登录
1.(2025·工业园区期末)在$△ ABC$中，$AB=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，则$AC$的长度可能为 （
A.9 cm
B.7 cm
C.5 cm
D.1 cm
C
）A.9 cm
B.7 cm
C.5 cm
D.1 cm
答案
1.C
解析
【分析】
本题已知三角形两条边的长度，求第三边的可能取值，解题核心是运用三角形三边关系。首先回忆三角形三边的规律：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，我们可以先据此算出第三边AC的取值范围，再逐一匹配选项，找到落在取值范围内的选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知$AB=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，因此可得：
$BC - AB ＜ AC ＜ AB + BC$
代入数值计算：
$4 - 3 ＜ AC ＜ 3 + 4$
即 $1\ \mathrm{cm} ＜ AC ＜ 7\ \mathrm{cm}$
逐一分析选项：
A.$9\ \mathrm{cm}＞7\ \mathrm{cm}$，不符合要求；
B.$7\ \mathrm{cm}$等于取值上限，不符合要求；
C.$5\ \mathrm{cm}$在$1\ \mathrm{cm}∼7\ \mathrm{cm}$范围内，符合要求；
D.$1\ \mathrm{cm}$等于取值下限，不符合要求。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础类考题，重点考查三角形三边关系的直接应用，只要熟练掌握三边关系的取值规则，就能快速求出第三边的范围并选出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题已知三角形两条边的长度，求第三边的可能取值，解题核心是运用三角形三边关系。首先回忆三角形三边的规律：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，我们可以先据此算出第三边AC的取值范围，再逐一匹配选项，找到落在取值范围内的选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知$AB=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，因此可得：
$BC - AB ＜ AC ＜ AB + BC$
代入数值计算：
$4 - 3 ＜ AC ＜ 3 + 4$
即 $1\ \mathrm{cm} ＜ AC ＜ 7\ \mathrm{cm}$
逐一分析选项：
A.$9\ \mathrm{cm}＞7\ \mathrm{cm}$，不符合要求；
B.$7\ \mathrm{cm}$等于取值上限，不符合要求；
C.$5\ \mathrm{cm}$在$1\ \mathrm{cm}∼7\ \mathrm{cm}$范围内，符合要求；
D.$1\ \mathrm{cm}$等于取值下限，不符合要求。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础类考题，重点考查三角形三边关系的直接应用，只要熟练掌握三边关系的取值规则，就能快速求出第三边的范围并选出正确答案。
【难度系数】
0.9
2.(2025·南通期末)如图,在$△ ABC$中,BC边上的高是 (
A.线段$AE$
B.线段$BD$
C.线段$BF$
D.线段$CF$
A
)A.线段$AE$
B.线段$BD$
C.线段$BF$
D.线段$CF$
答案
2.A
解析
【分析】
要确定△ABC中BC边上的高，首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向其对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是这条对边上的高。解题时先找到BC边对应的对顶点是A，再判断哪条线段是过点A且垂直于BC所在直线的垂线段即可。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。
要找BC边上的高，需满足两个条件：①过BC边的对顶点A；②与BC所在直线垂直。
观察图形可知，线段AE过点A，且AE⊥EC，即AE⊥BC，符合BC边上高的定义。
线段BD是AC边上的高，线段BF、CF均不是从顶点A出发的垂线段，不符合要求。
因此本题选A。
【答案】A
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确把握三角形高的两个判定要素：过对应顶点、垂直于对应边所在直线，避免混淆不同边对应的高。
【难度系数】
0.9
要确定△ABC中BC边上的高，首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向其对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是这条对边上的高。解题时先找到BC边对应的对顶点是A，再判断哪条线段是过点A且垂直于BC所在直线的垂线段即可。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。
