^2 -12y +k\\&=(x+2y)^2 + (y^2 -12y +k)\end{aligned}$
因为M是完美数，需要表示为两个整数平方的和，因此$y^2-12y+k$必须是完全平方式。根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处对应$a=y$，$2ab=12y$，解得$b=6$，所以常数项$k=b^2=6^2=36$，此时$M=(x+2y)^2+(y-6)^2$，符合完美数的定义。
【答案】
（1）13（答案不唯一）；（2）36
【知识点】
完全平方公式，新定义运算，因式分解的应用
【点评】
本题结合新定义“完美数”考查完全平方公式的配方应用，第一问比较基础，理解定义后枚举即可得到答案，第二问需要熟练掌握配方方法，将多项式拆分为两个完全平方式的和，侧重考查因式分解的实际应用能力。
【难度系数】
0.75
（1）首先明确“完美数”的定义：能表示为两个整数平方和的整数。我们先列出小于20的整数平方：$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，$4^2=16$，再找两个平方数的和满足大于10且小于20的即可。
（2）要确定k的值，需要把给定的M的表达式通过配方转化为两个完全平方式相加的形式，符合完美数的结构。先对含x的项配方，把$5y^2$拆成$4y^2+y^2$，先凑出关于x的完全平方，再让剩余含y的部分也构成完全平方，根据完全平方公式的常数项要求就能求出k的值。
【解析】
（1）根据完美数的定义，计算得$2^2+3^2=4+9=13$，13满足大于10且小于20的要求，符合条件（也可填$17=1^2+4^2$，答案不唯一）。
（2）对M的表达式进行配方：
$\begin{aligned}M&=x^2+4xy+5y^2-12y+k\\&=x^2+4xy+4y^2 + y^2 -12y +k\\&=(x+2y)^2 + (y^2 -12y +k)\end{aligned}$
因为M是完美数，需要表示为两个整数平方的和，因此$y^2-12y+k$必须是完全平方式。根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处对应$a=y$，$2ab=12y$，解得$b=6$，所以常数项$k=b^2=6^2=36$，此时$M=(x+2y)^2+(y-6)^2$，符合完美数的定义。
【答案】
（1）13（答案不唯一）；（2）36
【知识点】
完全平方公式，新定义运算，因式分解的应用
【点评】
本题结合新定义“完美数”考查完全平方公式的配方应用，第一问比较基础，理解定义后枚举即可得到答案，第二问需要熟练掌握配方方法，将多项式拆分为两个完全平方式的和，侧重考查因式分解的实际应用能力。
【难度系数】
0.75
1. 在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分. 诸如“123456”、生日等简单密码很容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码是很有必要的. 有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 $x^3 + 2x^2 - x - 2$ 因式分解的结果为 $(x-1)(x+1)(x+2)$，当 $x=18$ 时，$x-1=17$，$x+1=19$，$x+2=20$，
此时可以得到数字密码171920.
（1）根据上述方法，当 $x=21$，$y=7$ 时，对于多项式 $x^3 - xy^2$ 分解因式后可以形成多个数字密码，请写出最小的数字密码.
（2）若一个直角三角形的周长是24，斜边长为10，其中两条直角边分别为 $x$，$y$，求出一个由多项式 $x^3y + xy^3$ 分解因式后得到的密码（只需1个即可）.
（3）若多项式 $x^3 + (m - 3n)x^2 - nx - 21$ 因式分解后，利用本题的方法，当 $x=27$ 时可以得到其中一个密码为242834，求 $m$，$n$ 的值.
此时可以得到数字密码171920.
（1）根据上述方法，当 $x=21$，$y=7$ 时，对于多项式 $x^3 - xy^2$ 分解因式后可以形成多个数字密码，请写出最小的数字密码.
（2）若一个直角三角形的周长是24，斜边长为10，其中两条直角边分别为 $x$，$y$，求出一个由多项式 $x^3y + xy^3$ 分解因式后得到的密码（只需1个即可）.
（3）若多项式 $x^3 + (m - 3n)x^2 - nx - 21$ 因式分解后，利用本题的方法，当 $x=27$ 时可以得到其中一个密码为242834，求 $m$，$n$ 的值.
答案
（1）$x^3-xy^2=x（x-y）(x+y)$，当$x=21$，$y=7$时，$x-y=14$，$x+y=28$，可得最小的数字密码是142128.
（2）由题意得$\begin{cases}x+y=14,\\x^2+y^2=100,\end{cases}$可得$xy=48$，而$x^3y+xy^3=xy（x^2+y^2）$，得数字密码为48100.
（3）由题意得$x^3+(m-3n)x^2-nx-21=(x-3)(x+1)(x+7)$,
$∵(x-3)(x+1)(x+7)=x^3+5x^2-17x-21$,
$∴x^3+(m-3n)x^2-nx-21=x^3+5x^2-17x-21$, $∴\begin{cases}m-3n=5,\\n=17,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=56,\\n=17,\end{cases}$ $∴m，n$的值分别是56，17.
（2）由题意得$\begin{cases}x+y=14,\\x^2+y^2=100,\end{cases}$可得$xy=48$，而$x^3y+xy^3=xy（x^2+y^2）$，得数字密码为48100.
