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1. 下列四幅图中,运用了转化策略的一共有()
①求平行四边形的面积。
②计算小数乘法。
$\begin{array}{r} 0.58\\ ×0.4\\ \hline ( )\end{array}$ $\xrightarrow[\begin{array}{r} ×10\\ ÷1000\end{array}]{\begin{array}{r} ×100\\ \end{array}} \begin{array}{r} ( )\\ ×( )\\ \hline ( )\end{array}$
③计算$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$。
④推导圆柱的体积公式。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①求平行四边形的面积。
②计算小数乘法。
$\begin{array}{r} 0.58\\ ×0.4\\ \hline ( )\end{array}$ $\xrightarrow[\begin{array}{r} ×10\\ ÷1000\end{array}]{\begin{array}{r} ×100\\ \end{array}} \begin{array}{r} ( )\\ ×( )\\ \hline ( )\end{array}$
③计算$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$。
④推导圆柱的体积公式。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
【分析】转化策略是指将未知的新问题转化为已学的、已知的旧问题来解决的思想方法。我们逐个分析四个例子：①求平行四边形面积时，通过割补把平行四边形转化为长方形，用长方形面积公式推导平行四边形面积，是转化；②计算小数乘法时，把小数转化为整数乘法计算，再调整积的小数点，是转化；③计算分数连加时，把整个图形看作单位“1”，将连加转化为1减去剩余的分数，简化计算，是转化；④推导圆柱体积时，把圆柱切拼成近似长方体，用长方体体积公式推导圆柱体积，是转化。所以四个都用了转化策略，答案选D。
【解析】1. 求平行四边形面积：利用割补法将平行四边形转化为长方形，借助长方形面积公式推导平行四边形面积，运用了转化策略；2. 计算小数乘法：计算0.58×0.4时，先将两个小数分别扩大100倍和10倍转化为整数乘法58×4，再将所得积缩小1000倍得到结果，运用了转化策略；3. 计算$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$：把整个正方形看作单位“1”，连加的和等于1减去未相加的$\frac{1}{16}$，转化为减法计算，运用了转化策略；4. 推导圆柱体积公式：将圆柱切拼成近似的长方体，利用长方体体积公式推导圆柱体积公式，运用了转化策略。综上，四个例子均运用了转化策略，答案为D。
【答案】D
【知识点】转化策略、图形公式推导、小数分数运算
【点评】本题考查对转化策略的理解与应用，需要逐一分析每个解题过程是否体现转化思想，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】1. 求平行四边形面积：利用割补法将平行四边形转化为长方形，借助长方形面积公式推导平行四边形面积，运用了转化策略；2. 计算小数乘法：计算0.58×0.4时，先将两个小数分别扩大100倍和10倍转化为整数乘法58×4，再将所得积缩小1000倍得到结果，运用了转化策略；3. 计算$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$：把整个正方形看作单位“1”，连加的和等于1减去未相加的$\frac{1}{16}$，转化为减法计算，运用了转化策略；4. 推导圆柱体积公式：将圆柱切拼成近似的长方体，利用长方体体积公式推导圆柱体积公式，运用了转化策略。综上，四个例子均运用了转化策略，答案为D。
【答案】D
【知识点】转化策略、图形公式推导、小数分数运算
【点评】本题考查对转化策略的理解与应用，需要逐一分析每个解题过程是否体现转化思想，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.5
2. 如图，$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于直线$MN$对称，$P$是直线$MN$上任意一点（$P$不与$AA'$共线）。下列结论不一定正确的是（）
A.$△ AA'P$是等腰三角形
B.$MN$垂直平分$AA'$
C.$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积相等
D.$AB=AP$
A.$△ AA'P$是等腰三角形
B.$MN$垂直平分$AA'$
C.$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积相等
D.$AB=AP$
答案
D
解析
【分析】
