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1. 如图所示是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个圆孔,则一根到达底部的直吸管在罐内部分的长a的取值范围(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)是().
A.$12≤ a≤ 13$
B.$12≤ a≤ 15$
C.$5≤ a≤ 12$
D.$5≤ a≤ 13$
A.$12≤ a≤ 13$
B.$12≤ a≤ 15$
C.$5≤ a≤ 12$
D.$5≤ a≤ 13$
答案
A
解析
我们通过分析两种极端情况确定a的取值范围：
1. 最短情况：当吸管垂直于底面竖直放置时，罐内部分长度等于圆柱的高，此时a=12，为最小值；
2. 最长情况：当吸管斜放，一端抵在下底面边缘、另一端经过上底面中心圆孔时，罐内部分长度为直角三角形的斜边，该直角三角形两条直角边分别为圆柱的高12、底面半径5，由勾股定理计算得最长长度为$\sqrt{5^2+12^2}=13$，为最大值。
因此a的取值范围是$12≤ a≤ 13$。
1. 最短情况：当吸管垂直于底面竖直放置时，罐内部分长度等于圆柱的高，此时a=12，为最小值；
2. 最长情况：当吸管斜放，一端抵在下底面边缘、另一端经过上底面中心圆孔时，罐内部分长度为直角三角形的斜边，该直角三角形两条直角边分别为圆柱的高12、底面半径5，由勾股定理计算得最长长度为$\sqrt{5^2+12^2}=13$，为最大值。
因此a的取值范围是$12≤ a≤ 13$。
2. 小丁准备用107元钱购买签字笔和笔记本共30件. 已知每支签字笔5元,每本笔记本2元,那么小丁最多能买多少支签字笔? 还剩几元钱?
答案
小丁最多能买15支签字笔，还剩2元钱。
解析
设小丁购买x支签字笔，则购买笔记本的数量为(30-x)本，根据总花费不超过107元列一元一次不等式：
$5x + 2(30 - x) ≤ 107$
展开并整理不等式：
$5x + 60 - 2x ≤ 107$
$3x ≤ 47$
解得：
$x ≤ \frac{47}{3} \approx 15.67$
由于签字笔的数量x必须是正整数，因此x的最大可取数值为15。
此时总花费为：$15×5 + (30-15)×2 = 105$元
剩余钱数为：$107 - 105 = 2$元
$5x + 2(30 - x) ≤ 107$
展开并整理不等式：
$5x + 60 - 2x ≤ 107$
$3x ≤ 47$
解得：
$x ≤ \frac{47}{3} \approx 15.67$
由于签字笔的数量x必须是正整数，因此x的最大可取数值为15。
此时总花费为：$15×5 + (30-15)×2 = 105$元
剩余钱数为：$107 - 105 = 2$元
3. 若满足方程组$\begin{cases} 3x - 2y = 3m + 1, \\ 4x - 3y = m + 1 \end{cases}$的$x$，$y$的值都不是正数，求$m$的取值范围.
答案
$m ≤ -\dfrac{1}{7}$
解析
1. 用加减消元法解给定的二元一次方程组：
对于方程组$\begin{cases} 3x - 2y = 3m + 1 \quad ① \\ 4x - 3y = m + 1 \quad ② \end{cases}$
将①式两边同乘3，得：$9x - 6y = 9m + 3$ ③
将②式两边同乘2，得：$8x - 6y = 2m + 2$ ④
用③-④消去$y$，解得：$x = 7m + 1$
把$x=7m+1$代入①式，得$3(7m+1)-2y=3m+1$，整理后解得：$y=9m+1$
2. 根据题意，$x$、$y$都不是正数，即$x ≤ 0$，$y ≤ 0$，列不等式组：
$\begin{cases} 7m + 1 ≤ 0 \\ 9m + 1 ≤ 0 \end{cases}$
解第一个不等式得：$m ≤ -\frac{1}{7}$
解第二个不等式得：$m ≤ -\frac{1}{9}$
根据不等式组“同小取小”的解集规则，可得$m$的取值范围。
对于方程组$\begin{cases} 3x - 2y = 3m + 1 \quad ① \\ 4x - 3y = m + 1 \quad ② \end{cases}$
将①式两边同乘3，得：$9x - 6y = 9m + 3$ ③
将②式两边同乘2，得：$8x - 6y = 2m + 2$ ④
用③-④消去$y$，解得：$x = 7m + 1$
把$x=7m+1$代入①式，得$3(7m+1)-2y=3m+1$，整理后解得：$y=9m+1$
2. 根据题意，$x$、$y$都不是正数，即$x ≤ 0$，$y ≤ 0$，列不等式组：
$\begin{cases} 7m + 1 ≤ 0 \\ 9m + 1 ≤ 0 \end{cases}$
解第一个不等式得：$m ≤ -\frac{1}{7}$
解第二个不等式得：$m ≤ -\frac{1}{9}$
根据不等式组“同小取小”的解集规则，可得$m$的取值范围。
4. 在一次射击比赛中,小李共进行了5次射击,结果如下:
已知小李5次射击的平均环数超过8环,你知道小李第2次射击的环数x可能是多少吗（每次射击的环数以不大于10的整数计）？
已知小李5次射击的平均环数超过8环,你知道小李第2次射击的环数x可能是多少吗（每次射击的环数以不大于10的整数计）？
答案
小李第2次射击的环数x可能是7环、8环、9环、10环。
解析
首先根据平均数的意义，计算5次射击的总环数为$10 + x + 8 + 9 + 7 = 34 + x$。
已知5次射击的平均环数超过8环，据此列一元一次不等式：
$\frac{34 + x}{5} ＞ 8$
不等式两边同乘5得：$34 + x ＞ 40$，移项解得$x ＞ 6$。
结合条件：每次射击的环数是不大于10的整数，因此x满足$6 ＜ x ≤ 10$且x为整数，可得x的所有可能取值。
已知5次射击的平均环数超过8环，据此列一元一次不等式：
$\frac{34 + x}{5} ＞ 8$
不等式两边同乘5得：$34 + x ＞ 40$，移项解得$x ＞ 6$。
结合条件：每次射击的环数是不大于10的整数，因此x满足$6 ＜ x ≤ 10$且x为整数，可得x的所有可能取值。
5. 下表是反映居民家庭生活水平的恩格尔系数表.