（3）由题意得$x^3+(m-3n)x^2-nx-21=(x-3)(x+1)(x+7)$,
$∵(x-3)(x+1)(x+7)=x^3+5x^2-17x-21$,
$∴x^3+(m-3n)x^2-nx-21=x^3+5x^2-17x-21$, $∴\begin{cases}m-3n=5,\\n=17,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=56,\\n=17,\end{cases}$ $∴m，n$的值分别是56，17.
解析
【分析】
（1）要得到最小数字密码，首先需对多项式$x^3-xy^2$因式分解：先提取公因式$x$，再用平方差公式分解为三个一次因式的乘积；再将$x=21$、$y=7$代入三个因式得到对应数值，最后把三个数值从小到大排列组合即可得到最小密码。
（2）首先根据直角三角形周长和斜边长求出两直角边的和$x+y$，结合勾股定理得到$x^2+y^2$的值，再用完全平方公式求出$xy$的值；然后对多项式$x^3y+xy^3$因式分解，将得到的两个因式的数值组合即可得到密码。
（3）已知$x=27$时密码为242834，可反推三个一次因式为$(x-3)$、$(x+1)$、$(x+7)$，将三个因式展开后与原式对比，根据对应项系数相等列二元一次方程组，即可求解$m$、$n$的值。
【解析】
（1）对多项式因式分解：
$\begin{aligned}x^3-xy^2&=x(x^2-y^2)\\&=x(x-y)(x+y)\end{aligned}$
当$x=21$，$y=7$时，计算得：$x-y=21-7=14$，$x=21$，$x+y=21+7=28$，将三个数从小到大排列组合，得到最小数字密码。
（2）由题意得：
$\begin{cases}x+y=24-10=14\\x^2+y^2=10^2=100\end{cases}$
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，代入得$14^2=100+2xy$，解得$xy=48$。
对多项式因式分解：
$x^3y+xy^3=xy(x^2+y^2)$
将$xy=48$、$x^2+y^2=100$组合即可得到密码。
（3）由$x=27$时密码为242834，可得因式分解的三个一次式为$(x-3)$、$(x+1)$、$(x+7)$，展开得：
$\begin{aligned}(x-3)(x+1)(x+7)&=(x^2-2x-3)(x+7)\\&=x^3+5x^2-17x-21\end{aligned}$
原多项式为$x^3 + (m - 3n)x^2 - nx - 21$，两个多项式相等则对应项系数相等，列方程组：
$\begin{cases}m-3n=5\\-n=-17\end{cases}$
解方程组即可得到$m$、$n$的值。
【答案】
（1）最小的数字密码是142128；
（2）密码为48100（答案不唯一）；
（3）$m$的值为56，$n$的值为17。
【知识点】
因式分解的应用，勾股定理，二元一次方程组的解法
【点评】
本题以生活中的密码设置为背景，将因式分解与代数式求值、几何性质、方程组求解相结合，既考查了基础知识点的掌握程度，也考查了信息提取和知识迁移应用的能力，题型新颖，综合性较强。
【难度系数】
0.65
（1）要得到最小数字密码，首先需对多项式$x^3-xy^2$因式分解：先提取公因式$x$，再用平方差公式分解为三个一次因式的乘积；再将$x=21$、$y=7$代入三个因式得到对应数值，最后把三个数值从小到大排列组合即可得到最小密码。
（2）首先根据直角三角形周长和斜边长求出两直角边的和$x+y$，结合勾股定理得到$x^2+y^2$的值，再用完全平方公式求出$xy$的值；然后对多项式$x^3y+xy^3$因式分解，将得到的两个因式的数值组合即可得到密码。
（3）已知$x=27$时密码为242834，可反推三个一次因式为$(x-3)$、$(x+1)$、$(x+7)$，将三个因式展开后与原式对比，根据对应项系数相等列二元一次方程组，即可求解$m$、$n$的值。
【解析】
（1）对多项式因式分解：
$\begin{aligned}x^3-xy^2&=x(x^2-y^2)\\&=x(x-y)(x+y)\end{aligned}$
当$x=21$，$y=7$时，计算得：$x-y=21-7=14$，$x=21$，$x+y=21+7=28$，将三个数从小到大排列组合，得到最小数字密码。
（2）由题意得：
$\begin{cases}x+y=24-10=14\\x^2+y^2=10^2=100\end{cases}$
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，代入得$14^2=100+2xy$，解得$xy=48$。
对多项式因式分解：
$x^3y+xy^3=xy(x^2+y^2)$
将$xy=48$、$x^2+y^2=100$组合即可得到密码。
（3）由$x=27$时密码为242834，可得因式分解的三个一次式为$(x-3)$、$(x+1)$、$(x+7)$，展开得：
$\begin{aligned}(x-3)(x+1)(x+7)&=(x^2-2x-3)(x+7)\\&=x^3+5x^2-17x-21\end{aligned}$
原多项式为$x^3 + (m - 3n)x^2 - nx - 21$，两个多项式相等则对应项系数相等，列方程组：
$\begin{cases}m-3n=5\\-n=-17\end{cases}$
解方程组即可得到$m$、$n$的值。
【答案】
（1）最小的数字密码是142128；
（2）密码为48100（答案不唯一）；
（3）$m$的值为56，$n$的值为17。
【知识点】
因式分解的应用，勾股定理，二元一次方程组的解法
【点评】
本题以生活中的密码设置为背景，将因式分解与代数式求值、几何性质、方程组求解相结合，既考查了基础知识点的掌握程度，也考查了信息提取和知识迁移应用的能力，题型新颖，综合性较强。
【难度系数】
0.65