本题考查轴对称的性质，解题思路是根据轴对称的定义和性质，逐一分析每个选项：明确成轴对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等，图形全等；结合线段垂直平分线的性质，判断各选项是否正确，找出不一定正确的结论。
【解析】
根据轴对称的性质，逐一分析选项：
1. 选项B：因为△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线，所以MN垂直平分AA'，故B选项正确；
2. 选项A：由MN垂直平分AA'，且P在直线MN上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得PA=PA'，因此△AA'P是等腰三角形，故A选项正确；
3. 选项C：成轴对称的两个图形全等，全等三角形的面积相等，所以△ABC与△A'B'C'的面积相等，故C选项正确；
4. 选项D：AB是△ABC的边，其对应边为A'B'，而AP是直线MN上一点P到点A的线段，AB与AP之间没有必然相等的关系，因此AB=AP不一定正确，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质、全等三角形的性质
【点评】
本题是对轴对称性质的基础考查，核心是掌握成轴对称图形的性质，解题时需区分对应线段与对称轴上的线段，避免混淆概念，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
本题考查轴对称的性质，解题思路是根据轴对称的定义和性质，逐一分析每个选项：明确成轴对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等，图形全等；结合线段垂直平分线的性质，判断各选项是否正确，找出不一定正确的结论。
【解析】
根据轴对称的性质，逐一分析选项：
1. 选项B：因为△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线，所以MN垂直平分AA'，故B选项正确；
2. 选项A：由MN垂直平分AA'，且P在直线MN上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得PA=PA'，因此△AA'P是等腰三角形，故A选项正确；
3. 选项C：成轴对称的两个图形全等，全等三角形的面积相等，所以△ABC与△A'B'C'的面积相等，故C选项正确；
4. 选项D：AB是△ABC的边，其对应边为A'B'，而AP是直线MN上一点P到点A的线段，AB与AP之间没有必然相等的关系，因此AB=AP不一定正确，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质、全等三角形的性质
【点评】
本题是对轴对称性质的基础考查，核心是掌握成轴对称图形的性质，解题时需区分对应线段与对称轴上的线段，避免混淆概念，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$△ ABC$中,已知$O$是边$AB$,$AC$的垂直平分线的交点,$E$是$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线的交点。若$∠ O+∠ E=180°$,则$∠ A=\underline{\hspace{3em}}°$。
答案
36
解析
【分析】首先明确O是△ABC的外心（AB、AC垂直平分线交点），根据外心性质可得∠BOC=2∠A；E是△ABC的内心（∠ABC、∠ACB平分线交点），根据内心性质可得∠BEC=90°+½∠A。结合题目给出的∠O+∠E=180°，将两个角用含∠A的表达式代入，建立方程即可求解∠A。
【解析】
1. 因为O是AB、AC的垂直平分线的交点，所以O是△ABC的外心，根据外心性质：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得∠BOC=2∠A。
2. 因为E是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，所以E是△ABC的内心，推导∠BEC：在△BEC中，∠EBC=½∠ABC，∠ECB=½∠ACB，由三角形内角和定理，∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-½(∠ABC+∠ACB)；又因为△ABC中∠ABC+∠ACB=180°-∠A，代入得∠BEC=180°-½(180°-∠A)=90°+½∠A。
3. 已知∠O+∠E=180°，即∠BOC+∠BEC=180°，代入上述式子：
2∠A + (90° + ½∠A) = 180°
合并同类项：2.5∠A = 90°
解得：∠A=36°。
【答案】36
【知识点】三角形外心性质、三角形内心性质、三角形内角和定理
【点评】本题结合三角形外心和内心的性质，通过建立方程求解角度，关键是牢记外心、内心对应的角度关系，属于中等难度的几何角度计算题。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 因为O是AB、AC的垂直平分线的交点，所以O是△ABC的外心，根据外心性质：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得∠BOC=2∠A。
