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18.为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A，B两种树苗共17棵.已知购进1棵A种树苗与2棵B种树苗共需200元，购进2棵A种树苗与1棵B种树苗共需220元.
(1)A种树苗的单价为
(2)若该小区购进A，B两种树苗刚好用去了1220元，则购进A，B两种树苗各多少棵？
(3)若购进B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请设计一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用.
(1)A种树苗的单价为
80
元，B种树苗的单价为60
元.(2)若该小区购进A，B两种树苗刚好用去了1220元，则购进A，B两种树苗各多少棵？
(3)若购进B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请设计一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用.
答案
18.解:(1)80 60
(2)设购进A种树苗a棵,则购进B种树苗(17−a)棵.
根据题意,得80a+60(17−a)=1220,解得a=10,
∴17−a=7.
答:购进A种树苗10棵,购进B种树苗7棵.
(3)设购进A种树苗m棵,则购进B种树苗(17−m)棵.
根据题意,得$17−m＜m$,解得$m＞8\frac{1}{2}.$
∵m为整数,
∴m≥9.
∵购进A种树苗每棵需要80元,B种树苗每棵需要60元,
∴当m=9时,总费用最少,最少费用为80×9+60×(17−9)=1200(元).
答:当购进A种树苗9棵,B种树苗8棵时,总费用最少,最少费用为1200元.
(2)设购进A种树苗a棵,则购进B种树苗(17−a)棵.
根据题意,得80a+60(17−a)=1220,解得a=10,
∴17−a=7.
答:购进A种树苗10棵,购进B种树苗7棵.
(3)设购进A种树苗m棵,则购进B种树苗(17−m)棵.
根据题意,得$17−m＜m$,解得$m＞8\frac{1}{2}.$
∵m为整数,
∴m≥9.
∵购进A种树苗每棵需要80元,B种树苗每棵需要60元,
∴当m=9时,总费用最少,最少费用为80×9+60×(17−9)=1200(元).
答:当购进A种树苗9棵,B种树苗8棵时,总费用最少,最少费用为1200元.
解析
【分析】
(1) 求解A、B树苗单价时，可先设两个未知数，结合题干给出的两组购进费用的等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到两种树苗的单价。
(2) 已知两种树苗总数量和总费用，可设A种树苗的购进数量为a棵，则B种树苗数量为(17-a)棵，结合第一问求出的单价，根据总费用的等量关系列一元一次方程，解方程就能得到两种树苗的购进数量。
(3) 设计费用最少的方案时，先根据“B种树苗数量少于A种树苗数量”的不等关系列不等式，求出A种树苗数量的取值范围，再结合A种树苗单价比B种更高的特点，可知要总费用最少，需让单价更高的A种树苗取符合条件的最小整数值，代入计算即可得到最少费用。
【解析】
(1) 设A种树苗单价为x元，B种树苗单价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 200 \\2x + y = 220\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=80 \\y=60\end{cases}$，即A种树苗单价80元，B种树苗单价60元。
(2) 设购进A种树苗a棵，则购进B种树苗(17−a)棵，根据总费用列方程：
$80a + 60(17−a) = 1220$
去括号得$80a + 1020 - 60a = 1220$
合并同类项得$20a = 200$
解得$a=10$，则$17-a=17-10=7$。
(3) 设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗(17−m)棵，根据题意列不等式：
$17−m ＜ m$
解得$m ＞ 8\frac{1}{2}$
∵m为正整数，
∴m的最小取值为9。
∵A种树苗单价比B种树苗高，要总费用最少，需A种树苗数量尽可能小，即m=9，此时B种树苗数量为$17-9=8$棵。
总费用为$80×9 + 60×8 = 1200$元。
【答案】
(1) 80，60
(2) 购进A种树苗10棵，B种树苗7棵
(3) 费用最少的方案为购进A种树苗9棵、B种树苗8棵，所需费用为1200元