其中恩格尔系数 $ n = \frac{\mathrm{家庭日常饮食开支}}{\mathrm{家庭总支出}} $.
经济学家用它来测量居民的生活水平. 一般地,恩格尔系数越小,生活水平越高.
（1）记录自己家8月份的饮食开支和总支出,并进一步计算恩格尔系数. 以8月份为例,估计自己家的生活水平.
（2）某家庭原来的恩格尔系数是0.55,现在随着收入的增加,饮食开支提高了10%. 如果要达到小康水平,那么这家的总支出需增加百分之多少?
其中恩格尔系数 $ n = \frac{\mathrm{家庭日常饮食开支}}{\mathrm{家庭总支出}} $.
经济学家用它来测量居民的生活水平. 一般地,恩格尔系数越小,生活水平越高.
（1）记录自己家8月份的饮食开支和总支出,并进一步计算恩格尔系数. 以8月份为例,估计自己家的生活水平.
（2）某家庭原来的恩格尔系数是0.55,现在随着收入的增加,饮食开支提高了10%. 如果要达到小康水平,那么这家的总支出需增加百分之多少?
答案
（1）结合自家实际收支计算后对照表格判断，结果合理即可；
（2）总支出需增加的比例不低于21%，且小于51.25%。
（2）总支出需增加的比例不低于21%，且小于51.25%。
解析
（1）本题为实践探究类问题，统计自家8月实际的日常饮食开支、家庭总支出数据，代入恩格尔系数公式$n=\frac{\mathrm{家庭日常饮食开支}}{\mathrm{家庭总支出}}$计算出n的数值，再对照表格给出的区间范围，即可判断对应家庭的生活水平，结果随实际采集的数据合理即可。
（2）设该家庭原来的总支出为$a$，总支出需要增加的百分数为$x$：
1. 由原恩格尔系数为0.55，可得原来的饮食开支为$0.55a$；
2. 饮食开支提高10%后，当前饮食开支为$0.55a×(1+10\%)=0.605a$，当前总支出为$a(1+x)$；
3. 小康水平对应的恩格尔系数范围是$0.40 ＜ n ≤ 0.50$，代入得不等式：
$0.40 ＜ \frac{0.605a}{a(1+x)} ≤ 0.50$
约去正数$a$后求解不等式：
解右侧不等式$\frac{0.605}{1+x}≤0.50$，得$x≥0.21$；
解左侧不等式$\frac{0.605}{1+x}＞0.40$，得$x＜0.5125$。
即总支出增加的比例不低于21%、小于51.25%时，该家庭可以达到小康水平。
（2）设该家庭原来的总支出为$a$，总支出需要增加的百分数为$x$：
1. 由原恩格尔系数为0.55，可得原来的饮食开支为$0.55a$；
2. 饮食开支提高10%后，当前饮食开支为$0.55a×(1+10\%)=0.605a$，当前总支出为$a(1+x)$；
3. 小康水平对应的恩格尔系数范围是$0.40 ＜ n ≤ 0.50$，代入得不等式：
$0.40 ＜ \frac{0.605a}{a(1+x)} ≤ 0.50$
约去正数$a$后求解不等式：
解右侧不等式$\frac{0.605}{1+x}≤0.50$，得$x≥0.21$；
解左侧不等式$\frac{0.605}{1+x}＞0.40$，得$x＜0.5125$。
即总支出增加的比例不低于21%、小于51.25%时，该家庭可以达到小康水平。
