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8. 如图,将面积为3的正方形放在数轴上,以表示实数1的点为圆心、正方形的边长为半径作圆,交数轴于点A、B,则点A表示的数为(
A.$1-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}-1$
C.$-\sqrt{3}-1$
D.$\sqrt{3}+1$
A
)A.$1-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}-1$
C.$-\sqrt{3}-1$
D.$\sqrt{3}+1$
答案
8. A 解析:$\because$正方形的面积为 3,$\therefore$正方形的边长为$\sqrt{3}$,即圆的半径为$\sqrt{3}$,$\therefore$点 A 表示的数为$1-\sqrt{3}$.
解析
【分析】
要确定点A表示的数，首先需要求出圆的半径，也就是正方形的边长。已知正方形面积，可通过正方形面积公式求出边长，即圆的半径；再结合圆心对应数轴上的数为1，点A在圆心左侧，用圆心对应的数减去半径即可得到点A表示的数。
【解析】
1. 求正方形的边长：设正方形边长为$r$，根据正方形面积公式$S=r^2$，已知面积为3，可得$r^2=3$，因为边长为正数，因此$r=\sqrt{3}$，即圆的半径为$\sqrt{3}$。
2. 求点A表示的数：圆的圆心对应数轴上的数为1，点A在圆心左侧，到圆心的距离等于半径$\sqrt{3}$，因此点A表示的数为$1-\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，数轴上点的表示
【点评】
本题是几何与数轴结合的基础题，解题关键是先通过正方形面积求出圆的半径，再结合点在数轴上的相对位置计算对应实数，解题时注意区分点在圆心的左右侧，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
要确定点A表示的数，首先需要求出圆的半径，也就是正方形的边长。已知正方形面积，可通过正方形面积公式求出边长，即圆的半径；再结合圆心对应数轴上的数为1，点A在圆心左侧，用圆心对应的数减去半径即可得到点A表示的数。
【解析】
1. 求正方形的边长：设正方形边长为$r$，根据正方形面积公式$S=r^2$，已知面积为3，可得$r^2=3$，因为边长为正数，因此$r=\sqrt{3}$，即圆的半径为$\sqrt{3}$。
2. 求点A表示的数：圆的圆心对应数轴上的数为1，点A在圆心左侧，到圆心的距离等于半径$\sqrt{3}$，因此点A表示的数为$1-\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，数轴上点的表示
【点评】
本题是几何与数轴结合的基础题，解题关键是先通过正方形面积求出圆的半径，再结合点在数轴上的相对位置计算对应实数，解题时注意区分点在圆心的左右侧，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
9. 如图,阴影部分表示以$\mathrm{Rt}△ ABC$的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形,面积分别记作$S_1$和$S_2$.若$AC=6$,$BC=8$,则阴影部分面积$S_1+S_2$是 （
A.$9π$
B.$12.5π$
C.$14$
D.$24$
D
）A.$9π$
B.$12.5π$
C.$14$
D.$24$
答案
9. D 解析:由题意,得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$.由题图可知,阴影部分$S_1+S_2=S_{\mathrm{半圆}AC}+S_{\mathrm{半圆}BC}+S_{△ ABC}-S_{\mathrm{半圆}AB}=\frac{1}{2}×π× 3^2+\frac{1}{2}×π× 4^2+\frac{1}{2}×6×8-\frac{1}{2}×π×5^2=24$.