要找BC边上的高，需满足两个条件：①过BC边的对顶点A；②与BC所在直线垂直。
观察图形可知，线段AE过点A，且AE⊥EC，即AE⊥BC，符合BC边上高的定义。
线段BD是AC边上的高，线段BF、CF均不是从顶点A出发的垂线段，不符合要求。
因此本题选A。
【答案】A
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确把握三角形高的两个判定要素：过对应顶点、垂直于对应边所在直线，避免混淆不同边对应的高。
【难度系数】
0.9
3. 如图，$∠ 1=∠ 2$，$AC=AD$，添加下列条件，不能得到$△ ABC ≌ △ AED$的是 （$\boldsymbol{C}$）
A.$∠ C=∠ D$
B.$∠ B=∠ E$
C.$AB=AE$
D.$BC=ED$
A.$∠ C=∠ D$
B.$∠ B=∠ E$
C.$AB=AE$
D.$BC=ED$
答案
3.D
解析
【分析】
首先从已知条件入手，由∠1=∠2，两个角同时加上公共角∠EAB，可推出△ABC和△AED的一组对应角∠CAB=∠EAD，再结合已知的AC=AD，已经具备一组边相等、一组角相等的条件。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），逐一判断每个选项添加后是否满足判定条件即可，需注意SSA不能作为三角形全等的判定依据。
【解析】
解：
∵∠1=∠2
∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，即∠CAB=∠DAE
已知AC=AD，对各选项分析如下：
A. 添加∠C=∠D，结合∠CAB=∠DAE、AC=AD，符合ASA判定定理，可证△ABC≌△AED；
B. 添加∠B=∠E，结合∠CAB=∠DAE、AC=AD，符合AAS判定定理，可证△ABC≌△AED；
C. 添加AB=AE，结合AC=AD、∠CAB=∠DAE，符合SAS判定定理，可证△ABC≌△AED；
D. 添加BC=ED，此时条件为AC=AD、BC=ED、∠CAB=∠DAE，属于SSA，不满足全等三角形的判定定理，无法证明△ABC≌△AED。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
1.全等三角形的判定
2.角的和差运算
【点评】
本题主要考查全等三角形判定定理的应用，解题的关键是先通过角的和差得到两个三角形的对应夹角相等，再结合判定定理逐一验证选项，要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆判定规则出错。
【难度系数】
0.7
首先从已知条件入手，由∠1=∠2，两个角同时加上公共角∠EAB，可推出△ABC和△AED的一组对应角∠CAB=∠EAD，再结合已知的AC=AD，已经具备一组边相等、一组角相等的条件。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），逐一判断每个选项添加后是否满足判定条件即可，需注意SSA不能作为三角形全等的判定依据。
【解析】
解：
∵∠1=∠2
∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，即∠CAB=∠DAE
已知AC=AD，对各选项分析如下：
A. 添加∠C=∠D，结合∠CAB=∠DAE、AC=AD，符合ASA判定定理，可证△ABC≌△AED；
B. 添加∠B=∠E，结合∠CAB=∠DAE、AC=AD，符合AAS判定定理，可证△ABC≌△AED；
C. 添加AB=AE，结合AC=AD、∠CAB=∠DAE，符合SAS判定定理，可证△ABC≌△AED；
D. 添加BC=ED，此时条件为AC=AD、BC=ED、∠CAB=∠DAE，属于SSA，不满足全等三角形的判定定理，无法证明△ABC≌△AED。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
1.全等三角形的判定
2.角的和差运算
【点评】
本题主要考查全等三角形判定定理的应用，解题的关键是先通过角的和差得到两个三角形的对应夹角相等，再结合判定定理逐一验证选项，要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆判定规则出错。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$∠ 1=∠ 2$，要说明$△ ABD≌△ ACD$，还需从下列条件：①$∠ ADB=∠ ADC$，②$∠ B=∠ C$，③$DB=DC$，④$AB=AC$中选一个，则正确的选法有 （
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
C
）A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案
4.C
解析
【分析】
要判断△ABD≌△ACD，首先明确已知条件：已知∠1=∠2，且AD是两个三角形的公共边，即AD=AD。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，注意SSA不能判定全等），逐个分析给出的4个条件是否满足判定要求即可。
【解析】
已知△ABD和△ACD中，∠1=∠2，AD=AD（公共边），逐个分析条件：
1. 添加条件①∠ADB=∠ADC：
