三、解答题(共40分)
11.(8分)(2025·工业园区期末)如图,点A,B,C在同一条直线上,$BD// CE,AB=EC,BD=CB$.求证:$AD=EB$.

11.证明:$\because BD// CE,\therefore ∠ ABD=∠ C$.
在$△ ABD$和$△ ECB$中,$\begin{cases} AB=EC,\\ ∠ ABD=∠ C,\\ BD=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ECB(\mathrm{SAS}),\therefore AD=EB.$

【分析】
要证明AD=EB，可通过证明两条线段所在的△ABD和△ECB全等来推导。首先根据BD//CE的条件，利用平行线的性质可得一组同位角相等；再结合题目给出的两组边相等的已知条件，刚好符合全等三角形的SAS判定定理，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：$\because BD// CE$，
$\therefore ∠ ABD=∠ C$。
在$△ ABD$和$△ ECB$中，
$\begin{cases}AB=EC,\\∠ ABD=∠ C,\\BD=CB,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ ECB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=EB$。
【答案】
证明:$\because BD// CE,\therefore ∠ ABD=∠ C$.
在$△ ABD$和$△ ECB$中,$\begin{cases} AB=EC,\\ ∠ ABD=∠ C,\\ BD=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ECB(\mathrm{SAS}),\therefore AD=EB.$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何证明的基础题型，解题的关键是明确证明线段相等优先考虑证所在三角形全等的思路，结合平行线性质推导得到相等的角，再匹配全等判定定理即可完成证明。
【难度系数】
0.85

12.(10分)如图,已知两个滑梯 BC 和 EF 的倾斜角∠ABC 和∠DFE 互为余角(即∠ABC+∠DFE=90°),且左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等,且 AC⊥BF,ED⊥BF.小明说:"只要量出左侧滑梯水平方向的长度 AB 就可以知道右侧滑梯的高度 DE 了."他的说法正确吗?请你说明理由.

12.解:他的说法正确.理由如下:
$\because AC⊥ BF,ED⊥ BF,\therefore ∠ BAC=∠ EDF=90°,$
$\therefore ∠ ABC+∠ BCA=90°.$
又$∠ ABC+∠ DFE=90°,\therefore ∠ BCA=∠ DFE.$
在$△ BAC$与$△ EDF$中,$\begin{cases} ∠ BAC=∠ EDF,\\ AC=DF,\\ ∠ BCA=∠ EFD, \end{cases}$
$\therefore △ BAC≌△ EDF(\mathrm{ASA}),\therefore AB=DE.$

【分析】
要判断小明的说法是否正确，核心是验证左侧滑梯水平长度AB和右侧滑梯高度DE是否相等。观察可知AB在Rt△BAC中，DE在Rt△EDF中，因此只需证明这两个三角形全等即可。首先由垂直关系可得两个三角形均为直角三角形，有一组直角相等；已知AC=DF，再结合∠ABC与∠DFE互余，利用直角三角形两锐角互余的性质可推出另一组对应角相等，满足ASA全等判定条件，证得全等后对应边相等，即可得到AB=DE，验证小明的说法。
【解析】
解：小明的说法正确，理由如下：
$\because AC⊥ BF,ED⊥ BF$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EDF=90°$，
$\therefore ∠ ABC+∠ BCA=90°$（直角三角形两锐角互余）。
又$\because ∠ ABC+∠ DFE=90°$，
$\therefore ∠ BCA=∠ DFE$（同角的余角相等）。
在$△ BAC$与$△ EDF$中，
$\begin{cases}∠ BAC=∠ EDF \\AC=DF \\∠ BCA=∠ EFD\end{cases}$
$\therefore △ BAC≌△ EDF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=DE$，即量出AB的长度就可以得到DE的高度。
【答案】
小明的说法正确，因为可证$△ BAC≌△ EDF$，得$AB=DE$，因此量出左侧滑梯水平长度$AB$即可知道右侧滑梯的高度$DE$。
【知识点】
直角三角形的性质；全等三角形的ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的滑梯场景考查全等三角形的实际应用，需要学生将实际问题转化为几何证明问题，解题关键是根据已知条件推导得到三角形全等的判定条件，注重对基础知识点和转化思想的考查。
【难度系数】
0.8

13.(10分)如图，$AC⊥ BC,DC⊥ EC,AC=BC,DC=EC$. $AE$与$BD$有怎样的数量关系和位置关系？试证明你的结论.

13.解:$AE=BD,AE⊥ BD.$
证明:$\because AC⊥ BC,DC⊥ EC,\therefore ∠ ACB=∠ DCE=90°,$
$\therefore ∠ ACB+∠ ACD=∠ DCE+∠ ACD,$
$\therefore ∠ DCB=∠ ECA.$
在$△ DCB$和$△ ECA$中,$\begin{cases} BC=AC,\\ ∠ DCB=∠ ECA,\\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ DCB≌△ ECA(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ A=∠ B,BD=AE.$
设$BD$与$AC$交于点$N.$
$\because ∠ AND=∠ BNC,∠ B+∠ BNC=90°,$
$\therefore ∠ A+∠ AND=90°,\therefore BD⊥ AE.$