解析
【分析】
本题要求不规则阴影部分的面积和，需采用割补法转化为规则图形的面积和差求解。首先观察图形结构：两个阴影新月形的面积，可表示为以AC、BC为直径的两个小半圆的面积，加上Rt△ABC的面积，再减去以AB为直径的大半圆的面积。解题第一步先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再代入各规则图形的面积公式计算即可，计算过程中含π的项会相互抵消，可简化运算。
【解析】
∵△ABC是直角三角形，AC=6，BC=8，
∴由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
根据图形的面积关系可得：
$S_1+S_2=S_{\mathrm{半圆}AC}+S_{\mathrm{半圆}BC}+S_{△ ABC}-S_{\mathrm{半圆}AB}$
分别代入各面积公式计算：
$S_{\mathrm{半圆}AC}=\frac{1}{2}×π×(\frac{6}{2})^2=\frac{9}{2}π$，
$S_{\mathrm{半圆}BC}=\frac{1}{2}×π×(\frac{8}{2})^2=8π$，
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×8=24$，
$S_{\mathrm{半圆}AB}=\frac{1}{2}×π×(\frac{10}{2})^2=\frac{25}{2}π$，
∴$S_1+S_2=\frac{9}{2}π+8π+24-\frac{25}{2}π=24$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，割补法求面积，半圆面积计算
【点评】
本题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差，解题的关键是准确梳理各图形之间的面积关系，计算过程中含圆周率的项可直接抵消，降低了运算难度，能很好地考查学生的图形分析能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
本题要求不规则阴影部分的面积和，需采用割补法转化为规则图形的面积和差求解。首先观察图形结构：两个阴影新月形的面积，可表示为以AC、BC为直径的两个小半圆的面积，加上Rt△ABC的面积，再减去以AB为直径的大半圆的面积。解题第一步先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再代入各规则图形的面积公式计算即可，计算过程中含π的项会相互抵消，可简化运算。
【解析】
∵△ABC是直角三角形，AC=6，BC=8，
∴由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
根据图形的面积关系可得：
$S_1+S_2=S_{\mathrm{半圆}AC}+S_{\mathrm{半圆}BC}+S_{△ ABC}-S_{\mathrm{半圆}AB}$
分别代入各面积公式计算：
$S_{\mathrm{半圆}AC}=\frac{1}{2}×π×(\frac{6}{2})^2=\frac{9}{2}π$，
$S_{\mathrm{半圆}BC}=\frac{1}{2}×π×(\frac{8}{2})^2=8π$，
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×8=24$，
$S_{\mathrm{半圆}AB}=\frac{1}{2}×π×(\frac{10}{2})^2=\frac{25}{2}π$，
∴$S_1+S_2=\frac{9}{2}π+8π+24-\frac{25}{2}π=24$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，割补法求面积，半圆面积计算
【点评】
本题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差，解题的关键是准确梳理各图形之间的面积关系，计算过程中含圆周率的项可直接抵消，降低了运算难度，能很好地考查学生的图形分析能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
10. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.
若正方形A、B、C、D的面积分别为2、5、1、2，则最大的正方形E的面积是
若正方形A、B、C、D的面积分别为2、5、1、2，则最大的正方形E的面积是
10
.答案
10. 10 解析:由题意,得$S_E=S_A+S_B+S_C+S_D=2+5+1+2=10$.
解析
【分析】
解题时可结合勾股定理与正方形面积的关系思考：首先，正方形的面积等于边长的平方，而直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此直角三角形两条直角边对应的正方形面积之和，等于斜边对应的正方形面积。我们可以先推导A、B的面积和等于二者下方相邻直角三角形斜边上的正方形面积，C、D的面积和等于另一组相邻直角三角形斜边上的正方形面积，最后这两个中间正方形的面积和就是最大正方形E的面积，因此直接将A、B、C、D的面积相加即可得到结果。
【解析】
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，且正方形的面积等于边长的平方，可得：
与正方形A、B相邻的直角三角形，斜边对应的正方形面积为$S_A+S_B=2+5=7$；
与正方形C、D相邻的直角三角形，斜边对应的正方形面积为$S_C+S_D=1+2=3$；
最大正方形E的边长是最下方大直角三角形的斜边，因此它的面积等于上述两个中间正方形的面积和，即$S_E=7+3=10$，也可直接推导得$S_E=S_A+S_B+S_C+S_D=2+5+1+2=10$。
【答案】
10
【知识点】
1. 勾股定理