满足ASA判定规则（∠1=∠2，AD=AD，∠ADB=∠ADC），可证明△ABD≌△ACD，符合要求；
2. 添加条件②∠B=∠C：
满足AAS判定规则（∠B=∠C，∠1=∠2，AD=AD），可证明△ABD≌△ACD，符合要求；
3. 添加条件③DB=DC：
此时已知条件为AD=AD，∠1=∠2，DB=DC，属于SSA组合，不能判定三角形全等，不符合要求；
4. 添加条件④AB=AC：
满足SAS判定规则（AB=AC，∠1=∠2，AD=AD），可证明△ABD≌△ACD，符合要求。
综上，符合要求的选法有①②④，共3种。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，尤其注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免误选。
【难度系数】
0.7
要判断△ABD≌△ACD，首先明确已知条件：已知∠1=∠2，且AD是两个三角形的公共边，即AD=AD。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，注意SSA不能判定全等），逐个分析给出的4个条件是否满足判定要求即可。
【解析】
已知△ABD和△ACD中，∠1=∠2，AD=AD（公共边），逐个分析条件：
1. 添加条件①∠ADB=∠ADC：
满足ASA判定规则（∠1=∠2，AD=AD，∠ADB=∠ADC），可证明△ABD≌△ACD，符合要求；
2. 添加条件②∠B=∠C：
满足AAS判定规则（∠B=∠C，∠1=∠2，AD=AD），可证明△ABD≌△ACD，符合要求；
3. 添加条件③DB=DC：
此时已知条件为AD=AD，∠1=∠2，DB=DC，属于SSA组合，不能判定三角形全等，不符合要求；
4. 添加条件④AB=AC：
满足SAS判定规则（AB=AC，∠1=∠2，AD=AD），可证明△ABD≌△ACD，符合要求。
综上，符合要求的选法有①②④，共3种。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，尤其注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免误选。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$AB⊥ CD$，$AB=CD$，$E,F$是$AD$上的两个点，$CE⊥ AD$，$BF⊥ AD$，若$AD=a$，$BF=b$，$CE=c$，则$EF$的长为 （
A.$a+b-c$
B.$b+c-a$
C.$a+c-b$
D.$a-b$
B
）A.$a+b-c$
B.$b+c-a$
C.$a+c-b$
D.$a-b$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先观察题干中的垂直和边相等条件，优先考虑证明三角形全等：首先利用垂直关系推导相等的角，结合已知AB=CD证明△ABF和△CDE全等，得到对应边的等量关系，再通过线段的和差变形即可求出EF的长度。
【解析】
设AB与CD交于点O，
∵ $AB⊥CD$，$CE⊥AD$，
∴ $∠A+∠D=90°$，$∠C+∠D=90°$，
∴ $∠A=∠C$。
又
∵ $CE⊥AD$，$BF⊥AD$，
∴ $∠AFB=∠CED=90°$。
在$△ ABF$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠AFB=∠CED \\∠A=∠C \\AB=CD\end{cases}$
∴ $△ ABF≌△ CDE$（AAS），
∴ $AF=CE=c$，$DE=BF=b$。
由线段和差关系可知：$AF+DE = AD + EF$，
将$AD=a$、$AF=c$、$DE=b$代入得：$c + b = a + EF$，
整理得$EF = b + c - a$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，解题核心是通过角度互余关系推导等角，结合已知边相等证明全等，再对线段和差关系做变形即可得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时先观察题干中的垂直和边相等条件，优先考虑证明三角形全等：首先利用垂直关系推导相等的角，结合已知AB=CD证明△ABF和△CDE全等，得到对应边的等量关系，再通过线段的和差变形即可求出EF的长度。
【解析】
设AB与CD交于点O，
∵ $AB⊥CD$，$CE⊥AD$，
∴ $∠A+∠D=90°$，$∠C+∠D=90°$，
∴ $∠A=∠C$。
又
∵ $CE⊥AD$，$BF⊥AD$，
∴ $∠AFB=∠CED=90°$。
在$△ ABF$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠AFB=∠CED \\∠A=∠C \\AB=CD\end{cases}$
∴ $△ ABF≌△ CDE$（AAS），
∴ $AF=CE=c$，$DE=BF=b$。
由线段和差关系可知：$AF+DE = AD + EF$，
将$AD=a$、$AF=c$、$DE=b$代入得：$c + b = a + EF$，
整理得$EF = b + c - a$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，解题核心是通过角度互余关系推导等角，结合已知边相等证明全等，再对线段和差关系做变形即可得到结果。
