登录
1. (2026·南京校级月考)如图所示,点C在线段AB上,AB=20,AC=$\frac{2}{5}$AB,点N是BC的中点.
(1)如图①,求CN的长度;
(2)如图②,若M是线段AB上的一点,且MN=4,试判断点M是否是线段AB的中点,并说明理由.
(1)如图①,求CN的长度;
(2)如图②,若M是线段AB上的一点,且MN=4,试判断点M是否是线段AB的中点,并说明理由.
答案
(1)因为AB=20,AC=$\frac{2}{5}$AB,所以AC=$\frac{2}{5}$×20=8,所以BC=AB-AC=20-8=12.因为点N是BC的中点,所以CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×12=6.
(2)点M是线段AB的中点.理由如下:
因为AB=20,AC=$\frac{2}{5}$AB,所以AC=$\frac{2}{5}$×20=8,所以BC=AB-AC=20-8=12.因为点N是BC的中点,所以BN=CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×12=6.因为MN=BM-BN=4,所以BM=4+6=10.因为AB=20,所以BM=$\frac{1}{2}$AB,所以点M是线段AB的中点.
(2)点M是线段AB的中点.理由如下:
因为AB=20,AC=$\frac{2}{5}$AB,所以AC=$\frac{2}{5}$×20=8,所以BC=AB-AC=20-8=12.因为点N是BC的中点,所以BN=CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×12=6.因为MN=BM-BN=4,所以BM=4+6=10.因为AB=20,所以BM=$\frac{1}{2}$AB,所以点M是线段AB的中点.
2. (2025·南阳期末)如图,线段AB=28,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度向点B运动,M为AP的中点,N为BP的中点.(1)点P出发
答案D50
7
秒后,PB=2AM.(2)在点P的运动过程中,有如下两个结论:①MN的长度不变;②2BM-BP的长度不变.请选择一个正确的结论,并求出其值.答案D50
答案
(1)7 解析:设出发x秒后PB=2AM,PA=2x,PB=28-2x,因为M为AP的中点,所以AM=x,由题意得28-2x=2x,解得x=7.
(2)选①,MN的长度不变.理由如下:因为点M为线段AP的中点,点N为线段BP的中点,所以MP=$\frac{1}{2}$AP,PN=$\frac{1}{2}$PB,所以MN=MP+PN=$\frac{1}{2}$AP+$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$(AP+PB)=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×28=14.
选②,2BM-BP的长度不变.理由如下:2BM-BP=BM+(BM-BP)=BM+MP.因为点M为线段AP的中点,所以MP=AM,所以2BM-BP=BM+AM=AB=28.
(2)选①,MN的长度不变.理由如下:因为点M为线段AP的中点,点N为线段BP的中点,所以MP=$\frac{1}{2}$AP,PN=$\frac{1}{2}$PB,所以MN=MP+PN=$\frac{1}{2}$AP+$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$(AP+PB)=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×28=14.
选②,2BM-BP的长度不变.理由如下:2BM-BP=BM+(BM-BP)=BM+MP.因为点M为线段AP的中点,所以MP=AM,所以2BM-BP=BM+AM=AB=28.
3. (2025·达州期末)如图,点B,C是线段AD上的两点,点M和点N分别在线段AB和线段CD上.
(1)当AD=8,MN=6,点M,N分别是线段AB,CD的中点时,BC=
(2)若AD=a,MN=b,当AM=2BM,DN=2CN时,求BC的长度.(用含a和b的代数式表示)
(1)当AD=8,MN=6,点M,N分别是线段AB,CD的中点时,BC=
4
;(2)若AD=a,MN=b,当AM=2BM,DN=2CN时,求BC的长度.(用含a和b的代数式表示)
答案
(1)4 解析:因为AD=8,MN=6,所以AM+DN=AD-MN=8-6=2.因为点M,N分别是线段AB,CD的中点,所以AM=BM,CN=DN,所以AB+CD=2AM+2DN=2(AM+DN)=2×2=4,所以BC=AD-(AB+CD)=8-4=4.
(2)因为AD=a,MN=b,所以AM+DN=AD-MN=a-b.因为AM=2BM,DN=2CN,所以AB+CD=$\frac{3}{2}(AM+DN)=\frac{3}{2}(a-b)$,所以BC=AD-(AB+CD)=a-$\frac{3}{2}(a-b)=\frac{3}{2}b-\frac{1}{2}a$.
(2)因为AD=a,MN=b,所以AM+DN=AD-MN=a-b.因为AM=2BM,DN=2CN,所以AB+CD=$\frac{3}{2}(AM+DN)=\frac{3}{2}(a-b)$,所以BC=AD-(AB+CD)=a-$\frac{3}{2}(a-b)=\frac{3}{2}b-\frac{1}{2}a$.
4. 如图,点B,D在线段AC上,且$BD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{4}CD$,E,F分别是AB,CD的中点,$EF=10\ \mathrm{cm}$,求AB的长度.
答案
由BD=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{4}$CD,得AB=3BD,CD=4BD,所以AD=AB-BD=2BD,所以AC=AD+CD=2BD+4BD=6BD.因为E,F分别是AB,CD的中点,所以AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$BD,FC=$\frac{1}{2}$CD=2BD,EF=AC-AE-FC=6BD-$\frac{3}{2}$BD-2BD=$\frac{5}{2}$BD=10 cm,解得BD=4 cm,则AB=3BD=3×4=12(cm).