2. 正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，核心是将勾股定理中边长的平方关系与正方形的面积对应起来，理解“直角三角形两条直角边对应正方形的面积和等于斜边对应正方形的面积”这一规律，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时可结合勾股定理与正方形面积的关系思考：首先，正方形的面积等于边长的平方，而直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此直角三角形两条直角边对应的正方形面积之和，等于斜边对应的正方形面积。我们可以先推导A、B的面积和等于二者下方相邻直角三角形斜边上的正方形面积，C、D的面积和等于另一组相邻直角三角形斜边上的正方形面积，最后这两个中间正方形的面积和就是最大正方形E的面积，因此直接将A、B、C、D的面积相加即可得到结果。
【解析】
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，且正方形的面积等于边长的平方，可得：
与正方形A、B相邻的直角三角形，斜边对应的正方形面积为$S_A+S_B=2+5=7$；
与正方形C、D相邻的直角三角形，斜边对应的正方形面积为$S_C+S_D=1+2=3$；
最大正方形E的边长是最下方大直角三角形的斜边，因此它的面积等于上述两个中间正方形的面积和，即$S_E=7+3=10$，也可直接推导得$S_E=S_A+S_B+S_C+S_D=2+5+1+2=10$。
【答案】
10
【知识点】
1. 勾股定理
2. 正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，核心是将勾股定理中边长的平方关系与正方形的面积对应起来，理解“直角三角形两条直角边对应正方形的面积和等于斜边对应正方形的面积”这一规律，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=5$,$AC=4$,$AB$的垂直平分线分别交$AB$、$AC$于点$D$、$E$,则$AE$的长为$\underline{\hspace{3em}}$.
答案
11. $\frac{25}{8}$ 解析:如图,连接$BE$.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.$\because DE$是$AB$的垂直平分线,$\therefore AE=BE$,$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$,则$CE=AC-AE=4-BE$.在$\mathrm{Rt}△ CBE$中,$BE^2=CE^2+BC^2$,即$BE^2=(4-BE)^2+3^2$,解得$BE=\frac{25}{8}$,$\therefore AE=BE=\frac{25}{8}$.
解析
【分析】
首先，我们已知△ABC是直角三角形，给出了斜边AB和直角边AC的长度，第一步可以先通过勾股定理求出另一条直角边BC的长度。其次，DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AE=BE，这样就可以把待求的AE转化为线段BE。接下来我们设AE的长为x，那么BE=x，CE的长度就是AC减去AE，也就是4-x。此时BE、CE、BC恰好是Rt△CBE的三条边，我们可以利用勾股定理列出关于x的方程，解方程就能求出AE的长度。
【解析】
解：连接BE，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$AC=4$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴$AE=BE$，
设$AE=x$，则$BE=x$，$CE=AC-AE=4-x$，
在$\mathrm{Rt}△ CBE$中，由勾股定理得：$BE^2=CE^2+BC^2$，
代入得：$x^2=(4-x)^2+3^2$，
展开整理得：$x^2=16-8x+x^2+9$，
消去$x^2$后解得：$x=\frac{25}{8}$。
【答案】
$\frac{25}{8}$
【知识点】
勾股定理；线段垂直平分线的性质；列方程求线段长
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成等线段转化，再结合勾股定理构造方程求解，能有效考查学生对基础几何性质的掌握程度，以及数形结合、方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先，我们已知△ABC是直角三角形，给出了斜边AB和直角边AC的长度，第一步可以先通过勾股定理求出另一条直角边BC的长度。其次，DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AE=BE，这样就可以把待求的AE转化为线段BE。接下来我们设AE的长为x，那么BE=x，CE的长度就是AC减去AE，也就是4-x。此时BE、CE、BC恰好是Rt△CBE的三条边，我们可以利用勾股定理列出关于x的方程，解方程就能求出AE的长度。
【解析】
解：连接BE，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$AC=4$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴$AE=BE$，
设$AE=x$，则$BE=x$，$CE=AC-AE=4-x$，
在$\mathrm{Rt}△ CBE$中，由勾股定理得：$BE^2=CE^2+BC^2$，
代入得：$x^2=(4-x)^2+3^2$，
展开整理得：$x^2=16-8x+x^2+9$，
消去$x^2$后解得：$x=\frac{25}{8}$。
【答案】
$\frac{25}{8}$
【知识点】
勾股定理；线段垂直平分线的性质；列方程求线段长
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成等线段转化，再结合勾股定理构造方程求解，能有效考查学生对基础几何性质的掌握程度，以及数形结合、方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$平分$∠ BAC$,$AB=5$,$AC=3$,则$BD$的长是________.