【难度系数】
0.7
6.(2025·锡山区月考)已知三角形的三条边长分别为2,7,x,则x的取值范围是
$5＜x＜9$
答案
6.$5＜x＜9$
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路是先回忆三角形三边的取值规律：已知三角形的两条边长时，第三边的长度需要大于已知两边的差，同时小于已知两边的和，这是由三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边的性质推导得到的，将已知的两条边长2和7代入规律计算即可得到x的取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得第三边x满足：
$7-2 ＜ x ＜ 7+2$
计算后得到：$5 ＜ x ＜ 9$
【答案】
$5＜x＜9$
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，是对三角形三边关系的直接应用，熟练掌握三边的大小关系即可快速求解，该知识点是三角形相关题型的核心基础。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路是先回忆三角形三边的取值规律：已知三角形的两条边长时，第三边的长度需要大于已知两边的差，同时小于已知两边的和，这是由三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边的性质推导得到的，将已知的两条边长2和7代入规律计算即可得到x的取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得第三边x满足：
$7-2 ＜ x ＜ 7+2$
计算后得到：$5 ＜ x ＜ 9$
【答案】
$5＜x＜9$
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，是对三角形三边关系的直接应用，熟练掌握三边的大小关系即可快速求解，该知识点是三角形相关题型的核心基础。
【难度系数】
0.9
7.在学习了全等三角形的判定后，小龙编了这样一个题目:如图，已知$AB=CD,∠A=∠D$，$AO=DO$，求证:$△ ABO≌△ DCO$.老师说他的已知条件给多了，你帮他去掉一个已知条件:
$AO=DO(或AB=CD)$
.（写出一个即可）答案
7.$AO=DO(或AB=CD)$
解析
【分析】
要证明△ABO≌△DCO，首先挖掘图形的隐含条件：∠AOB和∠DOC是对顶角，因此∠AOB=∠DOC。此时已知已有∠A=∠D，结合对顶角相等，已经满足两组角对应相等的条件，根据全等三角形的判定规则，仅需一组对应边相等即可证明全等。题目给出了AB=CD、AO=DO两组边相等的条件，任选其中一组就可满足判定要求，因此可以去掉任意一个边的条件。
【解析】
首先根据对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC：
1. 若去掉条件AO=DO，剩余已知为AB=CD、∠A=∠D，结合∠AOB=∠DOC，满足“两角及其中一角的对边对应相等（AAS）”的全等判定条件，可证△ABO≌△DCO；
2. 若去掉条件AB=CD，剩余已知为∠A=∠D、AO=DO，结合∠AOB=∠DOC，满足“两角及其夹边对应相等（ASA）”的全等判定条件，可证△ABO≌△DCO。
因此可去掉的条件为AO=DO或者AB=CD。
【答案】
AO=DO(或AB=CD)
【知识点】
全等三角形的判定，对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定的灵活应用，解题时要注意先挖掘图形中的隐含条件，再结合已知条件匹配对应的判定定理，即可快速判断出多余的条件。
【难度系数】
0.7
要证明△ABO≌△DCO，首先挖掘图形的隐含条件：∠AOB和∠DOC是对顶角，因此∠AOB=∠DOC。此时已知已有∠A=∠D，结合对顶角相等，已经满足两组角对应相等的条件，根据全等三角形的判定规则，仅需一组对应边相等即可证明全等。题目给出了AB=CD、AO=DO两组边相等的条件，任选其中一组就可满足判定要求，因此可以去掉任意一个边的条件。
【解析】
首先根据对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC：
1. 若去掉条件AO=DO，剩余已知为AB=CD、∠A=∠D，结合∠AOB=∠DOC，满足“两角及其中一角的对边对应相等（AAS）”的全等判定条件，可证△ABO≌△DCO；
2. 若去掉条件AB=CD，剩余已知为∠A=∠D、AO=DO，结合∠AOB=∠DOC，满足“两角及其夹边对应相等（ASA）”的全等判定条件，可证△ABO≌△DCO。
因此可去掉的条件为AO=DO或者AB=CD。
【答案】
AO=DO(或AB=CD)
【知识点】
全等三角形的判定，对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定的灵活应用，解题时要注意先挖掘图形中的隐含条件，再结合已知条件匹配对应的判定定理，即可快速判断出多余的条件。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C=65°$,点$D,E,F$分别在边$BC,AB,AC$上,如果$BD=CF,BE=CD$,那么$∠ EDF=\underline{\hspace{3em}}$度.
