得 出 结 论

我发现:从一个长方体中挖去一个正方体,不挖穿时,长方体的表面积有时(),有时();挖穿时,长方体的表面积有时(),有时(),有时()。"变或不变"要看具体情况,画出示意图就一目了然了。

不挖穿时，表面积有时增加，有时不变；挖穿时，表面积有时减少，有时不变，有时增加。

【分析】要判断从长方体中挖去正方体后的表面积变化，需对比挖去正方体时减少的面和新增的面的数量：若新增面数与减少面数相等，表面积不变；新增面数多于减少面数，表面积增加；新增面数少于减少面数，表面积减少。分“不挖穿”和“挖穿”两类情况，根据挖取的位置/范围分析面的变化。
【解析】1. 操作①（不挖穿）：
在长方体顶点处挖正方体：原长方体减少3个正方形面，同时新露出3个正方形面，表面积不变；
在长方体棱中间（非顶点）挖正方体：原长方体减少2个正方形面，新露出4个正方形面，表面积增加；
在长方体面中间（非棱）挖正方体：原长方体减少1个正方形面，新露出5个正方形面，表面积增加；
2. 操作②（挖穿）：
挖穿一个面形成凹槽：减少2个正方形面，新增4个正方形面，表面积增加；
挖穿形成通道：减少的面数与新增的面数相等，表面积不变；
挖穿对面形成更大空间：减少的面数多于新增的面数，表面积减少；
综上，不挖穿时表面积有时增加、有时不变；挖穿时表面积有时减少、有时不变、有时增加。
【答案】不挖穿时，表面积有时增加，有时不变；挖穿时，表面积有时减少，有时不变，有时增加。
【知识点】长方体表面积、正方体表面积、立体图形表面积变化
【点评】本题通过不同挖取位置的立体图形表面积变化，考查空间想象能力和对表面积概念的理解，核心是对比减少与新增的面的数量，需结合具体图形分析，难度适中。
【难度系数】0.5

如下图,先从一个棱长 4 cm 的正方体的上面向下挖去一个棱长 2 cm 的正方体洞,再从该洞的下面向下挖去一个棱长 1 cm 的正方体小洞,你能计算出最后得到的立体图形的表面积吗?

4×4×6+2×2×4+1×1×4=116(cm²)

【分析】
计算该立体图形的表面积，需先确定原正方体的表面积，再分析两次挖洞对表面积的影响：向下挖正方体洞时，洞顶部挖去的面会被洞的底面补充，不会减少总表面积，仅新增洞的4个侧面面积，据此逐步计算即可。
【解析】
1. 原棱长为4cm的正方体表面积：根据正方体表面积公式 $S=6a^2$，代入得 $4×4×6=96 \, \mathrm{cm}^2$。
2. 挖棱长2cm的正方体洞，新增4个边长为2cm的正方形侧面面积：$2×2×4=16 \, \mathrm{cm}^2$。
3. 挖棱长1cm的正方体小洞，新增4个边长为1cm的正方形侧面面积：$1×1×4=4 \, \mathrm{cm}^2$。
4. 总表面积为三者之和：$96+16+4=116 \, \mathrm{cm}^2$。
【答案】
116 cm²
【知识点】
正方体表面积、立体图形表面积计算
【点评】
本题考查立体图形挖洞后的表面积计算，核心是理解挖洞时表面积的增减规律，需具备空间想象能力，避免误判面的数量变化。
【难度系数】
0.4