一、一次函数的概念
1. 下列函数是正比例函数的是（）

A.$y=3x+1$
B.$y=3x^2$
C.$y=\dfrac{3}{x}$
D.$y=\dfrac{x}{3}$

1.D

【分析】
要解决这道题，首先需要牢记正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$是常数，$k≠0$）的函数叫做正比例函数，其核心特征为：①自变量$x$的次数为1；②不含常数项；③系数$k$为不为0的常数。解题时我们只需要对照定义逐一判断每个选项是否符合特征，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确正比例函数的判定标准：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠ 0$）的函数是正比例函数，我们逐一分析选项：
1. 选项A：$y=3x+1$含有常数项1，属于一次函数，不符合正比例函数的形式，排除；
2. 选项B：$y=3x^2$中自变量$x$的次数是2，属于二次函数，不符合要求，排除；
3. 选项C：$y=\dfrac{3}{x}$的自变量在分母位置，属于反比例函数，不符合要求，排除；
4. 选项D：$y=\dfrac{x}{3}$可变形为$y=\dfrac{1}{3}x$，符合$y=kx$（$k=\dfrac{1}{3}≠0$）的正比例函数形式。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的概念；函数类型识别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心考察对正比例函数定义的理解和应用，熟练掌握各类常见函数的形式特征就能快速解题，是函数入门的典型基础题型。
【难度系数】
0.9

2. 下列式子:①$y = 3x - 5$;②$y = \frac{1}{x}$;③$y = \sqrt{x - 1}$;④$y = x^2 + 1$;⑤$y = -4x$,其中$y$是$x$的一次函数的有 （）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

2.A

【分析】
解题时首先要明确一次函数的判定标准：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数是一次函数，其中当$b=0$时的正比例函数属于特殊的一次函数。接下来按照这个标准逐个判断给出的5个式子，统计符合要求的数量即可得到答案。
【解析】
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$，$b$是常数，$k≠0$）的函数为一次函数，且正比例函数$y=kx$（$k≠0$）属于特殊的一次函数，逐个分析如下：
①$y=3x-5$：符合一次函数的形式，$k=3≠0$，$b=-5$，是一次函数；
②$y=\frac{1}{x}$：属于反比例函数，自变量$x$的次数为$-1$，不符合一次函数要求，不是一次函数；
③$y=\sqrt{x-1}$：自变量含根号，右侧不是整式，不符合一次函数要求，不是一次函数；
④$y=x^2+1$：自变量$x$的次数为$2$，属于二次函数，不是一次函数；
⑤$y=-4x$：是$k=-4≠0$的正比例函数，属于特殊的一次函数。
综上，是一次函数的有①和⑤，共2个，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 正比例函数与一次函数的关系
【点评】
本题是一次函数判定的基础题，解题的关键是牢记一次函数的三个核心特征：函数表达式右侧是整式、自变量的最高次数为1、一次项系数不为0，同时不要遗漏正比例函数属于特殊的一次函数。
【难度系数】
0.8

3. 已知函数$y=(m-2)x^{|m-1|}+n-3$是正比例函数，则$m+n$的值为（）

A.0
B.1
C.2
D.3

3.D

【分析】
要解决本题，首先需明确正比例函数的定义要求：正比例函数的形式为$y=kx$（$k$是常数且$k≠0$），需同时满足三个条件：①自变量$x$的次数为1；②自变量的系数不为0；③常数项为0。我们可以根据这三个条件分别列出关于$m$、$n$的方程和不等式，求解出$m$、$n$的取值后即可计算$m+n$的值。
【解析】
∵ 函数$y=(m-2)x^{|m-1|}+n-3$是正比例函数
∴ 需同时满足以下三个条件：
1. 自变量次数为1：$|m-1|=1$
解绝对值方程得：$m-1=1$或$m-1=-1$，即$m=2$或$m=0$
2. 自变量系数不为0：$m-2≠0$，即$m≠2$
结合上一步结果，舍去$m=2$，得$m=0$
3. 常数项为0：$n-3=0$，解得$n=3$
∴ $m+n=0+3=3$
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 绝对值方程求解
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是正比例函数定义的典型应用考题，易错点是容易遗漏“自变量系数不为0”的限制条件，错误取$m=2$导致结果出错，解题时需将定义对应的所有限制条件逐一罗列验证，避免漏判。
【难度系数】
0.7