答案
8.65
解析
【分析】
首先观察已知条件，已知两组对应边相等（BD=CF、BE=CD），且两边的夹角∠B=∠C，可先通过SAS判定定理证明△BED≌△CDF，得到对应角相等；再结合三角形内角和定理、平角的性质进行角的代换，即可求出∠EDF的度数。
【解析】
在△BED和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}BD=CF(\mathrm{已知})\\∠ B=∠ C(\mathrm{已知})\\BE=CD(\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ BED ≌ △ CDF$（SAS）
∴$∠ BED=∠ CDF$（全等三角形对应角相等）
在△BED中，由三角形内角和为180°得：
$∠ B + ∠ BED + ∠ BDE = 180°$
又
∵$∠ BDE + ∠ EDF + ∠ CDF = 180°$（平角的定义）
将$∠ BED=∠ CDF$代入化简可得：
$∠ EDF = ∠ B = 65°$
【答案】
65
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是通过全等三角形实现角的等量代换，要求学生熟练掌握全等三角形的判定定理，能灵活运用内角和、平角的性质完成角度推导。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，已知两组对应边相等（BD=CF、BE=CD），且两边的夹角∠B=∠C，可先通过SAS判定定理证明△BED≌△CDF，得到对应角相等；再结合三角形内角和定理、平角的性质进行角的代换，即可求出∠EDF的度数。
【解析】
在△BED和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}BD=CF(\mathrm{已知})\\∠ B=∠ C(\mathrm{已知})\\BE=CD(\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ BED ≌ △ CDF$（SAS）
∴$∠ BED=∠ CDF$（全等三角形对应角相等）
在△BED中，由三角形内角和为180°得：
$∠ B + ∠ BED + ∠ BDE = 180°$
又
∵$∠ BDE + ∠ EDF + ∠ CDF = 180°$（平角的定义）
将$∠ BED=∠ CDF$代入化简可得：
$∠ EDF = ∠ B = 65°$
【答案】
65
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是通过全等三角形实现角的等量代换，要求学生熟练掌握全等三角形的判定定理，能灵活运用内角和、平角的性质完成角度推导。
【难度系数】
0.7
9. 已知AD,AE分别是$△ ABC$的高和中线,若$BD=2$,$CD=1$,则$DE$的长为________.
答案
9.0.5或1.5
解析
【分析】
本题未明确△ABC的形状，高AD的位置存在两种情况，需分类讨论求解：①高AD在△ABC内部，点D在线段BC上；②高AD在△ABC外部，点D在线段BC的延长线上。先分别求出两种情形下BC的长度，再根据中线的性质得到BC中点E分线段的长度，最后结合已知BD、CD的长度计算DE的长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC内部时，点D在线段BC上：
$BC = BD + CD = 2 + 1 = 3$
∵AE是BC边上的中线，
∴E为BC中点，
∴$EC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×3 = 1.5$
∴$DE = EC - CD = 1.5 - 1 = 0.5$
2. 当高AD在△ABC外部时，点D在线段BC的延长线上：
$BC = BD - CD = 2 - 1 = 1$
∵AE是BC边上的中线，
∴E为BC中点，
∴$EC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×1 = 0.5$
∴$DE = CD + EC = 1 + 0.5 = 1.5$
综上，DE的长为0.5或1.5。
【答案】
0.5或1.5
【知识点】
三角形的高，三角形的中线，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况导致漏解，解题时若未明确三角形的形状，需要考虑高的不同位置，结合图形分类讨论求解。
【难度系数】
0.6