答案
12. $\frac{5}{2}$ 解析:如图,过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.$\because ∠ C=90°$,$\therefore DC⊥ AC$.又$\because AD$平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$,$\therefore DE=DC$.$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AC· DC+\frac{1}{2}AB· DE$,即$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×3DC+\frac{1}{2}×5DC$,解得$DC=\frac{3}{2}$,$\therefore BD=BC-DC=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
解题可按以下思路推导：①首先在Rt△ABC中，已知斜边AB和直角边AC的长度，用勾股定理先算出另一条直角边BC的长度；②过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DC=DE；③△ABC的面积等于△ACD与△ABD的面积之和，利用这个面积等量关系列方程，即可求出DC的长度；④最后用BC的长度减去DC的长度就得到BD的长。
【解析】
解：过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DC⊥AC$，$DE⊥AB$，
$\therefore$ 根据角平分线的性质得$DE=DC$。
又$\because S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ ABD}$，代入三角形面积公式：
$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AC· DC+\frac{1}{2}AB· DE$，
将$DE=DC$，$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$代入得：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×3DC+\frac{1}{2}×5DC$，
化简得$6=4DC$，解得$DC=\frac{3}{2}$，
$\therefore BD=BC-DC=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
勾股定理；角平分线的性质；面积法求线段长
【点评】
本题是直角三角形几何计算的典型题，解题核心是利用角平分线的性质得到两条高相等，再通过面积和建立方程求解线段长度，这种面积法在几何计算中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路推导：①首先在Rt△ABC中，已知斜边AB和直角边AC的长度，用勾股定理先算出另一条直角边BC的长度；②过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DC=DE；③△ABC的面积等于△ACD与△ABD的面积之和，利用这个面积等量关系列方程，即可求出DC的长度；④最后用BC的长度减去DC的长度就得到BD的长。
【解析】
解：过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DC⊥AC$，$DE⊥AB$，
$\therefore$ 根据角平分线的性质得$DE=DC$。
又$\because S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ ABD}$，代入三角形面积公式：
$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AC· DC+\frac{1}{2}AB· DE$，
将$DE=DC$，$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$代入得：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×3DC+\frac{1}{2}×5DC$，
化简得$6=4DC$，解得$DC=\frac{3}{2}$，
$\therefore BD=BC-DC=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
勾股定理；角平分线的性质；面积法求线段长
【点评】
本题是直角三角形几何计算的典型题，解题核心是利用角平分线的性质得到两条高相等，再通过面积和建立方程求解线段长度，这种面积法在几何计算中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
13. 请用直尺与圆规在下面的数轴上画出表示$\sqrt{13}$的点.（不写作法，但要保留清晰的作图痕迹）
答案
13. 如图,点 P 即为所求. 作图步骤:①在数轴上找到表示 3 的点 B;②过点 B 作垂线段,使得垂线段$AB=2$;③连接 OA,则$OA=\sqrt{13}$;④以点 O 为圆心、OA 的长为半径画圆交数轴于点 P,则 P 为表示$\sqrt{13}$的点.