4. 下列各组变量的关系成正比例关系的有（）

A.人的身高与年龄
B.汽车从甲地到乙地,所用时间与行驶速度
C.正方形的面积与它的边长
D.圆的周长与它的半径

4.D

【分析】
解题的核心是先明确正比例关系的判定标准：若两个相关联的变量x、y满足y=kx（k为不为0的常数），即两个变量的比值为固定定值时，二者成正比例关系。我们只需将每个选项中两个变量的关系列出来，对照判定标准逐一排查即可得出正确答案。
【解析】
首先回忆正比例关系的定义：两个相关联的量，若它们的商（比值）为固定的非零常数，则这两个量成正比例关系，对应表达式为y=kx（k≠0，k为常数）。
逐一分析选项：
A. 人的身高随年龄增长，但成年后身高不再随年龄增长而变化，且身高与年龄的比值不是固定常数，不符合正比例关系，排除；
B. 甲乙两地路程固定为s，行驶时间t和速度v的关系为t=s/v，二者乘积为定值，是反比例关系，不符合要求，排除；
C. 正方形面积S与边长a的关系为S=a²，S与a的比值为a（是变量），不是固定定值，不符合正比例关系，排除；
D. 圆的周长C与半径r的关系为C=2πr，其中2π是固定的非零常数，C与r的比值为定值，符合正比例关系的判定标准。
【答案】
D
【知识点】
正比例关系判定；常见数量关系分析
【点评】
本题考查对正比例关系概念的掌握，解题的关键是抓住“两个变量的比值为非零定值”这一核心判定依据，注意区分正比例、反比例及其他函数关系的差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

5. 某油箱中存油 20 L,油从管道中匀速流出,流速为 0.2 L/min,则油箱中剩油量 Q(单位:L)与流出时间 t(单位:min)的函数解析式为 （）

A.$Q=20+0.2t$
B.$Q=20+0.2t(t≥0)$
C.$Q=20-0.2t(0≤ t≤100)$
D.$Q=20-0.2t$

5.C

【分析】
要确定剩油量与流出时间的函数解析式，首先找准等量关系：油箱剩油量=原有存油量-流出的油量，先写出初步的函数表达式，再结合实际意义确定自变量t的取值范围：时间不能为负数，同时剩油量也不能为负数，据此求出t的范围后对应选项判断即可。
【解析】
第一步：根据题意列函数表达式
已知油箱原有存油20L，流速为0.2L/min，t分钟流出的油量为$0.2t\ \mathrm{L}$，因此剩油量$Q = 20 - 0.2t$。
第二步：确定自变量t的取值范围
① 时间t是非负数，因此$t≥0$；
② 剩油量Q不能为负数，即$Q≥0$，代入表达式得：
$20 - 0.2t ≥ 0$
解得$t ≤ 100$
综上，t的取值范围是$0≤ t≤100$，因此函数解析式为$Q=20-0.2t(0≤ t≤100)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数实际应用；自变量取值范围确定
【点评】
本题是一次函数在实际问题中的应用，解题的关键是找准等量关系列出函数表达式，同时需注意结合实际问题的限制条件确定自变量的取值范围，忽略取值范围是此类题的常见易错点。
【难度系数】
0.7

6. 如图23-1,某人驱车在离A地10 km的P地出发,向B地匀速行驶,30 min后离P地50 km,设出发x h后,汽车离A地y km(未到达B地前),则y与x的函数解析式为
()