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是生活场景类的综合应用题，依次考查了根据等量关系列方程求解、根据不等关系列不等式确定范围、最优方案设计，解题核心是准确从题干提取对应数量关系，第三问需结合单价高低判断最优取值，逻辑清晰，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 求解A、B树苗单价时，可先设两个未知数，结合题干给出的两组购进费用的等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到两种树苗的单价。
(2) 已知两种树苗总数量和总费用，可设A种树苗的购进数量为a棵，则B种树苗数量为(17-a)棵，结合第一问求出的单价，根据总费用的等量关系列一元一次方程，解方程就能得到两种树苗的购进数量。
(3) 设计费用最少的方案时，先根据“B种树苗数量少于A种树苗数量”的不等关系列不等式，求出A种树苗数量的取值范围，再结合A种树苗单价比B种更高的特点，可知要总费用最少，需让单价更高的A种树苗取符合条件的最小整数值，代入计算即可得到最少费用。
【解析】
(1) 设A种树苗单价为x元，B种树苗单价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 200 \\2x + y = 220\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=80 \\y=60\end{cases}$，即A种树苗单价80元，B种树苗单价60元。
(2) 设购进A种树苗a棵，则购进B种树苗(17−a)棵，根据总费用列方程：
$80a + 60(17−a) = 1220$
去括号得$80a + 1020 - 60a = 1220$
合并同类项得$20a = 200$
解得$a=10$，则$17-a=17-10=7$。
(3) 设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗(17−m)棵，根据题意列不等式：
$17−m ＜ m$
解得$m ＞ 8\frac{1}{2}$
∵m为正整数，
∴m的最小取值为9。
∵A种树苗单价比B种树苗高，要总费用最少，需A种树苗数量尽可能小，即m=9，此时B种树苗数量为$17-9=8$棵。
总费用为$80×9 + 60×8 = 1200$元。
【答案】
(1) 80，60
(2) 购进A种树苗10棵，B种树苗7棵
(3) 费用最少的方案为购进A种树苗9棵、B种树苗8棵，所需费用为1200元
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是生活场景类的综合应用题，依次考查了根据等量关系列方程求解、根据不等关系列不等式确定范围、最优方案设计，解题核心是准确从题干提取对应数量关系，第三问需结合单价高低判断最优取值，逻辑清晰，实用性较强。
【难度系数】
0.7
19.新定义 定义:把形如$a+b\sqrt{m}$与$a-b\sqrt{m}$($a,b$为有理数且$b≠0,m$为正整数且开方开不尽)的两个实数称为共轭实数.
(1)请你举出一对共轭实数:________.
(2)$3\sqrt{2}$与$2\sqrt{3}$______共轭实数,$-2\sqrt{3}$与$2\sqrt{3}$______共轭实数.(填“是”或“不是”)
(3)共轭实数$a+b\sqrt{m},a-b\sqrt{m}$是有理数还是无理数?为什么?
(4)若有理数$a,b$满足$a+\sqrt{2}=3+b\sqrt{2}$,则$a+b$的值是________.
(1)请你举出一对共轭实数:________.
(2)$3\sqrt{2}$与$2\sqrt{3}$______共轭实数,$-2\sqrt{3}$与$2\sqrt{3}$______共轭实数.(填“是”或“不是”)
(3)共轭实数$a+b\sqrt{m},a-b\sqrt{m}$是有理数还是无理数?为什么?
(4)若有理数$a,b$满足$a+\sqrt{2}=3+b\sqrt{2}$,则$a+b$的值是________.
答案
19.解:(1)$8-2\sqrt{5}$与$8+2\sqrt{5}$(答案不唯一)
(2)不是 是
(3)是无理数,理由如下:
∵m是开方开不尽的数,
∴$\sqrt{m}$是无理数,而b≠0.
∴$b\sqrt{m}$是无理数,有理数a加上或减去一个无理数$b\sqrt{m}$,其结果仍是无理数.
(4)4
(2)不是 是
(3)是无理数,理由如下:
∵m是开方开不尽的数,
∴$\sqrt{m}$是无理数,而b≠0.
∴$b\sqrt{m}$是无理数,有理数a加上或减去一个无理数$b\sqrt{m}$,其结果仍是无理数.