解析
【分析】
要在数轴上画出表示$\sqrt{13}$的点，首先需要构造长度为$\sqrt{13}$的线段：根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两条直角边的平方和，由于$13=3^2+2^2$，因此可以构造两条直角边长分别为3、2的直角三角形，其斜边长度就是$\sqrt{13}$；再通过圆规将该斜边长度转移到数轴正半轴上，即可得到对应的点。
【解析】
1. 首先在数轴正半轴上找到表示数3的点，记为B；
2. 过点B作数轴的垂线，在垂线上截取长度为2的线段AB，使$AB ⊥ OB$；
3. 连接OA，在$Rt△ OAB$中，由勾股定理得：$OA=\sqrt{OB^2+AB^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$；
4. 以原点O为圆心，OA的长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{13}$的点P。
【答案】
如图,点 P 即为所求. 作图步骤:①在数轴上找到表示 3 的点 B;②过点 B 作垂线段,使得垂线段$AB=2$;③连接 OA,则$OA=\sqrt{13}$;④以点 O 为圆心、OA 的长为半径画圆交数轴于点 P,则 P 为表示$\sqrt{13}$的点.
【知识点】
勾股定理；数轴与实数；尺规作图
【点评】
本题考查勾股定理的应用以及在数轴上表示无理数的方法，核心是利用勾股定理将无理数转化为可构造的直角三角形斜边长度，渗透了数形结合的数学思想，掌握勾股定理和尺规作图的基本操作是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要在数轴上画出表示$\sqrt{13}$的点，首先需要构造长度为$\sqrt{13}$的线段：根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两条直角边的平方和，由于$13=3^2+2^2$，因此可以构造两条直角边长分别为3、2的直角三角形，其斜边长度就是$\sqrt{13}$；再通过圆规将该斜边长度转移到数轴正半轴上，即可得到对应的点。
【解析】
1. 首先在数轴正半轴上找到表示数3的点，记为B；
2. 过点B作数轴的垂线，在垂线上截取长度为2的线段AB，使$AB ⊥ OB$；
3. 连接OA，在$Rt△ OAB$中，由勾股定理得：$OA=\sqrt{OB^2+AB^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$；
4. 以原点O为圆心，OA的长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{13}$的点P。
【答案】
如图,点 P 即为所求. 作图步骤:①在数轴上找到表示 3 的点 B;②过点 B 作垂线段,使得垂线段$AB=2$;③连接 OA,则$OA=\sqrt{13}$;④以点 O 为圆心、OA 的长为半径画圆交数轴于点 P,则 P 为表示$\sqrt{13}$的点.
【知识点】
勾股定理；数轴与实数；尺规作图
【点评】
本题考查勾股定理的应用以及在数轴上表示无理数的方法，核心是利用勾股定理将无理数转化为可构造的直角三角形斜边长度，渗透了数形结合的数学思想，掌握勾股定理和尺规作图的基本操作是解题的关键。
【难度系数】
0.7
14. 阅读下面的材料，并解决后面的问题.
如图1,在△ABC中,3∠A+∠B=180°,BC=8,AC=10,求AB的长.
小明的思路:如图2,过点B作BE⊥AC于点E,在AC的延长线上取点D,使得DE=AE,连接BD,易得∠A=∠D,△ABD为等腰三角形,根据3∠A+∠B=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°,易得∠BCA=2∠A,△BCD为等腰三角形.
(1)根据小明的思路求AB的长.
(2)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.如图3,当3∠A+2∠B=180°时,用含a、c的式子表示b.
如图1,在△ABC中,3∠A+∠B=180°,BC=8,AC=10,求AB的长.
小明的思路:如图2,过点B作BE⊥AC于点E,在AC的延长线上取点D,使得DE=AE,连接BD,易得∠A=∠D,△ABD为等腰三角形,根据3∠A+∠B=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°,易得∠BCA=2∠A,△BCD为等腰三角形.
(1)根据小明的思路求AB的长.
(2)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.如图3,当3∠A+2∠B=180°时,用含a、c的式子表示b.