A.$y=50x$
B.$y=100x+10$
C.$y=50x-10$
D.$y=100x$

6.B

【分析】
要解决这个问题，首先我们需要明确y的含义是汽车出发x小时后离A地的距离，这类问题属于一次函数的实际应用，解题思路分为三步：第一步先计算汽车的行驶速度，第二步确定初始状态下离A地的距离，第三步结合行程路程公式写出y与x的函数关系。首先注意时间单位要统一，30分钟换算成0.5小时，用行驶的路程除以对应时间得到速度；其次汽车从P地出发时已经离A地10km，所以总距离要加上这个初始距离，最后就能推导出解析式。
【解析】
首先统一单位：$30\ \mathrm{min} = 0.5\ \mathrm{h}$
第一步，计算汽车的行驶速度：
已知0.5小时行驶了50 km，所以速度$v=\frac{路程}{时间}=\frac{50}{0.5}=100\ \mathrm{km/h}$
第二步，分析离A地的距离构成：
出发时汽车在P地，已经离A地10 km，行驶x小时后，汽车又行驶了$100x\ \mathrm{km}$，因此离A地的总距离$y = 初始距离 + 行驶的路程 = 10 + 100x$，即$y=100x+10$（未到达B地前）。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用；行程问题公式；函数解析式求解
【点评】
本题是一次函数结合行程问题的基础题，解题的关键是准确理解y的实际意义，不要遗漏初始时离A地的10 km，同时注意单位统一，正确计算行驶速度即可轻松求解。
【难度系数】
0.8

7. 已知函数$y=(m-2)x^{m-3}+6$是关于$x$的一次函数，则$m=$.

7. 4

【分析】
要解决这道题，首先要回忆一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数是一次函数，它有两个核心要求：一是自变量$x$的次数为1，二是$x$的系数不能为0。我们根据这两个要求分别列式，再取同时满足两个条件的$m$值即可。
【解析】
∵函数$y=(m-2)x^{m-3}+6$是关于$x$的一次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 自变量$x$的次数为1：$m-3=1$，解得$m=4$；
2. $x$的系数不为0：$m-2≠0$，解得$m≠2$。
综上，$m=4$符合所有要求。
【答案】
4
【知识点】
一次函数的定义、一元一次方程求解
【点评】
本题是一次函数的基础概念题，解题核心是牢记一次函数的两个限制条件，尤其要注意不要遗漏系数不为0的要求，避免出现不必要的错解。
【难度系数】
0.8

8. 已知$y=(m-2)x+|m|-2$.
(1)当$m$满足什么条件时,$y=(m-2)x+|m|-2$是一次函数?
(2)当$m$满足什么条件时,$y=(m-2)x+|m|-2$是正比例函数?

8. (1)由题意,得 $m-2≠0$. 解得 $m≠2$.
(2)由题意,得 $|m|-2=0$,且 $m-2≠0$. 解得 $m=-2$.

【分析】
要解决这两个问题，首先需要明确一次函数和正比例函数的定义：①一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），核心要求是自变量$x$的系数不为0，常数项无特殊限制；②正比例函数是特殊的一次函数，一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），除了要求$x$的系数不为0，还要求常数项为0。
对于第(1)问，只需根据一次函数的定义，令$x$的系数不等于0，解不等式即可得到$m$的取值范围；对于第(2)问，要结合正比例函数的两个要求，先令常数项等于0求出$m$的可能值，再排除使得$x$系数为0的$m$值，即可得到正确结果。
【解析】
(1) 根据一次函数的定义，一次项系数不能为0，因此：
$m-2≠0$
解得：$m≠2$
(2) 根据正比例函数的定义，需要同时满足两个条件：常数项为0，且一次项系数不为0，因此列条件：
$\begin{cases}|m|-2=0 \\m-2≠0\end{cases}$
解$|m|-2=0$得$m=\pm2$，结合$m≠2$的要求，最终得$m=-2$
【答案】
(1) $m≠2$；(2) $m=-2$
【知识点】
一次函数的定义，正比例函数的定义
【点评】
本题是函数定义类的基础题型，核心是区分一次函数和正比例函数的成立条件，解题时尤其要注意正比例函数是特殊的一次函数，不能遗漏一次项系数不为0的要求，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8