2. 因为E是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，所以E是△ABC的内心，推导∠BEC：在△BEC中，∠EBC=½∠ABC，∠ECB=½∠ACB，由三角形内角和定理，∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-½(∠ABC+∠ACB)；又因为△ABC中∠ABC+∠ACB=180°-∠A，代入得∠BEC=180°-½(180°-∠A)=90°+½∠A。
3. 已知∠O+∠E=180°，即∠BOC+∠BEC=180°，代入上述式子：
2∠A + (90° + ½∠A) = 180°
合并同类项：2.5∠A = 90°
解得：∠A=36°。
【答案】36
【知识点】三角形外心性质、三角形内心性质、三角形内角和定理
【点评】本题结合三角形外心和内心的性质，通过建立方程求解角度，关键是牢记外心、内心对应的角度关系，属于中等难度的几何角度计算题。
【难度系数】0.5
4. 如图,在$△ ABC$中,D是直线BC上一点,连接AD。$DE⊥AB,DF⊥AC$,垂足分别为E,F,连接EF,交AD于点O,DA平分$∠EDF$。
(1)请说明:AD垂直平分EF。
(2)若$△ ABC$的周长为18,面积为24,$BC=6$,求DE的长。
(1)请说明:AD垂直平分EF。
(2)若$△ ABC$的周长为18,面积为24,$BC=6$,求DE的长。
答案
(1) 已证AD垂直平分EF；(2) DE的长为4。
解析
【分析】
第(1)问要证明AD垂直平分EF，需先利用角平分线性质得到DE=DF，再通过全等三角形证明AE=AF，结合垂直平分线的判定定理得出结论；第(2)问先根据△ABC的周长求出AB+AC的长度，再利用△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积之和，结合DE=DF的关系计算DE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ DA平分∠EDF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又
∵ AD = AD，
∴ Rt△ADE ≌ Rt△ADF（HL），
∴ AE = AF，
∴ 点A在EF的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
又
∵ DE = DF，
∴ 点D也在EF的垂直平分线上，
∴ AD垂直平分EF。
(2) 解：
∵ △ABC的周长为18，BC=6，
∴ AB + AC = 18 - BC = 18 - 6 = 12，
∵ S△ABC = S△ABD + S△ACD，
∴ 24 = (1/2)·AB·DE + (1/2)·AC·DF，
由(1)知DE = DF，设DE = DF = x，
则24 = (1/2)·x·(AB + AC) = (1/2)·x·12 = 6x，
解得x = 4，即DE = 4。
【答案】
(1) AD垂直平分EF；(2) DE的长为4。
【知识点】
角平分线性质、垂直平分线判定、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了角平分线性质、全等三角形判定与性质、垂直平分线判定及三角形面积的应用，解题关键是利用角平分线性质得到DE=DF，结合垂直平分线判定和面积公式推导计算。
【难度系数】
0.5
第(1)问要证明AD垂直平分EF，需先利用角平分线性质得到DE=DF，再通过全等三角形证明AE=AF，结合垂直平分线的判定定理得出结论；第(2)问先根据△ABC的周长求出AB+AC的长度，再利用△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积之和，结合DE=DF的关系计算DE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ DA平分∠EDF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又
∵ AD = AD，
∴ Rt△ADE ≌ Rt△ADF（HL），
∴ AE = AF，
∴ 点A在EF的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
又
∵ DE = DF，
∴ 点D也在EF的垂直平分线上，
∴ AD垂直平分EF。
(2) 解：
∵ △ABC的周长为18，BC=6，
∴ AB + AC = 18 - BC = 18 - 6 = 12，
∵ S△ABC = S△ABD + S△ACD，
∴ 24 = (1/2)·AB·DE + (1/2)·AC·DF，
由(1)知DE = DF，设DE = DF = x，
则24 = (1/2)·x·(AB + AC) = (1/2)·x·12 = 6x，
解得x = 4，即DE = 4。
【答案】
(1) AD垂直平分EF；(2) DE的长为4。
【知识点】
角平分线性质、垂直平分线判定、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了角平分线性质、全等三角形判定与性质、垂直平分线判定及三角形面积的应用，解题关键是利用角平分线性质得到DE=DF，结合垂直平分线判定和面积公式推导计算。
【难度系数】
0.5