答案
14.(1)如题图 2,得 BE 是线段 AD 的垂直平分线,$\therefore DB=AB$,$DE=AE=\frac{1}{2}AD$,$\therefore △ ABD$为等腰三角形,$\therefore ∠ D=∠ A$.$\because 3∠ A+∠ ABC=180°$,$\therefore ∠ ABC=180°-3∠ A$.又$\because ∠ A+∠ ABC+∠ BCA=180°$,$\therefore ∠ A+180°-3∠ A+∠ BCA=180°$,$\therefore ∠ BCA=2∠ A=2∠ D$.$\because ∠ BCA$是$△ CBD$的外角,$\therefore ∠ BCA=∠ D+∠ CBD$,$\therefore 2∠ D=∠ D+∠ CBD$,$\therefore ∠ D=∠ CBD$,$\therefore △ BCD$为等腰三角形,$\therefore DC=BC$.$\because BC=8$,$AC=10$,$\therefore DC=BC=8$,$\therefore AD=AC+DC=18$,$\therefore DE=AE=\frac{1}{2}AD=9$,$\therefore CE=AC-AE=10-9=1$.在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,$BE=\sqrt{BC^2-CE^2}=\sqrt{8^2-1^2}=3\sqrt{7}$,在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$AB=\sqrt{BE^2+AE^2}=\sqrt{(3\sqrt{7})^2+9^2}=12$.
(2)如图,过点 B 作$BH⊥ AC$交 AC 的延长线于点 H,在 AH 的延长线上取一点 F,使得$FH=AH$,则 BH 是 AF 的垂直平分线,$\therefore FB=AB$,$FH=AH=\frac{1}{2}AF$,$\therefore FB=AB=c$,$BC=a$,$AC=b$,$\therefore ∠ F=∠ A$.$\because ∠ ACB$是$△ FBC$的外角,$\therefore ∠ ACB=∠ F+∠ FBC=∠ A+∠ FBC$.在$△ ABC$中,$∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180°$,又$\because 3∠ A+2∠ ABC=180°$,$\therefore ∠ A+∠ ABC+∠ ACB=3∠ A+2∠ ABC$,$\therefore ∠ ACB=2∠ A+∠ ABC$,$\therefore ∠ A+∠ FBC=2∠ A+∠ ABC$,$\therefore ∠ FBC=∠ A+∠ ABC$,又$\because ∠ FCB=∠ A+∠ ABC$,$\therefore ∠ FBC=∠ FCB$,$\therefore FC=FB=c$,$\therefore AF=FC+AC=c+b$,$\therefore FH=AH=\frac{1}{2}AF=\frac{c+b}{2}$,$\therefore CH=AH-AC=\frac{c-b}{2}$.在$\mathrm{Rt}△ BCH$中,$BH^2=BC^2-CH^2=a^2-(\frac{c-b}{2})^2$,在$\mathrm{Rt}△ ABH$中,$BH^2=AB^2-AH^2=c^2-(\frac{c+b}{2})^2$,$\therefore a^2-(\frac{c-b}{2})^2=c^2-(\frac{c+b}{2})^2$,$\therefore c^2-a^2=(\frac{c+b}{2})^2-(\frac{c-b}{2})^2$,即$c^2-a^2=\frac{c+b+c-b}{2}·\frac{c+b-c+b}{2}$,即$c^2-a^2=bc$,$\therefore b=\frac{c^2-a^2}{c}$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：先利用线段垂直平分线的性质得到等腰△ABD，推出∠D=∠A；再结合已知角度关系和三角形内角和定理，推导得到∠BCA=2∠A，利用三角形外角性质推出△BCD为等腰三角形，得到DC=BC，求出AE、CE的长度后，分别在两个直角三角形中用勾股定理依次计算BE和AB的长度即可。
(2) 解题思路：类比第一问的辅助线构造方法，作BH⊥AC并构造垂直平分线得到等腰△ABF，推出∠F=∠A；结合3∠A+2∠B=180°、三角形内角和以及外角性质，推导得到△FBC为等腰三角形，得到FC=FB=c；再分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出BH²，建立等式化简即可得到b和a、c的关系。
【解析】