(4)4
解析
【分析】
解题时需先牢牢抓住共轭实数的定义核心：两个数形如$a+b\sqrt{m}$和$a-b\sqrt{m}$，需同时满足①$a,b$为有理数且$b≠0$；②$m$为正整数且开方开不尽，再逐问分析：
(1) 举例子只需任选符合条件的$a,b,m$即可，答案不唯一；
(2) 判断是否为共轭实数，直接对照定义的两个条件验证即可，重点看$a$是否相等、根号内的$m$是否一致；
(3) 结合无理数的性质判断：开方开不尽的数是无理数，非零有理数乘无理数仍为无理数，有理数加减无理数结果仍是无理数；
(4) 有理数和无理数分别对应相等：等式两边有理数部分相等，含$\sqrt{2}$的系数也相等，由此求出$a,b$的值再计算$a+b$。
【解析】
(1) 取$a=8,b=2,m=5$，可得一对共轭实数：$8+2\sqrt{5}$与$8-2\sqrt{5}$（答案不唯一，符合定义即可）；
(2) $3\sqrt{2}=0+3\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}=0+2\sqrt{3}$，二者根号内的数分别为2和3，$m$不相等，不符合共轭实数定义，故不是共轭实数；
$-2\sqrt{3}=0+(-2)\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}=0-(-2)\sqrt{3}$，二者$a=0$，$b$分别为$-2$和$2$（均不为0），$m=3$符合要求，故是共轭实数；
(3) 共轭实数$a+b\sqrt{m},a-b\sqrt{m}$是无理数，理由如下：
∵$m$是开方开不尽的正整数，
∴$\sqrt{m}$是无理数，
又
∵$b≠0$且$b$是有理数，
∴$b\sqrt{m}$是无理数，
有理数$a$加上或减去无理数$b\sqrt{m}$，结果仍是无理数，故两个共轭实数都是无理数；
(4)
∵$a,b$为有理数，等式$a+\sqrt{2}=3+b\sqrt{2}$左右两边的有理数部分和含$\sqrt{2}$的系数分别对应相等，
∴$a=3$，$b=1$，则$a+b=3+1=4$。
【答案】
(1)$8+2\sqrt{5}$与$8-2\sqrt{5}$（答案不唯一）；
(2)不是，是；
(3)是无理数，理由：因为$m$开方开不尽，故$\sqrt{m}$是无理数，又$b≠0$，所以$b\sqrt{m}$是无理数，有理数$a$加减无理数结果仍是无理数；
(4)4
【知识点】
新定义应用，无理数的判定，等式恒等性质
【点评】
本题属于新定义类题型，重点考查对新概念的理解和迁移应用能力，结合了无理数的基本性质、等式对应相等的规律，整体设问循序渐进，只要紧扣定义逐一分析即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时需先牢牢抓住共轭实数的定义核心：两个数形如$a+b\sqrt{m}$和$a-b\sqrt{m}$，需同时满足①$a,b$为有理数且$b≠0$；②$m$为正整数且开方开不尽，再逐问分析：
(1) 举例子只需任选符合条件的$a,b,m$即可，答案不唯一；
(2) 判断是否为共轭实数，直接对照定义的两个条件验证即可，重点看$a$是否相等、根号内的$m$是否一致；
(3) 结合无理数的性质判断：开方开不尽的数是无理数，非零有理数乘无理数仍为无理数，有理数加减无理数结果仍是无理数；
(4) 有理数和无理数分别对应相等：等式两边有理数部分相等，含$\sqrt{2}$的系数也相等，由此求出$a,b$的值再计算$a+b$。
【解析】
(1) 取$a=8,b=2,m=5$，可得一对共轭实数：$8+2\sqrt{5}$与$8-2\sqrt{5}$（答案不唯一，符合定义即可）；
(2) $3\sqrt{2}=0+3\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}=0+2\sqrt{3}$，二者根号内的数分别为2和3，$m$不相等，不符合共轭实数定义，故不是共轭实数；
$-2\sqrt{3}=0+(-2)\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}=0-(-2)\sqrt{3}$，二者$a=0$，$b$分别为$-2$和$2$（均不为0），$m=3$符合要求，故是共轭实数；
(3) 共轭实数$a+b\sqrt{m},a-b\sqrt{m}$是无理数，理由如下：
∵$m$是开方开不尽的正整数，
∴$\sqrt{m}$是无理数，
又
∵$b≠0$且$b$是有理数，
∴$b\sqrt{m}$是无理数，
有理数$a$加上或减去无理数$b\sqrt{m}$，结果仍是无理数，故两个共轭实数都是无理数；
(4)
∵$a,b$为有理数，等式$a+\sqrt{2}=3+b\sqrt{2}$左右两边的有理数部分和含$\sqrt{2}$的系数分别对应相等，
∴$a=3$，$b=1$，则$a+b=3+1=4$。
【答案】
(1)$8+2\sqrt{5}$与$8-2\sqrt{5}$（答案不唯一）；
(2)不是，是；
(3)是无理数，理由：因为$m$开方开不尽，故$\sqrt{m}$是无理数，又$b≠0$，所以$b\sqrt{m}$是无理数，有理数$a$加减无理数结果仍是无理数；
(4)4
【知识点】
新定义应用，无理数的判定，等式恒等性质
【点评】
本题属于新定义类题型，重点考查对新概念的理解和迁移应用能力，结合了无理数的基本性质、等式对应相等的规律，整体设问循序渐进，只要紧扣定义逐一分析即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