本题未明确△ABC的形状，高AD的位置存在两种情况，需分类讨论求解：①高AD在△ABC内部，点D在线段BC上；②高AD在△ABC外部，点D在线段BC的延长线上。先分别求出两种情形下BC的长度，再根据中线的性质得到BC中点E分线段的长度，最后结合已知BD、CD的长度计算DE的长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC内部时，点D在线段BC上：
$BC = BD + CD = 2 + 1 = 3$
∵AE是BC边上的中线，
∴E为BC中点，
∴$EC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×3 = 1.5$
∴$DE = EC - CD = 1.5 - 1 = 0.5$
2. 当高AD在△ABC外部时，点D在线段BC的延长线上：
$BC = BD - CD = 2 - 1 = 1$
∵AE是BC边上的中线，
∴E为BC中点，
∴$EC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×1 = 0.5$
∴$DE = CD + EC = 1 + 0.5 = 1.5$
综上，DE的长为0.5或1.5。
【答案】
0.5或1.5
【知识点】
三角形的高，三角形的中线，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况导致漏解，解题时若未明确三角形的形状，需要考虑高的不同位置，结合图形分类讨论求解。
【难度系数】
0.6
10.如图,在长方形ABCD中,AB=CD=6 cm,BC=10 cm,点P从点B出发,以 2 cm/s 的速度沿BC向点C运动.点Q从点C出发,沿CD向点D运动,且始终满足AP=PQ.设点P的运动时间为t s,当t=
2或2.5
时,以P,C,Q为顶点的三角形与△ABP全等.答案
10.2或2.5
解析
【分析】
首先根据长方形的性质可得∠B=∠C=90°，先表示出运动t秒后BP=2t cm，PC=(10-2t)cm。已知AP=PQ，说明两个直角三角形的斜边相等，要使△PCQ与△ABP全等，需分两种对应情况讨论：一是AB与PC为对应边，BP与CQ为对应边；二是AB与QC为对应边，BP与PC为对应边，分别列方程求解后验证结果是否符合实际意义即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠C=90°，
当点P运动时间为t s时，BP=2t cm，PC=BC-BP=(10-2t)cm，
已知AP=PQ，即Rt△ABP和Rt△PCQ的斜边相等，两个三角形全等分两种情况：
① 当△ABP≌△PCQ时，对应边AB=PC，BP=CQ，
代入边长得：$6=10-2t$，
解得：$t=2$，
此时CQ=BP=4cm＜6cm，符合题意；
② 当△ABP≌△QCP时，对应边AB=QC，BP=PC，
则$BP=PC=\frac{1}{2}BC=5cm$，即$2t=5$，
解得：$t=2.5$，
此时QC=AB=6cm，点Q与点D重合，符合题意；
综上，t的值为2或2.5。
【答案】
2或2.5
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的性质，动点问题计算
【点评】
本题解题关键是明确全等三角形的对应关系，需分类讨论避免漏解，求解后要验证结果是否符合动点的运动范围，确保答案正确。
【难度系数】
0.6
首先根据长方形的性质可得∠B=∠C=90°，先表示出运动t秒后BP=2t cm，PC=(10-2t)cm。已知AP=PQ，说明两个直角三角形的斜边相等，要使△PCQ与△ABP全等，需分两种对应情况讨论：一是AB与PC为对应边，BP与CQ为对应边；二是AB与QC为对应边，BP与PC为对应边，分别列方程求解后验证结果是否符合实际意义即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠C=90°，
当点P运动时间为t s时，BP=2t cm，PC=BC-BP=(10-2t)cm，
已知AP=PQ，即Rt△ABP和Rt△PCQ的斜边相等，两个三角形全等分两种情况：
① 当△ABP≌△PCQ时，对应边AB=PC，BP=CQ，
代入边长得：$6=10-2t$，
解得：$t=2$，
此时CQ=BP=4cm＜6cm，符合题意；
② 当△ABP≌△QCP时，对应边AB=QC，BP=PC，
则$BP=PC=\frac{1}{2}BC=5cm$，即$2t=5$，
解得：$t=2.5$，
此时QC=AB=6cm，点Q与点D重合，符合题意；
综上，t的值为2或2.5。
【答案】
2或2.5
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的性质，动点问题计算
【点评】
本题解题关键是明确全等三角形的对应关系，需分类讨论避免漏解，求解后要验证结果是否符合动点的运动范围，确保答案正确。
【难度系数】
0.6