【分析】
要判断AE和BD的数量关系与位置关系，可按以下思路推导：首先观察已知条件有两组相等的边AC=BC、DC=EC，还有两组垂直关系，可先推导两边的夹角相等，用全等三角形判定定理证明三角形全等，即可得到边的数量关系；再利用全等的对应角相等，结合对顶角、直角三角形两锐角互余的性质，推导两条线段的夹角为90°，就能得到位置关系。
【解析】
解：$AE=BD$，$AE⊥BD$，证明如下：
$\because AC⊥ BC,DC⊥ EC,\therefore ∠ ACB=∠ DCE=90°,$
$\therefore ∠ ACB+∠ ACD=∠ DCE+∠ ACD,$
$\therefore ∠ DCB=∠ ECA.$
在$△ DCB$和$△ ECA$中,$\begin{cases} BC=AC,\\ ∠ DCB=∠ ECA,\\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ DCB≌△ ECA(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ A=∠ B,BD=AE.$
设$BD$与$AC$交于点$N.$
$\because ∠ AND=∠ BNC,∠ B+∠ BNC=90°,$
$\therefore ∠ A+∠ AND=90°,\therefore BD⊥ AE.$
【答案】
$AE=BD$，$AE⊥BD$
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，垂直的判定
【点评】
本题是三角形全等的典型应用题，解题核心是通过等式性质得到全等判定所需的相等夹角，借助全等既可以得到线段的数量关系，也能利用对应角相等推导线段的位置关系，是几何中证明线段相等、垂直的常见考法。
【难度系数】
0.65

14.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2CD,AB//CD,∠C=90°,E是BC的中点,AE与BD相交于点F,连接DE.
(1)求证:△ABE≅△BCD;
(2)判断线段AE与BD的数量关系及位置关系,并说明理由;
(3)若CD=1,试求△AED的面积.

14.(1)证明:$\because AB// CD,\therefore ∠ ABE+∠ C=180°.$
$\because ∠ C=90°,\therefore ∠ ABE=90°=∠ C.$
$\because E$是$BC$的中点,$\therefore BC=2BE.$
$\because BC=2CD,\therefore BE=CD.$
在$△ ABE$和$△ BCD$中,$\begin{cases} BE=CD,\\ ∠ ABE=∠ C,\\ AB=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ BCD(\mathrm{SAS}).$
(2)解:$AE=BD,AE⊥ BD.$理由如下:
由(1)得$△ ABE≌△ BCD,$
$\therefore AE=BD,∠ BAE=∠ CBD.$
$\because ∠ ABF+∠ CBD=90°,$
$\therefore ∠ ABF+∠ BAE=90°,$
$\therefore ∠ AFB=90°,\therefore AE⊥ BD.$
(3)解:$\because △ ABE≌△ BCD,$
$\therefore BE=CD=1,AB=BC=2CD=2,$
$\therefore CE=BC-BE=1,$
$\therefore S_{△ AED}=S_{\mathrm{梯形}ABCD}-S_{△ ABE}-S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×(1+2)×2-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×1×1=\frac{3}{2}.$

【分析】
(1) 要证明△ABE≌△BCD，首先根据平行线的性质结合∠C=90°推导∠ABE=∠C，再利用E是BC中点、BC=2CD得到边相等BE=CD，最后结合已知AB=BC，用SAS判定定理即可证明全等。
(2) 判断AE与BD的关系：数量上，全等三角形对应边相等可直接得AE=BD；位置上，由全等得对应角∠BAE=∠CBD，结合直角三角形两锐角互余推导∠AFB=90°，即可得AE⊥BD。
(3) 求△AED的面积时，直接找底和高计算较繁琐，采用割补法：先算出梯形ABCD的总面积，再减去旁边两个直角三角形△ABE和△CDE的面积，即可得到△AED的面积。
【解析】
(1) 证明：$\because AB// CD,\therefore ∠ ABE+∠ C=180°.$
$\because ∠ C=90°,\therefore ∠ ABE=90°=∠ C.$
$\because E$是$BC$的中点,$\therefore BC=2BE.$
$\because BC=2CD,\therefore BE=CD.$
在$△ ABE$和$△ BCD$中,$\begin{cases} BE=CD,\\ ∠ ABE=∠ C,\\ AB=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ BCD(\mathrm{SAS}).$
(2) 解：$AE=BD,AE⊥ BD.$理由如下：
由(1)得$△ ABE≌△ BCD,$
$\therefore AE=BD,∠ BAE=∠ CBD.$
$\because ∠ ABF+∠ CBD=90°,$
$\therefore ∠ ABF+∠ BAE=90°,$
$\therefore ∠ AFB=90°,\therefore AE⊥ BD.$
(3) 解：$\because △ ABE≌△ BCD,$
$\therefore BE=CD=1,AB=BC=2CD=2,$
$\therefore CE=BC-BE=1,$
$\therefore S_{△ AED}=S_{\mathrm{梯形}ABCD}-S_{△ ABE}-S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×(1+2)×2-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×1×1=\frac{3}{2}.$
【答案】
(1) △ABE≅△BCD，证明成立；
(2) $AE=BD$，$AE⊥ BD$；
(3) $\frac{3}{2}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，割补法求面积
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是先证明三角形全等，再借助全等的性质推导边、角的关系，计算不规则图形面积时，合理使用割补法可降低运算难度，对学生的逻辑推导能力和转化思想有一定考察。
【难度系数】
0.7