(1) 如题图2，BE是线段AD的垂直平分线，$\therefore DB=AB$，$DE=AE=\frac{1}{2}AD$，$\therefore △ ABD$为等腰三角形，$\therefore ∠ D=∠ A$。
$\because 3∠ A+∠ ABC=180°$，$\therefore ∠ ABC=180°-3∠ A$。
又$\because ∠ A+∠ ABC+∠ BCA=180°$，
$\therefore ∠ A+180°-3∠ A+∠ BCA=180°$，$\therefore ∠ BCA=2∠ A=2∠ D$。
$\because ∠ BCA$是$△ CBD$的外角，$\therefore ∠ BCA=∠ D+∠ CBD$，
$\therefore 2∠ D=∠ D+∠ CBD$，$\therefore ∠ D=∠ CBD$，$\therefore △ BCD$为等腰三角形，$\therefore DC=BC$。
$\because BC=8$，$AC=10$，$\therefore DC=BC=8$，$\therefore AD=AC+DC=18$，
$\therefore DE=AE=\frac{1}{2}AD=9$，$\therefore CE=AC-AE=10-9=1$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BE=\sqrt{BC^2-CE^2}=\sqrt{8^2-1^2}=3\sqrt{7}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=\sqrt{BE^2+AE^2}=\sqrt{(3\sqrt{7})^2+9^2}=12$。
(2) 如图，过点B作$BH⊥ AC$交AC的延长线于点H，在AH的延长线上取一点F，使得$FH=AH$，则BH是AF的垂直平分线，$\therefore FB=AB$，$FH=AH=\frac{1}{2}AF$，$\therefore FB=AB=c$，$BC=a$，$AC=b$，$\therefore ∠ F=∠ A$。
$\because ∠ ACB$是$△ FBC$的外角，$\therefore ∠ ACB=∠ F+∠ FBC=∠ A+∠ FBC$。
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180°$，又$\because 3∠ A+2∠ ABC=180°$，
$\therefore ∠ A+∠ ABC+∠ ACB=3∠ A+2∠ ABC$，$\therefore ∠ ACB=2∠ A+∠ ABC$，
$\therefore ∠ A+∠ FBC=2∠ A+∠ ABC$，$\therefore ∠ FBC=∠ A+∠ ABC$，
又$\because ∠ FCB=∠ A+∠ ABC$，$\therefore ∠ FBC=∠ FCB$，$\therefore FC=FB=c$，
$\therefore AF=FC+AC=c+b$，$\therefore FH=AH=\frac{1}{2}AF=\frac{c+b}{2}$，
$\therefore CH=AH-AC=\frac{c-b}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中，$BH^2=BC^2-CH^2=a^2-(\frac{c-b}{2})^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$BH^2=AB^2-AH^2=c^2-(\frac{c+b}{2})^2$，
$\therefore a^2-(\frac{c-b}{2})^2=c^2-(\frac{c+b}{2})^2$，
$\therefore c^2-a^2=(\frac{c+b}{2})^2-(\frac{c-b}{2})^2$，
即$c^2-a^2=\frac{c+b+c-b}{2}·\frac{c+b-c+b}{2}$，
即$c^2-a^2=bc$，$\therefore b=\frac{c^2-a^2}{c}$。
【答案】
(1) $AB=12$；(2) $b=\frac{c^2-a^2}{c}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何探究类题目，解题时需要结合给出的思路构造辅助线，通过角度关系推导等腰三角形，再利用勾股定理建立等量关系求解，既考查了几何性质的综合应用，也锻炼了代数化简的能力，解题的关键是类比第一问的构造方法迁移解决第二问。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：先利用线段垂直平分线的性质得到等腰△ABD，推出∠D=∠A；再结合已知角度关系和三角形内角和定理，推导得到∠BCA=2∠A，利用三角形外角性质推出△BCD为等腰三角形，得到DC=BC，求出AE、CE的长度后，分别在两个直角三角形中用勾股定理依次计算BE和AB的长度即可。
(2) 解题思路：类比第一问的辅助线构造方法，作BH⊥AC并构造垂直平分线得到等腰△ABF，推出∠F=∠A；结合3∠A+2∠B=180°、三角形内角和以及外角性质，推导得到△FBC为等腰三角形，得到FC=FB=c；再分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出BH²，建立等式化简即可得到b和a、c的关系。
【解析】
(1) 如题图2，BE是线段AD的垂直平分线，$\therefore DB=AB$，$DE=AE=\frac{1}{2}AD$，$\therefore △ ABD$为等腰三角形，$\therefore ∠ D=∠ A$。
$\because 3∠ A+∠ ABC=180°$，$\therefore ∠ ABC=180°-3∠ A$。
又$\because ∠ A+∠ ABC+∠ BCA=180°$，
$\therefore ∠ A+180°-3∠ A+∠ BCA=180°$，$\therefore ∠ BCA=2∠ A=2∠ D$。
$\because ∠ BCA$是$△ CBD$的外角，$\therefore ∠ BCA=∠ D+∠ CBD$，
$\therefore 2∠ D=∠ D+∠ CBD$，$\therefore ∠ D=∠ CBD$，$\therefore △ BCD$为等腰三角形，$\therefore DC=BC$。
$\because BC=8$，$AC=10$，$\therefore DC=BC=8$，$\therefore AD=AC+DC=18$，
$\therefore DE=AE=\frac{1}{2}AD=9$，$\therefore CE=AC-AE=10-9=1$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BE=\sqrt{BC^2-CE^2}=\sqrt{8^2-1^2}=3\sqrt{7}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=\sqrt{BE^2+AE^2}=\sqrt{(3\sqrt{7})^2+9^2}=12$。
(2) 如图，过点B作$BH⊥ AC$交AC的延长线于点H，在AH的延长线上取一点F，使得$FH=AH$，则BH是AF的垂直平分线，$\therefore FB=AB$，$FH=AH=\frac{1}{2}AF$，$\therefore FB=AB=c$，$BC=a$，$AC=b$，$\therefore ∠ F=∠ A$。
$\because ∠ ACB$是$△ FBC$的外角，$\therefore ∠ ACB=∠ F+∠ FBC=∠ A+∠ FBC$。
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180°$，又$\because 3∠ A+2∠ ABC=180°$，
$\therefore ∠ A+∠ ABC+∠ ACB=3∠ A+2∠ ABC$，$\therefore ∠ ACB=2∠ A+∠ ABC$，
$\therefore ∠ A+∠ FBC=2∠ A+∠ ABC$，$\therefore ∠ FBC=∠ A+∠ ABC$，
又$\because ∠ FCB=∠ A+∠ ABC$，$\therefore ∠ FBC=∠ FCB$，$\therefore FC=FB=c$，
$\therefore AF=FC+AC=c+b$，$\therefore FH=AH=\frac{1}{2}AF=\frac{c+b}{2}$，
$\therefore CH=AH-AC=\frac{c-b}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中，$BH^2=BC^2-CH^2=a^2-(\frac{c-b}{2})^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$BH^2=AB^2-AH^2=c^2-(\frac{c+b}{2})^2$，
$\therefore a^2-(\frac{c-b}{2})^2=c^2-(\frac{c+b}{2})^2$，
$\therefore c^2-a^2=(\frac{c+b}{2})^2-(\frac{c-b}{2})^2$，
即$c^2-a^2=\frac{c+b+c-b}{2}·\frac{c+b-c+b}{2}$，
即$c^2-a^2=bc$，$\therefore b=\frac{c^2-a^2}{c}$。
【答案】
(1) $AB=12$；(2) $b=\frac{c^2-a^2}{c}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何探究类题目，解题时需要结合给出的思路构造辅助线，通过角度关系推导等腰三角形，再利用勾股定理建立等量关系求解，既考查了几何性质的综合应用，也锻炼了代数化简的能力，解题的关键是类比第一问的构造方法迁移解决第二问。
【难度系数】
0.6
